2024-2025学年辽宁省大连市甘井子区汇文中学八年级（下）4月月考数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连市甘井子区汇文中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.使二次根式有意义的x的取值范围是（）A.x≠ B.x＞ C.x≤ D.x≥2.下列各式中是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=115°，则∠MCD的度数是（）A.45°

B.55°

C.65°

D.75°4.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.两组对边分别相等 B.两组对角分别相等

C.两条对角线互相平分 D.两条对角线相等5.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，2 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，，26.如图,数轴上点M所表示的数为m,则m的值是()

A.-2 B.-1 C.+1 D.1-7.蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（）平方米.A. B. C. D.8.如图，在菱形ABCD中，BD=4cm,AC=3cm,则菱形ABCD的周长是（）A.8cm

B.9cm

C.10cm

D.11cm9.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（

）A.北偏西30° B.南偏西30° C.南偏东60° D.南偏西60°10.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（）

①∠AEF=60°；②FC=2DF；③；④.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是______．12.如图，为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为25米，则池塘的宽BC长为______.

13.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺=10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为______寸.14.如图，在▱ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，交AB于点F.若AB=10，BC=6，则△ADE的周长为______.

15.如图，矩形AOCB边OC在x轴上点B的坐标为（3，1），将此矩形折叠，使点C与点A重合，点B折至点B'处，折痕为EF，则点B'的坐标为______．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

计算：

（1）；

（2）.17.(本小题8分)

如图，在▱ABCD中，点E，F分别AD，BC在上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF．18.(本小题9分)

已知，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2-AE2=AC2．

（1）求∠A的度数；

（2）若DE=3，BD=4，求AE的长．19.(本小题8分)

有一块矩形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加，宽AB增加，得到一个面积为192cm2的正方形AEFG.

（1）求矩形木板ABCD的面积；

（2）木工乙想从矩形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为______cm；

（3）木工丙想从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出______根这样的木条.20.(本小题8分)

如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF=EF=FG=1m．

（1）若移动滑块使AE=EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长；

（2）当∠AFE由60°变为90°时，问棚宽是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（≈1.41，≈1.73，结果1位小数）

21.(本小题8分)

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF=2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．

证明：如图2取EF的中点G，连接AG…

任务：（1）完成材料中的证明过程．

（2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF=AC，求∠F的度数．

22.(本小题12分)

综合与实践

【问题背景】

如图，在平面直角坐标系中，点A（m,0）在x轴正半轴上，点B（0，n）在y轴正半轴上，∠BAO=30°，点D是线段AB上一动点，从点A向点B移动，速度为每秒2个单位长度，点E是线段BO上一动点，从点B向点O移动，速度为每秒1个单位长度.DF∥y轴交x轴于点F，连结EF.设点D，E两点移动的时间是t秒.

移动规则：当一个动点到达终点停止运动时，另一个动点也要随之停止运动.

【解决问题】

（1）填空：m、n之间的数量关系为______；

（2）判断四边形BEFD的形状并说明理由；

【深入研究】

（3）若n=30.

①当四边形EBDF为菱形时，则t的值为______；

②连结DE，若△DEF为直角三角形，求t的值；

【能力拓展】

（4）在（3）的条件下，点C（a,b），a＞0，b＞0，连结CF、AF、CE，若△CAF为等边三角形，∠FCE=45°，求点C的坐标.（直接写出答案即可）

23.(本小题12分)

综合与实践

【问题背景】

数学课上，同学们以正方形为背景研究转动产生的几何问题.如图1，△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4.取BC中点D，以点D为顶点作正方形DEFG，AB=2DE，连结AG和CE.正方形DEFG可以绕点D任意转动.

【解决问题】

（1）“雷霆小组”从特殊位置开始探究：在转动的过程中，小组成员发现若点E落在线段BD上，连结BF、CF，发现∠ABF与∠ACF之间有特定的数量关系，请你在备用图中画出图形并解决他们发现的问题：

【深入探究】

（2）“鸿鹄小组”在转动的过程中，有两个发现：

①线段AG与线段CE有一定的数量关系；

②当点G落在射线CE上时，还能求出CE的长度.

请你在备用图中画出图形并解决他们发现的问题.

【拓展延伸】

（3）“飞跃小组”在转动的过程中，规定：直线AG与直线CE的交点为H，当点E、F、B三点在同一条直线上时，线段EH的长度时可求的，请你通过画图计算并直接写出EH的长度.

参考答案1.解：由题意得：2x-1≥0，

解得：x≥，

故选：D．

2.解：A、=2，故A不符合题意；

B、是最简二次根式，故B符合题意；

C、=2，故C不符合题意；

D、==，故D不符合题意；

故选：B．

3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠A=115°，

∴∠MCD=180°-∠BCD=65°．

故选：C．

4.解：A、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；

B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；

C、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的，故本选项不符合；

D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；

故选：D．

5.解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、12+（）2=22，能构成直角三角形，故此选项符合题意．

故选：D．

6.解：直角三角形斜边长=，

∴点M表示的数为-1．

故选：B．

7.解：∵长方形田地的长为米，宽为米，

∴该长方形田地的面积为（平方米），

故选：C．

8.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线BD、AC交于点O，BD=4cm,AC=3cm,

∴AB=CB=CD=AD，BD⊥AC，OB=OD=BD=2cm,OA=OC=cm,

∴∠AOB=90°，

∴AB===（cm），

∴AB+CB+CD+AD=4AB=4×=10（cm），

∴菱形ABCD的周长是10cm,

故选：C．

9.解：甲的路程：40×15=600（m），

乙的路程：20×40=800（m），

∵6002+8002=10002，

∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，

∵甲客轮沿着北偏东30°，

∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，

故选：C．10.解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，

∴OG=AG=GE=AE，

∵∠AOG=30°，

∴∠OAG=∠AOG=30°，

∴∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，

∴△OGE是等边三角形，

∴∠AEF=60°，故①正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，AB∥CD，

∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴AE=CF，

设CF=AE=2a,则OE=OG=a,

∴AO=OE=a,

∵O为AC中点，

∴AC=2AO=2a,

∴BC=AC=a,

∴AB=BC=3a,

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3a,

∴DF=CD-CF=3a-2a=a,

∴FC=2DF；故②正确；

∵OG=a,BC=a,

∴OG≠BC，故③错误；

∵S△AOE=a×a=a2，

S矩形ABCD=3a×a=3a2，

∴S△AOE=S矩形ABCD，故④正确；

综上所述，结论正确的是①②④共3个．

故选：C．

11.解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．

所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

12.解：∵D、E分别是AB和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE=2×25=50（米）．

故答案为：50米．

13.解：过D作DE⊥AB于E，

设OA=OB=AD=BC=r,

则DE=10，，AE=r-1，

在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r-1）2+102=r2，

解得2r=101，

所以门的宽度的和AB为101寸．

故答案为：101．

14.解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=6，CD=AB=10，

∵EF垂直平分线段AC，\

∴EA=EC，

∴△ADE的周长=AD+DE+EA=AD+DE+EC=AD+DC=16．

故答案为：16．

15.解：如图，过E作EG⊥OC，过点B'作B'H⊥y轴于点H．

∵点B的坐标为（3，1），

∴OA=BC=1，OC=AB=3，

设OF=x，则AF=CF=3-x，

在Rt△AOF中，AF2=OA2+OF2，即（3-x）2=12+x2，解得x=，

∴OF=，AF=．

∵∠B'AF=90°，∠B'HA=∠AOF=90°，

∴∠B'AH=∠AFO=90°-∠OAF，

∴△B'AH∽△AFO，

∴==，即==，

解得：B'H=，AH=，

则OH=AO+AH=1+=，

故点B'的坐标为（，）．

故答案为（，）．16.解：（1）

=4+3-2+4

=7+2；

（2）

=3-2+3-2+2

=8-4．

17.18.19.解：（1）由添加可知：正方形AEFG的边长为：，

∴，，

∴矩形木板ABCD的面积为：；

（2）该矩形木料的长为：

；

（3）∵，

又∵，

∴从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．

20.21.22.解：（1）m=n,理由如下：

∵A（m,0），B（0，n），

∴OA=m,OB=n,

∵∠BAO=30°，∠AOB=90°，

∴AB=2n,

在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，

∴m2+n2=（2n）2，

∴m2=3n2，

∵m＞0，n＞0，

∴m=n,

故答案为：m=n；

（2）四边形BEFD是平行四边形，理由如下：

在Rt△ADF中，∠DAF=30°，AD=2t,

∴DF=AD=t,

∵BE=t,

∴BE=DF，且BE∥DF，

∴四边形BEFD是平行四边形；

（3）①∵n=30，

∴OB=30，

∵∠AOB=90°，∠BAO=30°，

∴AB=2OB=60，

∴BD=60-2t,

∵四边形EBDF为菱形，

∴BD=BE，即60-2t=t,

解得：t=20，

故答案为：20；

②当∠EDF=90°时，如图，连接DE，

∵∠EDF=∠AFD=90°，

∴∠EDF=∠DFO=∠EOF=90°，

∴四边形DEOF是矩形，

∴EO=DF，

即30-t=t,

解得：t=15；

当∠DEF=90°时，如图，连接DE，

∵∠BAO=30°，

∴∠ABO=90°-30°=60°，

∵四边形BEFD是平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠BDE=∠DEF=90°，

∴∠BED=90°-∠ABO=30°，

∴BE=2BD，

即t=2（60-2t），

解得：t=24；

当∠DFE=90°时，点E与点O重合，此时t=30，AD=60=AB，点D与点B重合，点F与点O重合，△DEF不存在；

综上，t的值为15或24；

（4）如图，过点C作CG⊥x轴于点G，

∵△CAF为等边三角形，

∴∠CFG=∠ACF=60°，CF=AF=t,

∵CG⊥AF，

∴FG=AF=t,CG=FG=t,∠FCG=∠ACF=30°，

由（3）知：BE=t,则OE=30-t,OF=OE=（30-t），

∵四边形BEFD是平行四边形，

∴EF∥AB，

∴∠EFO=∠BAO=30°，

∴∠EFO=∠FCG，

∴∠EFG=180°-∠EFO-∠CFG=90°，

∵∠FCE=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CF=EF，

又∵∠EOF=∠FGC=90°，

∴△EFO≌△FCG（AAS），

∴OE=FG，即30-t=t,

解得：t=60（2-），

∴CG=OF=[30-60（2-）]=180-90，FG=OE=30-60（2-）=60-90，

∴OG=OF+FG=90-30，

∴点C的坐标为（90-30，60-90）．

23.解：（1）∠ABF+∠ACF=180°，理由如下：

如图1，正方形DEFG绕点D旋转至点E落在线段BD上，

∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，D是BC的中点，

∴AD=CD=BD=2，AB=AC=4，

∵AB=2DE，

∴DE=AB=2，

∵四边形CDEF是正方形，

∴EF=DE=2，∠DEF=90°，

∵点E落在线段BD上，

∴∠BEF=90°，BE=BD-DE=2-2，CE=CD+DE=2+2，

∴BF2=BE2+EF2=（2-2）2+22=16-8，

CF2=CE2+EF2=（2+2）2+22=16+8，

BC2=（4）2=32，

∴BF2+CF2=BC2，

∴∠BFC=90°，

∴∠ABF+∠ACF=360°-（∠BAC+∠BFC）=180°；

（2）①AG=CE，理由如下：

如图2，连接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=CD，

∴∠ADE+∠CDE=90°，

∵四边形CDEF是正方形，

∴DG=DE，∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠ADG=∠CDE