2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 放缩法证明不等式

放缩法证明不等式放缩法主要应用于不等式的证明问题中，函数与导数不等式中的放缩问题主要涉及利用基本不等式进行放缩，与ex、lnx有关的放缩及与三角函数sinx、cosx、tanx有关的放缩等.一、利用基本不等式进行放缩设f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1，求证：当x∈（0，2）时，f（x）＜9x证明：由基本不等式，当x＞0时，（x+1）×1＜x+1+12∴f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1＜ln（x＋1）＋x记h（x）＝ln（x＋1）＋x2－9则h'（x）＝1x+1＋12－54当0＜x＜2时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0.∴ln（x＋1）＋x2＜9从而f（x）＜9x规律方法将符合如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），a＋b≥2ab（a≥0，b≥0）的式子，利用基本不等式进行放缩后，构造函数，从而证明不等式.二、与ex，lnx有关的放缩已知函数f（x）＝ex－x－1.（1）求证：f（x）≥0；（2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.证明：（1）f'（x）＝ex－1，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）min＝f（0）＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f（x）≥0.（2）令g（x）＝ex－mx＋cosx－2，则g'（x）＝ex－m－sinx，由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－sinx＝x－sinx.令h（x）＝x－sinx，则h'（x）＝1－cosx，当x≥0时，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0，则g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增，当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋cosx－2≥0，所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.规律方法1.指数放缩（1）放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex＞x，ex≥ex；（2）放缩成类反比例函数：ex≤11－x（x＜1），ex＜－1x（2.对数放缩（1）放缩成一次函数：lnx≤x－1，ln（1＋x）≤x；（2）放缩成类反比例函数：lnx≥1－1x，ln（1＋x）≥x三、与sinx，cosx，tanx有关的放缩已知f（x）＝cosx，x∈［0，π2）.（1）求证：tanx·f（x）≤x；（2）求证：2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2）.证明：（1）因为tanx·f（x）＝sinx，记g（x）＝sinx－x，则当x∈［0，π2）时，g'（x）＝cosx－1≤0，所以g（x）在［0，π2）上是减函数，所以g（x）≤g（0）＝0，即tanx·f（x）≤（2）要证明2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2），即证明ex·cosx≥（1+x)(2－x2）2因为ex≥x＋1，又由（1）可知，当x∈［0，π2）时，sinx≤x所以excosx＝ex（1－2sin2x2）≥（x＋1）［1－2（x2）2］＝（1＋x）（1－x故x∈［0，π2）时，2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2规律方法常见的三角函数放缩sinx＜x（x＞0），x＜tanx（0＜x＜π2），sinx≥x－12x2，1－12x2≤cosx≤1－121.已知函数f（x）＝（x＋1）（ex－2）＋1x－sinx（1）试结合ex≥x＋1和lnx≤x－1，证明：xex＞x－1x＋2（2）求证：∀x∈（0，＋∞），f（x）＞0.证明：（1）xex＝ex＋lnx≥x＋lnx＋1，当且仅当x＋lnx＝0时等号成立.由lnx≤x－1，得ln1x≤1x－1，即lnx≥－1x＋1，当且仅当x＝1时等号成立.故xex＞x－1（2）因为ex≥x＋1，xex＞x－1x＋2，所以（x＋1）ex＞2x－1x＋因为sinx≤1，所以2x－1x＋3≥2x＋2－1x＋sinx，即（x＋1）ex＞2x＋2－1x＋sin从而（x＋1）（ex－2）＋1x－sinx＞0，即f（x）＞02.已知函数f（x）＝xlnx＋ax＋b在（1，f（1））处的切线为2x－2y－1＝0.（1）求f（x）的单调区间与最小值；（2）求证：ex＋lnx＞cosx＋sinx解：（1）f'（x）＝1＋lnx＋a，则有f'（1）＝1＋a＝1，得a＝0.又2－2f（1）－1＝0，所以f（1）＝a＋b＝12，得b＝1故f（x）＝xlnx＋12，f'（x）＝1＋lnx当x∈（0，1e］时，f'（x）≤0，f（x）单调递减当x∈（1e，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增所以f（x）的单调递减区间为（0，1e］，单调递增区间为（1e，＋∞），f（x）min＝f（1e）＝1（2）证明：要证ex＋lnx＞cosx＋sinx－1x，由－1≤cosx≤1，x＞sinx，及ex＞得ex＋lnx＞x＋1＋ln