2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第6节　用空间向量研究线面位置关系及距离

第6节用空间向量研究线面位置关系及距离高中总复习·数学课标要求（1）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中的线面位置关系；（2）会求空间中点到直线以及点到平面的距离.目录CONTENTS知识点一空间位置关系的向量表示01.知识点二空间距离02.课时跟踪检测03.PART01知识点一空间位置关系的向量表示1.

直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l

平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面

α的法向量.2.

空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向

向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔

＝0直线l的方向向量

为u，平面α的法

向量为nl∥αu⊥n⇔u·n＝0l⊥αu∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn平面α，β的法

向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0u1·u2

如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面

ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

（1）证明：AP⊥BC；

（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.

又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.

规律方法利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，

且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.

证明：（1）B1D⊥平面ABD；

（2）平面EGF∥平面ABD.

PART02知识点二空间距离

（a·u）u

（1）已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个

方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（

D

）A.

B.

C.

D.

D（2）（人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－

1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为

（

D

）A.3B.

C.

D.

D

规律方法点线距的求解步骤

2.

直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.

（苏教选二P40例10改编）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面

ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离；

（2）求直线AC到平面PEF的距离.

规律方法利用向量法求点B到平面α的距离的步骤练2

〔多选〕（人A选一P35练习2题改编）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1

的棱长为2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点，则（

）A.

点A1到直线B1E的距离为

B.

直线FC1到直线AE的距离为2C.

点B到平面AB1E的距离为

D.

直线FC1到平面AB1E的距离为

√√解析：

建立如图所示的空间直角坐标系，

PART03课时跟踪检测一、单项选择题1.

若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向

量是（

）A.

（2，2，6）B.

（1，2，3）C.

（3，1，1）D.

（－3，0，1）

√123456789101112131415162.

已知平面α的一个法向量为n＝（－1，0，－1），点A（3，3，0）在

平面α内，则平面外一点P（－2，1，4）到平面α的距离为（

）A.

B.

C.

D.1

√123456789101112131415163.

（2025·济南模拟）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面

AB1C与平面A1C1D之间的距离为（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB

＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则

点G到直线AD的距离为（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.10B.12C.15D.20√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（

）A.

平面B1EF⊥平面BDD1B.

平面B1EF⊥平面A1BDC.

平面B1EF∥平面A1ACD.

平面B1EF∥平面A1C1D√12345678910111213141516解析：

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD且

DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以

EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以

EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，

DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面

B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；如

图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（1，1，1）B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题

A.

EF∥BD1B.

EF⊥A1DC.

EF＝

D.

点F到平面ABD1的距离为

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·梅州模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点

M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列命

题正确的是（

）A.

MN⊥A1MB.

MN⊥平面D1MCC.

线段BN长度的最大值为

D.

三棱锥C1-A1D1M的体积不变√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

AB∥α或AB⊂α1234567891011121314151611.

（2025·黄冈模拟）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面

ABCD，CG＝2，E是AB的中点，F是AD上靠近A的四等分点，则点B

到平面GEF的距离为

⁠.

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M

为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在

圆锥底面上形成的轨迹的长度为

.

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答题13.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方

形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.

（1）求证：EF⊥CD；12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.

1234567891011121314151614.

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.

（1）求点B到直线AC1的距离；

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）判断直线FC与平面AEC1的位置关系；如果平行，求直线FC到平面

AEC1的距离.

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