2025高考数学 重难题型与知识梳理 专题23 等差、等比数列及其前n项和（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）

专题23等差、等比数列及其前n项和目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳Ⅰ、等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝eq\f(x＋y,2).②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).Ⅱ、等比数列及其前n项和1.等比数列的概念(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.本专题在高考中占有重要地位，多以选择题，填空题的形式出现，在解答题中也会时常出现。题型一等差数列基本量的运算例1已知等差数列的前项和为，且，，则（

）A． B．1 C． D．答案D分析根据给定条件，利用等差数列前项和公式及性质计算即得.解析在等差数列中，，解得，而，由，得.故选：D方法归纳(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.题型二等差数列的判定与证明例2已知首项为1的数列的前项和为，且.(1)求证：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和.答案(1)证明见解析；(2).分析（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得.（2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得.解析（1）由，得，即，两边同加，得，则，因此数列为常数列，所以数列为等差数列.（2）由（1）知，，则，，当为正奇数时，，；当为正偶数时，，，当为正奇数时，；当为正偶数时，，所以.方法归纳判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3在等差数列中，若，则的值为（

）A．20 B．30 C．40 D．50答案C分析直接由等差数列的性质即可求解.解析由题意.故选：C.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（

）A．5 B．6 C．9 D．11答案C分析根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.解析因为等差数列和的前项和分别为和，且，所以.故选：C(2)若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（

）A．30 B．70 C．50 D．60答案C分析根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值.解析∵在等差数列an中，，，也成等差数列，∴，∴，∴．故选:C.方法归纳(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．②S2n－1＝(2n－1)an.③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．题型四等比数列基本量的运算例5已知首项为1的等比数列的前项和为Sn，若，则（

）A．24 B．12 C．20 D．15答案D分析根据给定条件，借助等比数列前项和公式求出公比即可得解.解析设等比数列an的公比为，显然，否则，此等式不成立，则，由，整理得，即，因此，所以.故选：D方法归纳(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).题型五等比数列的判定与证明例6已知为数列的前项和，若.(1)求证：数列为等比数列；(2)令，若，求满足条件的最大整数.答案(1)证明见解析(2)分析（1）利用与的关系式可得，即，即可得证.（2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解.解析（1）证明：由可得，当时，，解得，当时，，即，则，即，即，即，又，所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.（2）由（1）得，则，设，则令，得，即，即，又，，，所以满足条件的最大整数为为5.方法归纳等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．题型六等比数列的性质例7（1）记等比数列的前项和为，则（

）A．121 B．63 C．40 D．31答案A分析利用等比数列的下标和性质求得，进而利用等比数列的通项公式求得，再利用等比数列的求和公式即可得解.解析根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，得，又由，则，解得，故，则.故选：A.（2）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（

）A． B． C． D．3答案C分析由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解.解析由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有，而对于等比数列而言，，从而.故选：C.方法归纳(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．题型七分组求和与并项求和例8已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2024项和．答案(1)(2)1012分析（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可；（2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解.解析（1）设等差数列的公差为，由题意可知，，即，解得，所以；（2）由（1）可知，，对于任意，有，所以，故数列的前2024项和为．方法归纳(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．题型八错位相减法求和例9已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且）．(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和，求证：．答案(1)(2)证明见解析分析（1）根据的关系可得为等差数列，即可求解，进而可得，（2）利用错位相减法求和，即可求证.解析（1）当时，，即，解得．因为（），所以（），又（，），，所以（），又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以，由于，所以方法归纳(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.题型九裂项相消法求和例10已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.答案(1)(2)分析（1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式；（2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出.解析（1）设等差数列的首项为，公差为，由可得，解得，所以；因此的通项公式为，（2）由（1）可得；所以，因此数列的前n项和;即可得.方法归纳