2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 球的切、接问题

微突破球的切、接问题高中总复习·数学球的切、接问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一

般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利

用等体积法求内切球半径等，一般以客观题的形式出现.

3.

正棱锥与球（1）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半

径为r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱锥外接球半径为R，高为h）；

5.

直棱柱（圆柱）的外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱

的上、下底面可以是任意三角形）.（1）确定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圆圆心连线段

O1O2的中点处；

一、空间几何体的外接球角度1

定义法

A.100πB.128πC.144πD.192πA

（2）已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为

⁠.

规律方法

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外

接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距

离也是半径，列关系式求解即可.角度2

补形法

A.

B.4πC.

D.

4

πA

规律方法1.

若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图

1所示.2.

若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.3.

若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图3所示.角度3

截面法

（1）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两

个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的

侧面积为（

C

）A.

πB.

2

πC.

4

πD.

6

πC

（2）（2025·南昌四校联考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，

M，N分别为AD，BC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面A1MN

截球O得到的截面圆的面积为（

D

）A.

B.

C.

D.

D

规律方法与球截面有关的解题策略（1）定球心：外接球的球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目的.二、空间几何体的内切球

（1）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直线为

轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（

B

）A.

B.

C.

D.

B

（2）（2024·海东模拟）在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该

四棱锥内切球的表面积是（

C

）A.

B.

C.

D.

C

规律方法1.

内切球球心到多面体各面的距离均相等.2.

正多面体的内切球和外接球的球心重合.3.

正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.4.

体积分割是求内切球半径的通用做法.

A.12

B.

2

C.

6

D.48

√

2.

已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径为6，且AB⊥BC，BC＝2，

则该棱柱的体积的最大值为（

）A.8B.12C.16D.24√

A.1＋

B.

＋

C.

＋

D.

＋

√

4.

（2025·惠州联考）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适

当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长

为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的

截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为（

）A.20πB.21πC.22πD.23π√

5.

〔多选〕将正三棱锥P-ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P-ABC-Q，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中正确的有（

）A.

PQ⊥平面ABCB.

若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上C.

若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝

PAD.

若AB＝

PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心√√