基于变式教学的数学教学设计-以高中“复数的概念”为例

绪论1.1研究背景1.1.1新课标下的挑战《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）对学生数学学科素养以及学科能力的培养提出了更高的要求,它提出普通高中教育要进一步提升学生综合素质,着力发展核心素养.REF_Ref22978\r\h[1]在此背景下,教师教学也面临更大的挑战：在有限的时间内教会学生知识并掌握方法,引导学生思考,进一步培养学生的学科素养与能力,教学更注重灵活性和多样性.但在实际教学过程中,大部分教师深受传统教育的影响,仍旧采用“灌输性”教学和“题海战术”,使得教师占据了课堂的主导地位,忽略了学生的在课堂中的地位.因此,如何在教学的过程中跳出传统应试教育的舒适圈,充分发挥出学生学习的主体性,成为教师们需要思考的首要问题.1.1.2复数的教学现状“复数”是高中数学学习过程中一个重要的内容板块,对完善学生知识结构、培养数学学科素养、发展创新精神等方面有着重要作用,同时能够为学生后续进一步学习高等数学打下基础.但大部分的高中教师在教学过程中容易忽视复数概念的形成过程,而着重于直接传授复数的相关知识和复数计算技巧的训练（即解题技能的训练）.导致学生缺少理性思维和创新精神的培养,也难以从中感受到数学文化,认为复数的学习枯燥又乏味.高中阶段的“复数”分为三个板块,分别是：复数的概念、复数的四则运算、复数的三角表示.其中,复数的概念包括两个课时：数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义,新课标对此的要求是：学生通过方程的解认识复数,通过数学史了解数系的扩充过程,在感受数学文化的同时深化对数学概念的理解.REF_Ref22978\r\h[1]但在实际的教学过程中,这部分内容常被简单的几句话带过,更多地聚焦于“题海”训练（即通过大量的习题练习来熟悉知识）,因此,学生的学习严重缺乏多样性和灵活性,数学思维的发展以及学科素养的培养受到阻碍.1.2研究意义1.2.1理论意义“变式教学”是指保持问题本质不变的情况下,对提问方式、题干条件、切入点、思考角度等内容进行变更,REF_Ref26706\r\h[2]达到“变式”的目的,是基于学生的学习情况对命题进行有计划的转化,极具灵活性和多变性,能够充分带动学生思考,调动学生学习的积极性,因此,“变式教学”是新课标下非常具有可行性的一种教学手段.本文以“复数的概念”为例,基于当下“复数”的教学情况,研究在具体的教学中如何开展变式教学、具体的开展情况及课堂反思,REF_Ref27960\r\h[3]验证变式教学在复数的学习过程中的可操作性,认识到复数学习的价值与内涵,有效补充变式教学在复数教学方面的相关内容,为下一步研究做铺垫.1.2.2现实意义对于学生来说,应用变式教学可以帮助学生深入理解知识、梳理自己的知识脉络.在复数的学习中,通过变式,学生能够认识到学习复数的意义与灵活性,发现复数的“美”,为下一阶段学习高等数学打好基础.在教学过程中,不同的变式创设出不同的情景,学生能过在这个多变的情境中挖掘不变的“本质”,学会从不同的角度看问题,深入挖掘知识的核心内容,达到“以不变应万变”的效果,激发学生学习数学的兴趣的同时提升其数学思维.对于教师来说,数学中很多概念是抽象又复杂的,在教学过程中这部分内容也是学生最难接受的,而变式教学的多样性与灵活性可以成为解决该问题的一大助力,教师可以针对具体问题采用不同的变式方式与策略,创设不同的情景帮助学生理解,有效提高课堂效率和质量.REF_Ref27960\r\h[4]变式教学的应用还可以为教师教学提供创意,避免教师局限于传统教学模式,培养学生学科素养的同时也能够提高教师的创新能力.1.3本文的主要工作本文以“复数的概念”为切入点,结合文献研究法和实证研究法进行下一步研究,内容如下：首先,了解新课标下变式教学的可行性,研究变式教学的意义与价值；再基于新课标的要求,研究在新课标下变式教学应用过程中存在的问题、应用的原则以及具体的实施措施.同时基于复数的教学背景,研究复数的教学现状,分析复数的研究价值以及新课标下复数的地位,为后续进一步研究做准备.其次,通过对课标以及教材的研究分析、对学生学情的了解与分析,以“复数的概念”为课题设计教学,在实际教学中开展变式训练以达到教学目标,在这个过程中验证变式教学应用原则和实施措施的可行性.课后进行教学反思,梳理变式教学在实践中存在的问题:衔接不自然、变式不到位、学生反响一般,并针对问题做出改进措施,为下一次教学做准备.最后在结论部分,结合研究内容和实际教学设计及课堂开展情况进行小结,总述本文研究结果以及自己再在研究和实践过程中的收获与成长.

2理论基础2.1变式教学2.1.1变式教学的内涵变式教学包括“变式”和“教学”,在“变”REF_Ref28992\r\h[5]中“教学”,在“教学”中“变”,它是指在教学过程中教师根据学生的学习情况,改变问题的条件、提问方式等非本质性内容REF_Ref3611\r\h[6]或改变定义、概念等本质性内容,使学生更好地掌握相关知识和方法.由此,变式教学可分为两类：本质性变式和非本质性变式.非本质性变式创设出不同的解题情境,让学生在“变”中发现“不变量”,尝试从多个角度解决问题；本质性变式改变学生易错、难理解的内容,让学生在“不变”的情境中找“变化量”,深入挖掘知识之间的易错易混点.对于教师而言,变式教学不仅仅只是对某道题的公式、定理、条件的改变,而是是通过多样的变化实现“一题多解”和“多题一解”的教学,以此来完善学生的基础知识,提高学生的基本技能以及综合运用能力.2.1.2变式教学的价值与意义在新课标的要求下,变式教学能够有效提高教学效率,教师也能够更快速了解学生的学习程度,具体体现在如下几个方面：（1）把握学生的主体角色变式教学可以有效提高学生的课堂参与度,学生在老师的引导下,独立完成知识的认识、理解、掌握的过程,形成自己的知识框架,完善数学知识体系.REF_Ref15021\r\h[7]在传统式教学泛滥的当下,变式教学更能符合新课标的教学要求,凸显学生的主体地位.（2）提高学生的学习兴趣变式教学特色之一是不同的“变”创设出不同的解题情境,在跨学科融合的帮助下,学生在课堂中就能够感受到不同的文化,枯燥乏味的数学知识也就变的生动起来,让课堂更加带领学生从“不得不”学习变成“我想要”学习.（3）培养学生的创新能力REF_Ref3611\r\h[8]变式教学可以促进“一题多解”和“多题一解”REF_Ref4430\r\h[9]的应用,面对同一个题目,学生可以从不同的角度思考,尝试用不同的方法解决.教师通过变式的方式引入,引导学生接触不同的解题方法,学生结合自己的学习情况对所学内容进行整理归纳,并在此基础上进行下一步思考与创新,形成自己的学习方法.（4）建立有效途径准确把控学情变式教学的多样性为学生提供了多样化的思考环境,对于教师而言,可以通过变式教学的形式多方面地了解学生的解题切入点、思考角度、思考方式、解题方式,进一步了解学生,更有利于教师从学生的角度思考,把握学情.2.1.3变式教学的应用（1）变式教学应用中存在的问题（a）学生存在定势思维REF_Ref4493\r\h[10]大部分的高中生受到传统应试教育的影响,在解决问题的过程中存在思维定势的问题.这部分学生由于在平时的学习过程中缺少相关训练,或是老师讲解不到位,大都只知道一种解题方法,解题手段单一.长此以往,这些学生在解决问题时,即使发现了一些问题或是有新的感悟,也会因为自身思维的束缚,不懂得融会贯通而无所收获,也就找不到新的解题的思路,学生的数学思维、创新能力的发展受到阻碍.（b）变式难度大,没有循序渐进REF_Ref1857\r\h[11]虽然在新课标下,变式教学的地位日益突显,但部分教师在实际应用的过程中仍存在“不科学变式”的现象：没有考虑学生当下的学习情况,出现“断层式”变式.变式教学应该遵循学生认知的发展规律,由易到难、由简到繁,但有些教师为了达到教学目标,忽略了学生学习层次,导致变式过难,学生短时间内难以接受甚至产生恐惧、放弃心理,降低学习效率.（c）变式量多而不精REF_Ref2197\r\h[12]变式教学注重“精练”,通过练习经典习题及其变式,把握主要知识,掌握重要方法.但部分教师在实施变式时,过分注重变式的数量,反而更侧重于“题海战术”,偏离了变式教学的初衷.另一方面,过分注重变式数量导致变式的质量被忽视,REF_Ref5165\r\h[13]即使花费了大量课堂时间练习也达不到想要的效果,大大降低了课堂效率.（d）脱离学生学情一切教学活动都是在学生学习情况的基础上开展的,但部分教师在进行变式教学时,忽略了学生的主体性,为了完成该次课程的教学目标或教学任务,着重于自己是否“输出”,而不考虑学生是否“输入”,导致教学与学生学习情况脱节,最终出现教师教了很多很内容,但是学生只吸收到了一些内容甚至完全没有吸收的情况,不仅浪费了教学时间,也不利于学生长久的发展.（e）无效变式变式教学虽然是在变式的基础上进行教学,但变式的方法方式是多样的,教师需要根据学生的情况,结合该堂课的教学目标选择适合的变式方式进行教学.部分教师由于对变式教学的认识不到位,在变式时只是简单的更改了题干上的数据,像这样的变式都是为“变”而“变”REF_Ref5165\r\h[14],对学生的思维训练没有帮助,对实现教学目标也毫无意义.（2）变式教学应用原则（a）适用性原则REF_Ref4493\r\h[10]高中阶段的学习内容分为了必修、选修、选择性必修几大类,教师在进行变式教学的过程中要紧扣教材内容,选择合适的板块进行变式.在变式过程中要注意变式不能过难,否则学生学习的积极性受到打压,不利于课堂开展；不能过易,太过简单的变式对学生而言只是机械地重复,不利于学生思维的培养.因此,在开展变式教学时,要充分考虑学生的学情,结合教材内容、教学目标,选择合适的方式,在适当的范围内进行变式.（b）渐进性原则REF_Ref28992\r\h[5]变式教学一大关键就是要处理好学生所学知识板块间的衔接,找准变式的最佳区间,既要避免变式幅度小,进行简单的机械操作限制学生的思维；又要避免变式幅度大,超出学生接受空间,做“无用功”式的教学.由此,变式教学开展过程中要充分考虑学生的认知程度,结合相关心理学知识,对学生的可接受程度进行分析,并以此为基础开展教学.在此基础上,渐进性原则要求教师在教学过程中把握好“变”的程度和难度,学习一般的同学,变式难度不宜过大;学习较好的同学,可以适当提升难度,发挥出因材施教的教学原则.（c）参与性原则REF_Ref4493\r\h[10]变式教学既是“变式”,更是“教学”,学生要在这个过程中主动思考,有所收获才是一次合格的教学.因此,参与性原则在落实的过程中就需要老师时刻关注学生,让学生成为课堂的主体,自主展开思考,把所学知识转化为自己的财富,主动参与课堂变式活动,而不是教师只顾着“变式”,忽略了“教学”.（d）针对性原则REF_Ref10148\r\h[15]高中教学内容繁多,教学形式多样,因此,实行变式教学的时候,要考虑不同的情境、条件,各种上课类型都需要提前进行安排和考量.针对性原则要求教师对整体知识结构把握到位,明确板块与板块之间的联系,对不同章节设计针对性变式教学方案,以此提高课堂效率.（3）变式教学实施措施（a）把握学情,紧扣教学目标在高中的教学中,教师要注意学生学习进度与知识掌握程度,高中知识更注重学生自主思考,重在掌握方法与技能.教师在开展变式教学时,要根据学生的实际情况进行教学设计,设置与学生认知水平相适应的变式,以避免学生产生畏难情绪,防止学生思维固化.（b）循序渐进,进行分层练习在充分分析学生情况后对学生设计变式教学,可以以学生学情为依据设置分层小班或小组,教学时设置有梯度的变式,一步一步引导学生进行更深层次的思考,如此,才能有效激发学生学习的积极性与主动性,对学生思维与学科能力的培养也有积极作用.（c）把握本质,注重思维培养数学作为最典型的理科,不同于其他学科,同一个题目下,更改一个词或是一个条件,可能就会变成完全不一样的题,REF_Ref1857\r\h[11]因此,在数学的学习过程中,通过将所有题目列举出来进行教学的方法可行性不高,注意力应集中在对学生思维的培养.教师通过创设变式情境,引导学生理解题目本质内容与解题方法的由来,主动地探究,积极地思考,REF_Ref20471\r\h[16]让学生真正做到“做一道题,会一类题”.2.2复数2.2.1复数的“诞生”十五世纪时,意大利的一位数学家卡尔达诺首次给出一元三次方程的一般解法（实为塔尔塔利亚于首先发现）,第一次在公式中出现负数的平方根,并且在讨论“能否将分成两部分,使其乘积为”时,给出的写法,但当时并对这种虚无缥缈、无意义的数给出定义.约一百年后,《几何学》（笛卡尔著）提出“实的数与虚的数相对应”,“虚数”一词由此诞生,但当时的数学界也随之出现了许多声音,大部分数学家都不承认“虚数”的存在.后来又过了一百多年后,法国数学家达朗贝尔指出,如果虚数也按照多项式的四则运算,其运算结果总是可以写成的形式（其中为实数）；而后数学家欧拉首次用字母来表示的平方根（即虚数单位）,对“虚数”有了新发现,但当时的人并没有引起重视.随着时代的发展,直到十八世纪末,复数才渐渐被人们接受.后来,德国数学家高斯给出复数的定义,并在直角坐标系上采用图像表示法,使得复数在数学领域获得了稳定的地位.直到今天,仍有学者在研究复数的奥秘,复数理论也越来越凸显出其重要性.REF_Ref21598\r\h[17]2.2.2复数的研究价值与地位一方面,复数的学习是高中阶段经历的最后一次数系扩充,对学生知识框架的完善、数学思维的培养有着重大意义.学生可以通过数学史培养数学思维,并从中学习数学家们的科研精神和创新精神.另一方面,复数的学习可以为学生之后进行更高层次的学习打下基础.比如高等数学中的复变函数论和数学分析,都会用到复数的相关知识,并在已有的基础上进行更高层次的学习.并且复述在物理学、量子力学等与高新技术挂钩的领域里也有着广泛的应用.由此可见,学习并学好复数都非常有利于学生未来的发展.

3教学设计（第一版）3.1课标解读3.1.1教材分析本节选自《普通高中课程标准教科书数学A版必修二》第七章第一节《复数的概念》.包括数系的扩充、复数的概念和复数的几何意义.复数的学习是在原有的数系基础上进行扩充,为学生进一步学习复数的运算奠定基础.3.1.2课标分析复数是高中的重点内容之一,本节的学习可以帮助学生通过方程求解理解引入复数的必要性,进一步认识复数,理解复数的代数表示及其几何意义、两个复数相等的含义.REF_Ref22978\r\h[1]学生通过具体的问题情境,了解数系的扩充过程,在这个过程中发现现有的理论储备与研究需要之间的矛盾,体会到引入复数的重要性和必要性.3.2学情分析3.2.1学生已有的知识在学习本节内容之前,学生已经学习了自然数集、负数集、整数集、无理数集、有理数集、实数集,接触过数系的扩充,但缺乏从宏观的角度观察数系扩充的过程,对于“为什么扩充”和“如何扩充”的认识不到位.3.2.2可能存在的问题该班学生现处于高一阶段,能够在教师的引导下思考、探索问题,具备一定的分析问题、解决问题的能力,但学生两极分化严重,后进生在学习过程中可能会有些吃力,需要教师格外注意.3.3教学目标（1）通过方程的解认识复数,理解复数的概念,REF_Ref22978\r\h[1]初步形成基本的数学抽象能力；（2）理解复数的代数表示及其几何意义,经历由复数与复平面的点一一对应的关系解决问题的过程,培养学生的逻辑推理、数形结合的能力；REF_Ref22978\r\h[1]（3）经历由实数系扩充为复数系的过程,理解数系扩充的思想方法,感受复数与现实世界的联系.REF_Ref22978\r\h[1]3.4教学重难点分析（1）重点：复数的概念、复数的代数形式和几何意义.（2）难点：数系的扩充过程和复数的向量表示.3.5教学方法（1）教法:教师利用精炼但生动的语言,结合课件及教具向学生传授知识,以此达到引导学生学习知识和方法、促进学生发展的目的.（2）学法:学生根据教师的提示和引导进行学习,理解知识的同时达到会用、会变的效果,形成自己的知识框架;课堂上全神贯注,高效率地完善课堂笔记,积极思考、积极讨论、积极发言.3.6教学过程设计3.6.1课题引入运用所学知识快速求解以下方程：;;;解得：;;;无解（）思考1：对于第四个方程而言能否合理表示?设计意图:简单回顾已经学过的几类数,让学生在后面继续学习时潜意识的往这方面思考,以便引出后续对数系的复习.数系的扩充：设计意图:跟学生一起再次体会数系扩充的过程,从中体会其重要性,明白为什么要这么做,突破教学难点.3.6.2讲解新知探索一：复数的概念为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,数学家欧拉引入新数,使得是原方程的解（即）老师：把新引入的数添加到实数集中,我们希望数与实数之间仍然能像实数一样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法运算都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律.REF_Ref16222\r\h[18]思考2：实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢?REF_Ref16222\r\h[18]依照以上设想,把实数和相乘,记作;再与实数相加,记作.定义:我们把形如的数叫复数,通常用字母表示,其中分别表示复数的实部和虚部,叫虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.REF_Ref16222\r\h[18]设计意图:带领学生感受引入的重要性,以及实数集扩充到复数集的过程,加深学生对的理解;引导学生探索复数的概念和代数表示,突破教学重点.在复数集中任取两个复数规定：与相等当且仅当且REF_Ref10098\r\h[18]设计意图:明确两个复数在什么条件下才相等,并在过程中指出一定要满足虚部和实部要对应,加深学生的印象.对于复数：当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数;当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.REF_Ref10098\r\h[18]（例如：、、;其中为纯虚数,其余为虚数）设计意图:通过与实数类比,带领学生感受复数分类,理解什么叫虚数和纯虚数并掌握两个复数相等的充要条件.思考3：复数集和实数集之间有什么关系?老师：根据前面学习的内容,发现:当且仅当时,复数为实数.因此,实数集是复数集的真子集,即.请同学们自己动手写一写,对复数进行分类：图1复数分类注：一般情况下（当转化为实数后,可以比较大小）,复数不能比较大小,只能说相等或不相等.设计意图:结合韦恩图向学生清晰又直观地解释几个集合之间的关系.例1当实数取什么值时,复数是下列数?REF_Ref16222\r\h[18]（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数解：（1）当,即时,复数为实数;（2）当,即时,复数为虚数;（3）当,且,即时,复数为纯虚数.练习1求满足下列条件的实数的值：.REF_Ref16222\r\h[18]分析：根据“两个复数相等的充要条件”解题.解：由题：,解得：.设计意图:通过练习巩固学生所学知识,加深学生理解,达到过关过手的目的.探索二：复数的几何意义思考4：实数能与数轴上的点一一对应,因此实数可以用数轴上的点来表示,那么复数有什么几何意义呢?REF_Ref16222\r\h[18]任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定,并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对.因此,复数与有序实数对是一一对应的,而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.REF_Ref16222\r\h[18]建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴REF_Ref16222\r\h[18]（如图所示）图2.1复平面注：复数用点来表示而不是.复平面内纵坐标轴上的单位长度是,不是.设计意图:类比实数的学习,通过作图让学生理解到复数和复平面的点的对应关系,也就是复数的一种几何意义,突破教学重点.复数集与平面直角坐标系中的点集之间是一一对应的,而在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示.REF_Ref16222\r\h[18]思考5：复数可不可以和向量结合起来呢?复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立一一对应关系.REF_Ref16222\n\h[18]（实数与零向量对应）,即图2.2复数与复平面内的向量设计意图:结合图形,解释复数的另一种几何意义（用向量表示）,再次突破教学重难点.向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,有：,其中.设计意图:结合向量的模长的相关知识,理解复数的模,并掌握复数模长的计算公式.例2设复数,.REF_Ref16222\r\h[18]（1）在复平面内画出复数,对应的点和向量;（2）求复数,的模,并比较它们的模的大小.解：（1）略;（2）;.所以.共轭复数：一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.REF_Ref10098\r\h[18]即如果,那么（虚数不为的两个共轭复数也叫共轭虚数）.REF_Ref16222\n\h[18]设计意图:通过例2的练习,利用几何直观引入共轭复数的概念.思考6：若是共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?令,可得与之对应的点的坐标为,的坐标为,关于实轴对称.设计意图:让学生观察图形,结合刚刚学过的知识,发现共轭复数的特点,培养学生数形结合的思想.3.6.3巩固新知练习2当实数取什么值时,复数是下列数?REF_Ref16222\n\h[18]（1）实数;（2）虚数;（3）纯虚数.解：（1）由题可得：,则或;（2）由题可得：,则且;（3）由题可得：且,则.练习3求适合下列方程的实数与的值：.REF_Ref16222\r\h[18]解：且,解得：,.练习4当实数取什么值时,复平面内表示复数的点分别满足下列条件?REF_Ref16222\n\h[18]（1）位于第四象限;（2）位于第一象限或第三象限;（3）位于直线上.解：（1）由题得：,解得：或;（2）由题得：或,解得：或或;（3）由题得：,解得：.设计意图:通过练习巩固所学知识,达到过关过手的目的,加深学生对知识的理解.3.6.4归纳小结（1）复数的概念（a）复数的代数表示：;（b）复数相等的充要条件：;（c）复数的分类：.（2）复数的几何意义（a）;（b）.（3）复数的模,其中.（4）共轭复数共轭复数：一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.REF_Ref10098\r\h[18]即如果,那么.设计意图:利用知识小结的形式,帮助学生梳理知识,以便后续学生能够形成自己的知识关系树,以完成学习目标,达到培养学生的目的.3.7教学反思本次教学内容总体难度不大,重点在于让学生理解知识的由来,并在这个过程中融入变式教学,加深学生对知识的理解,培养学生的数学思维和基本素养。基于以上情况,对本次教学做出以下反思与精进：（1）变式教学不明晰,未对于学生已有的题目进行变式或是无效变式,学生难以从中体会到变式的价值。可对试题进行进一步分析,明确该题知识点与考点,思考是否重复出现,为变式打下基础。（2）数系扩充板块讲解过于单调,学生在学习时缺少学习兴趣。在教学实,可以更充分地结合数学发展史进行讲解,丰富学生数学文化的同时激发学生的学习兴趣。（3）学生主体性体现不到位,复数的相关知识整体难度不高,学生学习这一板块内容时更能找回学习数学的自信,因此教师在教学时,要注意学生的课堂反馈情况,根据学生掌握程度及时进行调整,给学生提供更多的机会去发言、解决问题。

4教学设计（第二版）4.1课标解读4.1.1教材分析本节选自《普通高中课程标准教科书数学A版必修二》第七章第一节《复数的概念》.包括数系的扩充、复数的概念和复数的几何意义.复数的学习是在原有的数系基础上进行扩充,为学生进一步学习复数的运算奠定基础.4.1.2课标分析复数是高中的重点内容之一,通过这一节的学习,能够让学生们在解决公式的时候,明白复数的必要性.同时,还能对复数进行更深入的了解,了解复数的代数表示以及它的几何意义,以及两个复数相等的意义.在这个过程中，学生能够从特定的问题情境中,明白到目前的理论储备与研究需求的冲突,意思到在教学中引入复数的重要性和必要性.4.2学情分析4.2.1已有的基础知识在开始本节课前,学生已经学习了自然数集、负数集、整数集、无理数集、有理数集、实数集,接触过数系的扩充,但缺乏从宏观的角度观察数系扩充的过程,对于“为什么扩充”和“如何扩充”的认识不到位.4.2.2可能存在的问题该班学生现处于高一阶段,能够在教师的引导下思考、探索问题,具备一定的分析问题、解决问题的能力,但学生两极分化严重,后进生在学习过程中可能会有些吃力,需要教师格外注意.4.3教学目标（1）通过方程的解认识复数,理解复数的概念REF_Ref22978\r\h[1],初步形成基本的数学抽象能力；（2）了解复数的代数表示和几何含义,体验复数复平面上点的一一对应关系解题的经验,发展逻辑推理、数形结合的能力;（3）体验从实数到复数系统的扩展,体会到数字系统拓展的思想和方法,体会到复数集与实际生活之间的关系.4.4教学重难点分析（1）重点：复数的概念、复数的代数形式和几何意义.（2）难点：数系的扩充过程和向量表示.4.5教学方法（1）教法:教师利用精炼但生动的语言,结合课件及教具向学生传授知识,以此达到引导学生学习知识和方法、促进学生发展的目的.（2）学法:学生根据教师的提示和引导进行学习,理解知识的同时达到会用、会变的效果,形成自己的知识框架;课堂上全神贯注,高效率地完善课堂笔记,积极思考、积极讨论、积极发言.4.6教学过程设计4.6.1课题引入运用所学知识快速求解以下方程：;;;解得：;;;无解（）思考1：对于第四个方程而言能否合理表示?设计意图:简单回顾已经学过的几类数,让学生在后面继续学习时潜意识的往这方面思考,以便引出后续对数系的复习.数系的扩充：思考：我们经历了几次扩充?分别解决了什么问题?REF_Ref21059\r\h[18]设计意图:跟学生一起再次体会数系扩充的过程,从中体会其重要性,明白为什么要这么做,突破教学难点.4.6.2讲解新知探索一：复数的概念为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,数学家欧拉引入新数,使得是原方程的解（即）.REF_Ref16222\n\h[18]（补充数学史：十五世纪时,意大利的一位数学家卡尔达诺首次给出一元三次方程的一般解法（实为塔尔塔利亚于首先发现）,第一次在公式中出现负数的平方根。在讨论“能否将分成两部分,使其乘积为”时,给出的写法,但当时并对这种数给出定义.约一百年后,笛卡尔提出“虚数”这一词汇,但当时大部分数学家都不承认“虚数”的存在.后来又经过了几百年的发展,数学家欧拉首次用字母来表示的平方根（即虚数单位）,直到今天仍在使用.）老师：把新引入的数添加到实数集中,我们希望数与实数之间仍然能像实数一样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法运算都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律.REF_Ref16222\n\h[18]思考2：实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢?REF_Ref10098\r\h[18]依照以上设想,把实数和相乘,记作;再与实数相加,记作.补充数学史：事实上,在欧拉引入之前,达朗贝尔就曾提出将虚数按照多项式的运算法则进行运算,并发现计算结果都可以写成的形式（其中为实数）.定义：我们把形如的数叫复数,通常用字母表示,其中分别表示复数的实部和虚部,叫虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.REF_Ref16222\n\h[18]设计意图:结合数学史,带领学生感受引入的重要性,以及实数集扩充到复数集的过程,加深学生对的理解;引导学生探索复数的概念和代数表示,突破教学重点.在复数集中任取两个复数:并规定:与相等当且仅当且.REF_Ref16222\r\h[18]设计意图:明确两个复数在什么条件下才相等,并在过程中指出一定要满足虚部和实部要对应,加深学生的印象.对于复数：当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数;当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.REF_Ref10098\r\h[18]（例如：、、;其中为纯虚数,其余为虚数）设计意图:通过与实数类比,带领学生感受复数分类,理解什么叫虚数和纯虚数并掌握两个复数相等的充要条件.思考3：复数集和实数集之间有什么关系?老师：根据前面学习的内容,不难发现当且仅当时,复数为实数.因此,实数集是复数集的真子集,即.请同学们自己动手写一写,对复数进行分类：图3复数分类注：一般情况下（当转化为实数后,可以比较大小）,复数不能比较大小,只能说相等或不相等.设计意图:在已有的知识基础上进行变式,通过绘制韦恩图,让学生直观地感受实数集、虚数集等几个集合的关系,将抽象的知识具体化,加深学生对知识的理解.例1当实数取什么值时,复数是下列数?REF_Ref16222\r\h[18]（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数解：（1）当,即时,复数为实数;（2）当,即时,复数为虚数;（3）当,且,即时,复数为纯虚数.例2求适合下列方程的实数与的值：.REF_Ref16222\r\h[18]解：且,解得：,.设计意图:通过练习巩固学生所学知识,加深学生理解,达到过关过手的目的.探索二：复数的几何意义思考4：实数能与数轴上的点一一对应,因此实数可以用数轴上的点来表示,那么复数有什么几何意义呢?REF_Ref16222\r\h[18]任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定,并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对.因此,复数与有序实数对是一一对应的,而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.REF_Ref16222\r\h[18]建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴（如图所示）.REF_Ref16222\r\h[18]图4.1复平面注：复数用点来表示而不是.复平面内纵坐标轴上的单位长度是,不是.设计意图:类比实数的学习,在实数与数轴的认知基础上进行变式,在此基础上进一步认识复平面中复数与点的意义对应,理解复数的一种几何意义,突破教学重点.复数集与平面直角坐标系中的点集之间是一一对应的,而在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示.REF_Ref16222\r\h[18]思考5：能否用向量来表示复数呢?REF_Ref10098\r\h[18]复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立一一对应关系.（实数与零向量对应）,即图4.2复数与复平面内的向量设计意图:结合图形,解释复数的另一种几何意义（用向量表示）,再次突破教学重难点.向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,有：,其中.设计意图:结合向量的模长的相关知识,理解复数的模,并掌握复数模长的计算公式.例3设复数,.REF_Ref16222\r\h[18]（1）在复平面内画出复数,对应的点和向量;（2）求复数,的模,并比较它们的模的大小.解：（1）略;（2）;.所以.共轭复数：一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.REF_Ref16222\r\h[18]即如果,那么（虚数不为的两个共轭复数也叫共轭虚数）.设计意图:在例2的基础上进行变式练习,体现变式在实际应用过程中应该紧扣学情体现变式应用的参与性原则,并利用几何直观引入共轭复数的概念.思考6：若是共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?令,可得与之对应的点的坐标为,的坐标为,关于实轴对称.设计意图:在原有知识基础上进行变式:由复数的平面中点的关系到共轭复数在复平面中点的关系,体现变式教学的渐进性和针对性.4.6.3巩固新知变式训练1当实数取什么值时,复数是下列数?REF_Ref16222\r\h[18]（1）实数;（2）虚数;（3）纯虚数.解：（1）由题可得：,则或;（2）由题可得：,则且;（3）由题可得：且,则.设计意图:对例1进行变式,结合一元二次方程求解问题,在原有基础上提升难度的同时巩固学生所学知识,在紧扣教学目标的基础下体现变式教学的渐进性原则.变式训练2求满足下列条件的实数的值：REF_Ref16222\r\h[18].分析：;根据两个复数相等的充要条件可解.解：由题：,解得：.设计意图:对例2进行变式,考察学生对复数相等的概念、的理解.变式训练3当实数取什么值时,复平面内表示复数的点分别满足下列条件?REF_Ref16222\r\h[18]（1）位于第四象限;（2）位于第一象限或第三象限;（3）位于直线上.解：（1）由题得：,解得：或;（2）由题得：或,解得：或或;（3）由题得：,解得：.设计意图:在变式1、2的基础上进行变式,综合一元二次方程求解问题,考察学生对知识的综合运用能力,巩固学生所学内容.REF_Ref21059\r\h[20]4.6.4归纳小结（1）复数的概念（a）复数的代数表示：;（b）复数相等的充要条件：;（c）复数的分类：.（2）复数的几何意义（a）;（b）.（3）复数的模,其中.（4）共轭复数共轭复数：一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.REF_Ref16222\r\h[18]即如果,那么.设计意图:通过总结加强学生对复数的概念和它的几何含义的认识,并指导他们总结和归纳已有的知识体系,从而达到学习目的.4.7教学反思本次教学吸取上一次的经验,在原有基础上进行一定改进后实践效果有明显提升,教学总结如下：（1）明确变式训练,根据例题以及学生的完成情况设置三道变式训练题目,在原有基础上增加一定难度,有效帮助学生巩固所学知识的同时明确易混易错点。（2）结合数学史开展,在介绍数系扩充时,结合变式教学的相关内容在学生原有认知基础上进行提问,引导学生思考,并结合数学史进行学习,充分调动学生学习的积极性。（3）未设置分层变式训练,班上学生存在分层现象,因此,在开展训练时可以针对学生情况设置不同程度的变式,学生根据自己掌握的情况进行联系,能够有效提高学生参与性以及知识掌握程度。

5教学设计（第三版）5.1课标解读5.1.1教材分析本节选自《普通高中课程标准教科书数学A版必修二》第七章第一节《复数的概念》.主要内容有:数系的扩充、复数的概念和复数的几何意义.复数的学习是在原有的数系基础上进行扩充,为学生进一步学习复数的运算奠定基础.5.1.2课标分析在高中阶段,复数是一个重要的知识点,通过这一节的学习,能够让学生们在解决方程式的过程中了解到复数的必要性.同时,还能对复数进行更深入的了解,了解复数的代数表示和它的几何意义,以及两个复数的相等的意义.学生通过具体的问题情境,了解数系的扩充过程,在这个过程中发现现有的理论储备与研究需要之间的矛盾,体会到引入复数的重要性和必要性.5.2学情分析5.2.1学生已有的知识在学习本节内容之前,学生已经学习了自然数、整数、无理数等,接触过数系的扩充,但缺乏从宏观的角度观察数系扩充的过程,对于“为什么扩充”和“如何扩充”的认识不到位.5.2.2可能存在的问题该班学生现处于高一阶段,能够在教师的引导下思考、探索问题,具备一定的分析问题、解决问题的能力,但学生两极分化严重,后进生在学习过程中可能会有些吃力,需要教师格外注意.5.3教学目标（1）通过方程的解认识复数,理解复数的概念,REF_Ref22978\r\h[1]初步形成基本的数学抽象能力;（2）了解复数体的代数表达方式和几何含义,体会复数体和复面点之间的一对一的联系来解题,并将其培养成逻辑推理和数形结合的能力;（3）体验从实数到复数的扩展,体会到数字扩展的思想方法、复数与真实世界之间的关系.5.4教学重难点分析（1）重点：复数的概念、复数的代数形式和几何意义.（2）难点：数系的扩充过程和向量表示.5.5教学方法（1）教法:教师利用精炼但生动的语言,结合课件及教具向学生传授知识,以此达到引导学生学习知识和方法、促进学生发展的目的.（2）学法:学生根据教师的提示和引导进行学习,理解知识的同时达到会用、会变的效果,形成自己的知识框架;课堂上全神贯注,高效率地完善课堂笔记,积极思考、积极讨论、积极发言.5.6教学过程设计5.6.1课题引入运用所学知识快速求解以下方程：;;;解得：;;;无解思考1：对于第四个方程而言能否合理表示?表示为：设计意图：通过简单的计算回顾已经学过的几类数,方便后续带着学生梳理数系扩充的内容.数系的扩充：思考：从自然数集到实数集,到我们经历了几次扩充?分别解决了什么问题?REF_Ref21059\r\h[18]设计意图:通过对数系扩展的体验,让学生认识到自己的数学知识与现实生活的需求不相适应,同时也能感觉到对数系进行扩充的重要性和必要性.5.6.2讲解新知探索一：复数的概念为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,多位数学家展开了研究.十五世纪时,意大利的一位数学家卡尔达诺首次给出一元三次方程的一般解法（实为塔尔塔利亚于首先发现）,第一次在公式中出现负数的平方根。在讨论“能否将分成两部分,使其乘积为”时,给出的写法,但当时并对这种数给出定义.约一百年后,笛卡尔提出“虚数”这一词汇,但当时大部分数学家都不承认“虚数”的存在.后来又经过了几百年的发展,数学家欧拉首次用字母来表示的平方根,则是原方程的解（即）,这一理论直到今天仍在使用.老师：欧拉为我们带来了新数,把新引入的数添加到实数集中,我们希望数与实数之间仍然能像实数一样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法运算都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律.REF_Ref10098\r\h[18]思考2：实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢?依照以上设想,把实数和相乘,记作;再与实数相加,记作.（补充数学史：在欧拉引入之前,达朗贝尔就曾指出：在进行运算时,让虚数也按照已经学过的多项式的四则运算,运算的结果都可以写成的形式（其中为实数）.）定义：我们把形如的数叫复数,通常用字母表示,其中分别表示复数的实部和虚部,叫虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.REF_Ref16222\r\h[18]设计意图:结合数学史,带领学生感受“”引入的重要性,以及实数集扩充到复数集的过程,加深学生对“”的理解;引导学生探索复数的概念和代数表示,突破教学重点.在复数集中任取两个复数,其中,规定：与相等当且仅当且.REF_Ref16222\r\h[18]设计意图:指出两个复数相等需要满足的条件,强调易错点:需要同时满足实部和虚部对应相等,加深学生的印象.对于复数：当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数;当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数（例如：、、;其中为纯虚数,其余为虚数）设计意图:使学生了解复数的种类,并掌握虚数与纯虚数的定义以及两数相等的充分必要条件.思考3：复数集和实数集之间有什么关系?老师：根据前面学习的内容,不难发现当且仅当时,复数为实数.因此,实数集是复数集的真子集,即.请同学们自己动手写一写,对复数进行分类：图5复数分类注：一般情况下（当转化为实数后,可以比较大小）,复数不能比较大小,只能说相等或不相等.设计意图:以现有的知识为基础,通过变式指导学生以Wayne图形的形式来了解实数集、虚数集、复数集、纯虚数集之间的联系,使抽象的知识变得更加具体,让学生更好地了解这些知识.探索二：复数的几何意义思考4：实数能与数轴上的点一一对应,因此实数可以用数轴上的点来表示,这是实数的几何意义,类比实数,复数有什么几何意义呢?REF_Ref16222\r\h[18]任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定,并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对.因此,复数与有序实数对是一一对应的,而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.REF_Ref16222\r\h[18]建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴（如图所示）.REF_Ref16222\r\h[20]图6.1复平面注：复数用点来表示而不是.复平面内纵坐标轴上的单位长度是,不是.设计意图:在实数与数轴的认知基础上进行变式,使其更贴切现阶段的学生水平,体现变式应用的渐进性、适用性和针对性;让学生发现复数与复平面上的点的对应关系,理解复数的一种几何意义,突破教学重点.复数集与平面直角坐标系中的点集之间是一一对应的,而在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示.REF_Ref16222\r\h[18]思考5：能否用向量来表示复数呢?复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立一一对应关系.（实数与零向量对应）,即图6.2复数与复平面内的向量设计意图:结合图形,解释复数的另一种几何意义（用向量表示）,再次突破教学重难点.向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,有：,其中.REF_Ref16222\r\h[18]设计意图:结合向量的模长的相关知识,理解复数的模,并掌握复数模长的计算公式.例设复数,.REF_Ref16222\r\h[18]（1）在复平面内画出复数,对应的点和向量;（2）求复数,的模,并比较它们的模的大小.解：（1）略;（2）;.所以.共轭复数：一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.REF_Ref16222\r\h[18]即如果,那么（虚数不为的两个共轭复数也叫共轭虚数）.设计意图:对所学知识进行变式应用,体现变式在实际应用过程中应该紧扣学情体现变式应用的参与性原则,并利用几何直观引入共轭复数的概念.思考6：若是共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?令,可得与之对应的点的坐标为,的坐标为,关于实轴对称.设计意图:例题的逆向使用,引导学生将复数的数与形融合起来,培养学生数形结合的思想.5.6.3巩固新知例1当实数取什么值时,复数是下列数?REF_Ref16222\r\h[18]（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数解：（1）当,即时,复数为实数;（2）当,即时,复数为虚数;（3）当,且,即时,复数为纯虚数.变式训练1当实数取何值时,复数是下列数?REF_Ref16222\r\h[18]（1）实数;（2）虚数;（3）纯虚数.解：（1）由题可得：,则或;（2）由题可得：,则且;（3）由题可得：且,则.设计意图:对例1进行变式,结合一元二次方程求解问题,在原有基础上提升难度的同时巩固学生所学知识,体现了变式的参与性原则、渐进性原则和针对性原则.例2求适合下列方程的实数与的值：.REF_Ref16222\r\h[18]解：且,解得：,.变式训练2求满足下列条件的实数的值：.REF_Ref16222\r\h[20]分析：;根据两个复数相等的充要条件可解.解：由题：,解得：.设计意图:依据