2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第5节　空间向量的概念及运算

第5节空间向量的概念及运算【课标要求】（1）了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知识点一空间向量的线性运算1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量（或平行向量）表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的线性运算加法、减法数乘几何形式代数形式OB＝OA＋OC＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b当λ＞0时，λa＝λOA＝PQ；当λ＜0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c结合律：λ（μa）＝（λμ）a；分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb（1）（人A选一P10习题5题改编）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是（AA.－12a＋12b＋c B.12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－1解析：（1）由题意，得BM＝BB1＋B1M＝AA1＋12（AD－AB）＝c＋12（b－a）＝－（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.化简A1O－12AB－12AD＝A1A；用AB，AD，AA1表示OC1，解析：（2）A1O－12AB－12AD＝A1O－12（AB＋AD）＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A；∵OC＝12AC＝12（AB＋AD），∴OC规律方法空间向量线性运算中的三个关键点练1（1）已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝12x－2a，则x＝（BA.（0，3，－6） B.（0，6，－20）C.（0，6，－6） D.（6，6，－6）（2）（苏教选二P8练习3题改编）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，则实数x＋y＝（CA.12 B.C.32 D.解析：（1）∵b＝12x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，－2）＝（0，6，－20）.故选B（2）AP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋12AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝12，知识点二共线、共面向量定理及应用共线向量定理对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1结论（1）三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC（其中x＋y＝1），O为平面内任意一点；（2）四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点.（1）（苏教选二P15练习2题改编）下列命题正确的是（C）A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得a＝xb＋yc解析：（1）若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，则存在无数个实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不存在实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，故D错误.（2）（苏教选二P17习题6题改编）已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ＝（B）A.2 B.－2C.1 D.－1解析：（2）BD＝6PA－4PB＋λPC，即PD－PB＝6PA－4PB＋λPC，整理得PD＝6PA－3PB＋λPC，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.规律方法证明三点共线和空间四点共面的方法比较练2（1）（2025·淮安模拟）设x，y是实数，已知三点A（1，5，－2），B（2，4，1），C（x，3，y＋2）在同一条直线上，则x＋y＝（D）A.2 B.3C.4 D.5（2）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足OM＝15OA＋45OB＋25BC，则点M∈（填“∈”或解析：（1）由已知可得AB＝（1，－1，3），AC＝（x－1，－2，y＋4）.因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得AC＝λAB，所以x－1=λ，－2=－λ，（2）OM＝15OA＋45OB＋25BC＝15OA＋45OB＋25（OC－OB）＝15OA＋25OB＋25OC，∵15＋25＋知识点三空间向量数量积及其应用1.两个非零空间向量的数量积（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞；（2）a⊥b⇔a·b＝0；（3）设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝x22.空间向量运算的坐标表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）数乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）续表a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a≠0，b≠0）夹角公式cos＜a，b＞＝a（人A选一P13例2、例3改编）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求线段AC1的长；解：（1）设AB＝a，AD＝b，AA1＝c则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋所以｜AC1｜＝｜a＋b＋c｜＝（a＝1+1+4+0－2－2＝2，所以线段AC1（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；解：（2）因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝b所以AC1·A1D＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4｜A1D｜＝｜b－c＝｜b｜2＋｜设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝｜cos＜AC1，A1D＞｜＝｜AC1即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147（3）求证：AA1⊥BD.解：（3）证明：因为AA1＝c，BD＝b－a所以AA1·BD＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即AA1⊥所以AA1⊥BD.规律方法空间向量数量积的3个应用（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b｜（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；（3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.练3（1）（2025·益阳模拟）在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则PO·PA＝（D）A.59 B.C.423 D（2）（人B选一P29习题B12题改编）已知A（－1，2，1），B（－1，5，4），C（1，3，4），则AC在AB上的投影向量为（A）A.（0，2，2） B.（2，0，2）C.（2，2，0） D.（0，0，2）（3）（2025·南京六校第一次联考）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.则ax＋by＋cz的取值范围为[－1，1].解析：（1）∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，｜AO｜＝23·｜AB｜·sin60°＝233，故PO·PA＝PO·（PO＋OA）＝｜PO｜2＝｜AP｜2－｜AO｜2＝4－4（2）因为AC＝（2，1，3），AB＝（0，3，3），所以AC·AB＝0＋1×3＋3×3＝12.因为｜AB｜＝32，｜AC｜＝14，所以cos＜AC，AB＞＝AC·AB｜AC||AB｜＝1214×32＝277，所以AC在AB上的投影向量为｜AC｜cos＜AC，AB＞·AB｜AB（3）构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），则由题设知｜α｜2＝1，｜β｜2＝1.令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴cosθ＝α·β｜α｜·｜β｜＝α·β＝ax＋by＋cz.∵－1≤cosθ≤1，∴－1一、单项选择题1.已知a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），c＝（1，4，λ），若（a＋b）∥c，则实数λ＝（）A.1 B.2C.3 D.4解析：B由a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），得a＋b＝（1，4，2），又c＝（1，4，λ），且（a＋b）∥c，则11＝44＝λ2，所以λ＝2.2.（2025·潍坊开学考试）如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BE＝（）A.－a＋12b＋1B.a－12b＋1C.12a－b＋1D.－12a＋b＋1解析：A连接AE，如图所示，∵E是CD的中点，AC＝b，AD＝c，∴AE＝12（AC＋AD）＝12（b＋c）.在△ABE中，BE＝BA＋AE＝－AB＋AE，又AB＝a，∴BE＝－a＋12（b＋c）＝－a＋12b＋12c3.已知向量a＝（2，1，3），｜a＋b｜＝｜3a－b｜，则a·b＝（）A.492 B.C.14 D.35解析：B因为｜a＋b｜＝｜3a－b｜，所以｜a＋b｜2＝｜3a－b｜2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，则a·b＝a2，因为a＝（2，1，3），所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14.故选B.4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若DE＝xAB＋yAC＋zAP，则x＋y＋z＝（）A.1 B.2C.13 D.解析：A∵EC＝2PE，∴PE＝13PC，∴DE＝AE－AD＝AP＋PE－AD＝AP＋13PC－AD＝AP＋13（AC－AP）－AD＝23AP＋13AC－AD＝23AP＋13AC－BC＝23AP＋13AC－（AC－AB）＝23AP－23AC＋AB，∴x＝5.（2025·大连模拟）若点A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则｜AB｜的取值范围是（）A.[0，5] B.[1，5]C.（1，5） D.[1，25]解析：B因为AB＝（2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0），所以｜AB｜2＝（2cosθ－3cosα）2＋（2sinθ－3sinα）2＝4＋9－12（cosθcosα＋sinθsinα）＝13－12cos（θ－α）.因为－1≤cos（θ－α）≤1，所以1≤｜AB｜2≤25，即1≤｜AB｜≤5.6.如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为（）A.2 B.3C.23 D.4解析：B∵CD＝CA＋AB＋BD，∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2A·BD＋2AB·BD，∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，CA·BD＝｜CA｜｜BD｜cos（180°－120°）＝12×1×2＝1.∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝7.已知点P为棱长等于1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点，且｜PA｜＝1，则PC1·PD1的值达到最小时，PC1A.－1 B.0C.12 D.解析：B取线段C1D1的中点E，则PC1＝PE＋EC1，PD1＝PE＋ED1＝PE－EC1，因为｜PA｜＝1，所以点P在以A为球心的正方体内部的球面上，所以PC1·PD1＝（PE＋EC1）·（PE－EC1）＝PE2－EC12＝｜PE｜2－14，当A，P，E三点共线时，PC1·PD1取最小值，此时｜PE｜min＝｜AE｜－1＝12＋12＋（1二、多项选择题8.下列说法中正确的是（）A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件B.若AB，CD共线，则AB∥CDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，则P，D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件解析：CD由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，所以A不正确；若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，因为34＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ（PB－PC），即CA＝λCB，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，9.（2025·邢台模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是（A.MN＝13a＋13b＋B.｜MN｜＝5C.A1BD.cos＜AB1，B解析：BD因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，所以A1M＝13A1B＝13（AB－AA1），A1N＝A1B1＋B1N＝AB＋13B1C1＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC，所以MN＝A1N－A1M＝23AB＋13AC－13（AB－AA1）＝13AB＋13AC＋13AA1＝13a＋13b＋13c，故A错误；因为｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝12，所以MN2＝19（a＋b＋c）2＝19（a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c）＝19（3＋2）＝59，所以｜MN｜＝53，故B正确；因为A1B＝AB－AA1＝a－c，A1C1＝b，所以A1B·A1C1＝（a－c）·b＝a·b－b·c＝0－1×1×12＝－12≠0，故C错误；因为AB1＝AB＋AA1＝a＋c，BC1＝BC＋BB1＝AC－AB＋AA1＝b＋c－a，所以AB1·BC1＝（a＋c）·（b＋c－a）＝a·b＋b·c－a2＋c2＝12，因为AB12＝（三、填空题10.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，则λ＝－9.解析：由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），∴2x－y=7，11.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝13VC，VM＝23VB，VN＝23VD.则VA与平面解析：如图，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，由题意知PM＝23b－13c，PN＝23VD－13VC＝23a－23b＋13c.因此VA＝32PM＋32PN，∴VA，PM，PN共面.12.（2025·金华模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足DE＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，则｜DE｜的最小值是3解析：因为DE＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，由空间向量的共面定理可知，E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以｜DE｜的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为2的等边三角形，则S△ACD1＝12×（2）2×sinπ3＝32，S△ACD＝12×1×1＝12，由等体积法得V三棱锥D-ACD1＝V三棱锥D1-ACD，所以13四、解答题13.已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝AB，b＝AC.（1）若｜c｜＝3，且c∥BC，求c；（2）求a与b夹角的余弦值；（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.解：（1）∵c∥BC，∴设c＝mBC＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m）.∴｜c｜＝(−2m）2＋(−m）∴m＝±1.∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.（2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，又｜a｜＝12＋1｜b｜＝(−1）2∴cos＜a，b＞＝a·b｜a||∴a与b夹角的余弦值为－1010（3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b与ka－2b互相垂直，∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－5214.如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：（1）求EF的模长；（2）求EF与GH的夹角.解：（1）因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，AB＝a，AC＝b，AD＝c，所以BE＝12BC＝12（AC－AB）＝12（AF＝12AD＝1所以EF＝EB＋BA＋AF＝－12（b－a）－a＋12c＝12（c－a所以｜EF｜2＝14（c－a－b）2＝14（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝14×（1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos