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文档简介
重难专攻（一）函数中的构造问题高中总复习·数学
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，多以客观题的形式出现，通过构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等），来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.重点解读目录CONTENTS提能点1导数型构造函数01.提能点2利用变量构造具体函数02.提能点3通过数值构造具体函数03.课时跟踪检测04.PART01提能点1导数型构造函数角度1
利用f（x）与xn构造函数
（1）（2025·烟台一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0
时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集
为（
D
）A.
（－4，0）∪（0，4）B.
（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.
（－4，0）∪（4，＋∞）D.
（－∞，－4）∪（0，4）D解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出
当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调
递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
A.
f（2）＞f（3）B.2f（1）＞f（3）C.
f（5）＞2f（2）D.3f（5）＞f（1）B
规律方法利用f（x）与xn构造函数（1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
角度2
利用f（x）与ex构造函数
（2025·长春模拟）已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函
数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（
）A.
f（2）＞e2f（0），f（2
024）＞e2
024f（0）B.
f（2）＜e2f（0），f（2
024）＞e2
024f（0）C.
f（2）＞e2f（0），f（2
024）＜e2
024f（0）D.
f（2）＜e2f（0），f（2
024）＜e2
024f（0）√
规律方法利用f（x）与ex构造函数（1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；
角度3
利用f（x）与sin
x，cos
x构造函数
A.
（0，
）B.（0，
）C.
（0，
）D.（0，
）√
规律方法利用f（x）与sin
x，cos
x构造函数的常见类型（1）F（x）＝f（x）sin
x，F'（x）＝f'（x）sin
x＋f（x）·cos
x；
（3）F（x）＝f（x）cos
x，F'（x）＝f'（x）cos
x－f（x）sin
x；
练1（1）（2025·南昌模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）
＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为（
D
）A.
（－∞，－3）B.（－3，0）C.
（0，3）D.（3，＋∞）解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）是增函数.又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.D（2）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（－3）＝0.当x＞0时，xf'（x）
＋2f（x）＞0，其中f'（x）为f（x）的导函数，则使得f（x）＞0成立
的x的取值范围是（
B
）A.
（－∞，－3）∪（0，3）B.
（－3，0）∪（3，＋∞）C.
（－3，0）∪（0，3）D.
（－∞，－3）∪（3，＋∞）B解析：令g（x）＝x2f（x），x∈R，当x＞0时，g'（x）＝x2f'（x）＋2xf（x）＝x[xf'（x）＋2f（x）]＞0，即g（x）在（0，＋∞）上单调递增，∵f（x）为R上的奇函数，即f（－x）＝－f（x），于是得g（－x）＝（－x）2f（－x）＝－g（x），则g（x）是奇函数，g（x）在（－∞，0）上单调递增，又f（－3）＝0，则g（3）＝－g（－3）＝－[（－3）2f（－3）]＝0，当x＞0时，f（x）＞0⇔g（x）＞0＝g（3），得x＞3，当x＜0时，f（x）＞0⇔g（x）＞0＝g（－3），得－3＜x＜0.综上，得－3＜x＜0或x＞3，∴使f（x）＞0成立的x的取值范围是（－3，0）∪（3，＋∞）.故选B.
A.
f（
）＞f（
）B.
f（
）＞2cos
1·f（1）C.
2f（
）＜
f（
）D.
f（
）＜f（
）D
PART02提能点2利用变量构造具体函数A.
ey－x＞1B.ey－x＜1C.
ey－x－1＞1D.ey－x－1＜1
A（2）已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则
（
D
）A.
c＜b＜aB.
b＜c＜aC.
a＜c＜bD.
a＜b＜cD
规律方法
若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等
号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解.
A.
α＞βB.α2＞β2C.
α＜βD.α＋β＞0
B
3
PART03提能点3通过数值构造具体函数
A.
c＜b＜aB.
b＜c＜aC.
c＜a＜bD.
a＜c＜bD
A.
c＜a＜bB.
c＜b＜aC.
a＜b＜cD.
a＜c＜bA
规律方法
当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同
之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利
用函数的单调性比较大小.练3（1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（
A
）A.
a＞0＞bB.
a＞b＞0C.
b＞a＞0D.
b＞0＞a解析：由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.A（2）实数e3，3π，π3的大小关系为
.
e3＜π3＜3π
PART04课时跟踪检测一、单项选择题1.
（2025·潍坊一模）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'
（x），满足f（x）－xf'（x）＜0，若a＝2f（2），b＝f（4），则
（
）A.
a＜bB.
a＞bC.
a＝bD.
a，b的大小无法判断
123456789101112√2.
（2024·周口模拟）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），
对任意x∈R满足f（x）＋f'（x）＜0，则下列结论一定正确的是（
）A.e2f（2）＞e3f（3）B.e2f（2）＜e3f（3）C.e3f（2）＞e2f（3）D.e3f（2）＜e2f（3）解析：
构造函数g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f'（x）＋f（x）]，因为f（x）＋f'（x）＜0，故g'（x）＜0，因此可得g（x）在R上是减函数，由于2＜3，故g（2）＞g（3）⇒e2f（2）＞e3f（3），故选A.
√123456789101112
A.
b＜c＜aB.
c＜a＜bC.
c＜b＜aD.
b＜a＜c
√1234567891011124.
设函数f'（x）是奇函数f（x）（x≠0）的导函数，f（－1）＝－1.当
x＞0时，f'（x）＞1，则使得f（x）＞x成立的x的取值范围是（
）A.
（－∞，－1）∪（0，1）B.
（－1，0）∪（1，＋∞）C.
（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.
（－1，0）∪（0，1）√123456789101112解析：
由f'（x）＞1（x＞0），可得f'（x）－1＞0，令g（x）＝f
（x）－x，则g'（x）＝f'（x）－1＞0，故g（x）在（0，＋∞）上单调
递增.因为f（－1）＝－1，所以g（－1）＝f（－1）＋1＝0，又因为f
（x）为奇函数，所以g（x）＝f（x）－x为奇函数，所以g（1）＝0，
且在区间（－∞，0）上g（x）单调递增.所以使得f（x）＞x，即g
（x）＞0成立的x的取值范围是（－1，0）∪（1，＋∞）.故选B.
123456789101112
A.sin
α＞sin
βB.cos
α＞cos
βC.cos
α＞sin
βD.sin
α＞cos
β√
1234567891011126.
（2025·黄山第一次质检）已知实数a，b，c∈（0，1），且a＝2
022ea－2
022，b＝2
023eb－2
023，c＝2
024ec－2
024，则（
）A.
a＜b＜cB.
c＜a＜bC.
b＜c＜aD.
c＜b＜a√123456789101112
123456789101112二、多项选择题7.
（2025·杭州一模）定义在（0，＋∞）上的函数f（x），且（x3＋
x2）f'（x）＜（3x2＋2x）f（x）恒成立，则必有（
）A.
f（3）＞18f（1）B.
f（2）＜6f（1）C.
3f（1）＞16f（
）D.
f（3）＜3f（2）√√
123456789101112
1234567891011128.
设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f'（x），g'
（x）为其导函数，当x＜0时，f'（x）·g（x）＋f（x）·g'（x）＜0
且g（－3）＝0，则使得不等式f（x）·g（x）＜0成立的x的取值范围
是（
）A.
（－∞，－3）B.（－3，0）C.
（0，3）D.（3，＋∞）√√123456789101112解析：
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇
函数和偶函数，∴f（－x）＝－f（x），g（－x）
＝g（x），令h（x）＝f（x）·g（x），则h（－
x）＝－h（x），故h（x）＝f（x）·g（x）为R上
的奇函数，∵当x＜0时，h'（x）＝f'（x）·g（x）＋f（x）·g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）·g（x）在区间（－∞，0）
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