《实际问题与一元二次方程》教案

第1课时用一元二次方程解决传播和数字问题课时目标1.能根据“传播问题”中的数量关系,正确列出一元二次方程,选用合适的方法求解,根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.2.经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中,进一步锻炼学生的分析问题、解决问题的能力.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.学习重点通过一元二次方程解决实际生活中的传播问题.学习难点通过实际问题中的数量关系,列方程并求解.课时活动设计复习导入列方程解决实际问题的基本步骤有哪些?解:(1)审:分清已知未知,明确数量关系;(2)设:设未知数;(3)列:列方程;(4)解:解方程;(5)验:根据实际检验结果;(6)答:写出答案.设计意图:通过循序渐进的方法,先复习列方程解决实际问题的基本步骤,为学习新知作铺垫,进而引出本节所学知识.

探究新知探究1有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?教师引导学生分析,设每轮传染中平均一个人传染了x个人.开始有一个人患了流感,他传染给了x个人,用代数式表示,第一轮后共有1+x个人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有1+x+x(1+x)个人患了流感.

列方程1+x+x(1+x)=121.解方程得x1=10,x2=-12(不符合题意,舍去).平均一个人传染了10个人.问题拓展:如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人患流感?解:121+121×10=1331(人).答:经过三轮传染后共有1331个人患流感.探究2某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,每个支干长出多少个小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x2=57.解方程,得x1=7,x2=-8(不符合题意,舍去).答:每个支干长出7个小分支.设计意图:通过教师引导,让学生积极思考,经历由实际问题求解一元二次方程的过程,进一步锻炼学生的分析问题、解决问题的能力.归纳总结教师引导学生思考并解答如下问题:1.分析传染病问题和树枝分叉问题中的数量关系有何区别?答:传染病问题中,每名患者在每轮中都会传染,表示为1+x+x(1+x).树枝分叉问题中,主干只长支干,支干又长出分支,表示为1+x+x2.2.列方程解决实际问题的步骤都有哪些?答:审、设、列、解、验、答.设计意图:归纳总结,对比反思传染病问题与树枝分叉问题的区别,避免以后做题出错;总结列方程解决实际问题的过程,有利于学生规范答题.拓展应用1.某病毒传染性强,有一个人感染了此病毒,未被有效隔离,经过两轮传染,共有196名感染者,在每轮传染中,设平均一个人传染了x个人,则可列方程(B)A.1+x=196 B.(1+x)2=196 C.1+x2=196 D.1+x+x2=1962.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又各自邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为(B)A.9 B.10 C.11 D.123.某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则参赛的班级共有(C)A.4个 B.5个 C.6个 D.7个设计意图:本环节主要是对本节所学的传播问题的两种情况展开练习,检查学生对所学知识的掌握情况,巩固所学知识,增强学生的辨析能力.课堂小结1.传播问题有几种情况?有什么区别?2.列方程解决实际问题的步骤有哪些?设计意图:通过小结,让学生回顾反思,把所学的知识内化为自已的知识.第1课时用一元二次方程解决传播和数字问题1.传染问题.2.树木分支问题.第2课时用一元二次方程解决平均变化率问题课时目标1.能根据“平均变化率问题”中的数量关系,正确列出一元二次方程,选用合适的方法求解,根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体验解决问题策略的多样性,发展数学应用意识.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.学习重点通过一元二次方程解决实际生活中的平均变化率问题.学习难点通过实际问题中的数量关系,列方程并求解.课时活动设计复习导入某工厂第一个月的产值为70万吨,第二个月比第一个月增长了10%,则第二个月的产值为70×(1+10%)=77(万吨);

第三个月比第二个月增长了10%,则第三个月的产值为77×(1+10%)=84.7(万吨).

思考:第三个月的产值我们还可以怎么表示呢?解:70×(1+10%)(1+10%)=70×(1+10%)2=84.7(万吨).设计意图:通过循序渐进的方法,先复习增长率问题,为学习新知作铺垫,进而引出本节所学知识.探究新知两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元).显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).

解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元.5000(1-x)2=3000,解方程,得x1≈0.225,x2≈1.775(不符合题意,舍去);设乙种药品成本的年平均下降率为y,则一年后乙种药品成本为6000(1-y)元,两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元则6000(1-y)2=3600,解方程,得y1≈0.225,y2≈1.775(不符合题意,舍去).因此,甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%,乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.∴甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大.设计意图:让学生经历分析问题,得到等量关系,运用一元二次方程解决实际问题的过程,培养学生的数学意识和应用意识.归纳总结若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系为a(1±x)n=b,其中增长取“+”,降低取“-”.设计意图:归纳总结,对比两种问题的区别,避免以后做题出错.同时根据它们的数量关系总结出方程的数学模型,提高学生做题效率.巩固训练1.某房屋开发公司开发建设住宅面积由2021年的4000m2,增长到2023年的7000m2,设这两年开发建设住宅面积的年平均增长率为x,则可列方程为4000(1+x)2=7000.

2.某市加大了保障性住房的建设力度,2021年市政府共投资2亿元人民币建设了保障性住房8万平方米,预计到2023年底三年累计投资9.5亿元人民币建设保障性住房,若在这两年内每年的投资增长率相同.(1)求每年市政府投资的增长率;(2)若这两年内的建设成本不变,求到2023年底共建设了多少万平方米的保障性住房.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5.解方程,得x1=0.5=50%,x2=-3.5(不符合题意,舍去).答:每年市政府投资的增长率为50%.(2)9.5÷2×8=38(万平方米).答:到2023年底共建设了38万平方米的保障性住房.设计意图:强化练习,规范学生对解题步骤的书写,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正,对于学生做题中出现的问题展开辨析,有利于学生思维的发展.拓展应用1.某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万,2023年的新注册用户数为169万,设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0),则x=30%(用百分数表示).

2.某厂工业废气年排放量为2000万立方米,为了改善大气质量,该厂决定分两期投入治理,使废气的年排放量减少到1280万立方米,那么这两期废气年排放量的平均减少率是20%.

3.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.(1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率;(2)按照(1)中亩产量的平均增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.解:(1)设第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为x.由题意,得700(1+x)2=1008.解方程,得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).答:第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为20%.(2)1008×(1+20%)=1209.6(公斤),∵1209.6>1200,∴他们的目标能实现.设计意图:本环节主要是对本节所学的增长率问题展开练习,检查学生上课掌握的情况;巩固课内所学知识,增强学生的辨析能力.课堂小结利用一元二次方程解决平均变化率问题时,我们应注意哪些细节?设计意图:通过小结,让学生回顾反思,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测1.某农户的小麦产量年平均增长率为x,第一年的产量为50000kg,第二年的产量为50000(1+x)kg,第三年的产量为50000(1+x)2kg.

2.某粮食厂2023年面粉产量为a吨,如果在以后两年平均每年减产的百分率为x,那么预计2024年的产量将是a(1-x),2025年的产量将是a(1-x)2.

3.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度共生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是50+50(1+x)+50(1+x)2=196.

4.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是10%.

5.某校去年对操场改造的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校今明两年在操场改造投资上的平均增长率.解:设该校今明两年在操场改造投资上的平均增长率为x,由题意,得2(1+x)+2(1+x)2=12.解方程,得x1=1=100%,x2=-4(不符合题意,舍去).答:该校今明两年在操场改造投资上的平均增长率为100%.设计意图:本环节进一步对本节课所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.第2课时用一元二次方程解决平均变化率问题1.增长情况2.降低情况第3课时用一元二次方程解决几何图形问题课时目标1.能根据“几何图形问题”中的数量关系,正确列出一元二次方程,选用合法的方法求解,根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.2.经历数学建模建立一元二次方程的过程,锻炼学生分析问题,解决问题的能力.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.学习重点通过一元二次方程解决实际生活中的几何图形问题.学习难点通过实际问题中的数量关系,列方程并求解.课时活动设计情境引入如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?设计意图:情景呈现,引出本节要解决的问题情景,同时设置障碍,激起学生解决问题的欲望,引起学生对问题的探究.探究新知回顾导入的问题:如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?教师引导分析:封面的长宽之比是2721=97,中央的矩形的长宽之比也应是97.设中央的矩形的长和宽分别为9acm和7acm,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是12(27-9a)12(21-7a)=9(3-a)7(3-a解法1:设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中央的矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程(27-18x)(21-14x)=27×21×34整理,得16x2-48x+9=0.解方程,得x1=6+334,x2=思考:方程的哪个根符合实际意义?为什么?∵21-14x>0,解得x<1.5,∴x1=6+334不符合题意,舍去,x2=6−3∴9x=9×6−334≈1.8(cm),7x=7×6−334答:上、下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.解法2:设正中央的矩形的长为9xcm,宽为7xcm.列方程9x·7x=27×21×34解方程,得x1=332,x2=-3∴上、下边衬的宽为27−9x2=27−9×3222≈1.8(cm),左、右边衬的宽为21−7答:上、下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.设计意图:教师引导学生经历对几何图形问题进行分析,找出等量关系,列方程求解,并根据实际情况,检验数学模型的解是否符合实际的过程.培养学生的数学意识和应用意识.典例精讲例现有一个长方体木箱,底面是一个正方形,高为3m,体积为4.32m3,求该木箱的底面周长.解:设这个长方体底面边长为xm,由题意,得3x2=4.32,解方程,得x1=1.2,x2=-1.2(不符合题意,舍去).∴该木箱的底面周长为4x=4.8(m).答:该木箱的底面周长为4.8m.设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,加深同学们对用一元二次方程解决几何问题的理解.归纳总结我们在对以矩形为载体的几何图形问题进行审题、建模时要注意哪些细节?首先根据所设的未知数,表示出所求矩形的长和宽;其次根据题中给定的数量关系列出方程;最后对于所求出的结果进行检验,选出符合题意的解.设计意图:通过归纳总结,将本节所学知识内化为自已的知识,为学生做题提供帮助,通过归纳还可以使学生有效地突破建模这一难点,进而达成教学目标.拓展应用1.如图,一块试验园是边长为60米的正方形,为了便于管理,现要在中间开辟一横两纵的等宽小道,使得剩下的种植面积为3422平方米,则小道的宽为(B)A.0.5米 B.1米 C.1.5米 D.2米第1题图第2题图2.如图,在长为32m,宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,则道路的宽为(C)A.1m B.1.5m C.2m D.2.5m3.在长方形钢片上裁掉一个长方形,制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2,求这个长方形框的边框宽.解:设这个长方形框的边框宽为xcm,由题意,得(30-2x)(20-2x)=30×20-400.解方程,得x1=5,x2=20(不符合题意,舍去).答:这个长方形框的边框宽为5cm.设计意图:本环节主要是对本节所学的几何图形问题展开变式练习,检查学生上课掌握的情况;是对课内所学知识的一个变式巩固,增强学生的应变能力.课堂小结利用一元二次方程解决几何图形问题时,我们应注意哪些细节?设计意图:通过小结,让学生回顾反思,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测1.等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm,下底比上底多16cm,求梯形的高.解:设这个梯形的高为xcm,则上底为(x+4)cm,下底为(x+20)cm.根据题意,得12xx+4+整理,得x2+12x-160=0.解方程,得x1=8,x2=-20(不符合题意,舍去).答:这个梯形的高为8cm.2.小林准备进行如下操作:把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法正确吗?请说明理由.解:(1)设剪成的一段长为xcm,则另一段长为(40-x)cm.根据题意,得x42+10−整理,得x2-40x+336=0.解方程,得x1=12,x2=28.当x=12时,40-x=28;当x=28时,40-x=12.答:剪成的一段长为12cm,另一段长为28cm.(2)小峰的说法正确.理由:根据题意,令x42+10−整理,得x2-40x+416=0.Δ=b2-4ac=(-40)2-4×416=-64<0.∴方程无实数根.∴小峰说法正确.设计意图:本环节进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.第3课时用一元二次方程解决几何图形问题1.情景呈现.2.常见几何图形面积的等量关系.第4课时用一元二次方程解决销售问题课时目标1.进一步运用一元二次方程解决实际问题(销售问题).2.通过解决“销售问题”,体验建立数学模型解决实际问题的一般过程,增强应用意识和应用能力,培养学生解决问题的能力.3.让学生经历用一元二次方程解决销售问题的过程,学会与他人合作交流,体会数学的实用性,激发学习数学的兴趣.学习重点通过一元二次方程解决实际生活中的销售问题.学习难点通过实际问题中的数量关系,列方程求解.课时活动设计知识回顾销售问题中,常见的等量关系有哪些?解:利润=售价-成本(进价);原售价×打折数=现售价;利润成本×100%=利润率;单利润×销量=总利润设计意图:回顾销售问题中的基本概念和关系式,分散教学难点,为学习本节新知识作铺垫.探究新知车厘子的含铁量是水果之首,深受人们的喜爱,某超市以每斤20元的价格进了一批,经调查发现,当售价为每斤30元时,可售出200斤.当售价每降低1元时,销量会增加20斤,超市决定降价促销使利润达到1500元,如果设每斤降低了x元,那么请你根据题意列出方程.分析:本题的等量关系为每斤的利润×销量=总利润.故设每斤降低了x元,则现在每斤的售价就是(30-x)元,则每斤的利润就是(30-x-20)元;销量就变成了(200+20x)斤.解:根据题意可列出方程为(30-x-20)(200+20x)=1500.整理,得x2=25.解方程,得x1=5,x2=-5(不符合题意,舍去).答:每斤降低5元,利润能达到1500元.设计意图:教师引导学生分析销售问题中涉及的等量关系,建立方程,根据实际意义,检验解的合理性.培养学生的主动性,增强分析问题、解决问题的能力.典例精讲例某公司2月份新上市了20套产品,由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4月份销量达到了45套,并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.(1)求该产品每次的增长率.(2)若该产品每套盈利2万元,则平均每月可售30套.为了尽量减少库存,该公司决定采取合适的降价措施.经调查发现,每套每降低0.5万元,公司平均每月可多售出20套;若该公司在5月份要获利70万,则每套产品要降低多少万元?分析:本题的第1问就是我们前面刚学的平均增长率问题,第2问就是销售问题.解:(1)设该产品每次的增长率为x.列方程,得20(1+x)2=45.解方程,得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意,舍去).答:该产品每次的增长率为50%.(2)设每套降低a万元,则每月销量为30+a0.5根据题意,得(2-a)30+a0.5解得a1=1,a2=0.25.∵要减少库存,∴a取1.答:每套产品要降低1万元.设计意图:本题为综合应用,难度较大,要注意:一是找出题中主要数量关系,二是选择符合题意的根.规范学生的解题步骤,让学生感受数学的严谨性.归纳总结我们在对销售问题进行审题建模时要注意哪些细节?首先根据所设的未知数,表示出相关量;其次根据题中给定的数量关系列出方程;最后对于所求出的结果进行检验,选出符合题意的解.设计意图:通过归纳总结,将本节所学知识内化为自已的知识,为学生做题提供帮助;通过归纳还可以使学生有效的突破建模这一难点,进而达成教学目标.拓展应用某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元进行销售,则一个月能售出500kg;销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润.(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应为多少?解:(1)月销售量为500-(55-50)×10=450(kg);月销售利润为450×(55-45)=6750(元).(2)设销售单价为x元,则月销售量为[500-10(x-50)]kg.列方程得(x-40)[500-10(x-50)]=8000.解得x1=60,x2=80.当x=60时,40×[500-10×(60-50)]=16000,∵16000>10000,∴不符合题意,舍去;当x=80时,40×[500-10×(80-50)]=8000,∵8000<10000,∴销售单价应为80元.答:销售单价应为80元.设计意图:本环节主要是对本节所学的销售问题展开变式练习,检查学生上课的掌握情况;是课内所学知识的一个变式巩固,增强学生的应变能力.课堂小结利用一元二次方程解决销售问题时,我们应注意哪些细节?设计意图:通过小结,让学生回顾反思,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测某商场销售甲、乙两种冰箱,甲种冰箱每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2000元,市场调研表明:当销售价为2600元时,平均每天能售出12台;而当销售价每涨价25元时,平均每天能少售出4台.商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天均达到5000元,那么两种冰箱的定价应各是多少?解:设甲种冰箱降价x个50元.列方程,得(2900-50x-2500)(8+4x)=5000.解得x1=x2=3.∴2900-50×3=2750(元).设乙种冰箱涨价y个25元.列方程,得(2600+25y-2000)(12-4y)=5000.解得y1=1,y2=-22(不符合题意,舍去).∴2600+25×1=2625(元).答:甲种冰箱的定价应为2750元,乙种冰箱的定价应为2625元.设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺.第4课时用一元二次方程解决销售问题1.销售问题中常见的数量关系.2.列方程解决销售问题.知能演练提升一、能力提升1.若两个连续整数的积是56,则它们的和是()A.±15 B.15 C.-15 D.112.某蔬菜种植基地2021年的蔬菜产量为800吨,2023年的蔬菜产量为968吨,设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x,则年平均增长率x应满足的方程为()A.800(1-x)2=968 B.800(1+x)2=968C.968(1-x)2=800 D.968(1+x)2=8003.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了增加销售量,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使顾客得到实惠,每台冰箱应降价元.

4.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件,若一次性购买不超过10件,则单价为80元;若一次性购买多于10件,则每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元,按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元,请问她购买了多少件这种服装?5.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营