3.1.1椭圆的标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性

§3.1.1椭圆及其标准方程2025/8/21我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.

探究取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?

在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?动画演示通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.(1)文字语言：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫半焦距。线段F1F2不存在(2)符号语言：椭圆上任一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)1.椭圆的定义:B线段F1F2椭圆不存在问题：

在了解椭圆的概念后，我们下一步应该如何精准刻画椭圆？追问1：利用坐标法求椭圆方程的步骤是什么？根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系—明确椭圆上的点满足的几何条件—将几何条件转化为代数表示列出方程—化简方程—检验方程．追问2：如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？xyO

下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.F1F2M••xyO

如图示,建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1,F2的距离的和等于常数2a(a>0),则(x,y)由定义知：化简整理得由椭圆定义知：为了使方程形式更简单：①我们把方程①叫做椭圆的标准方程.问题10

观察图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗？由图可知，F1F2M••xyO(x,y)

如图示,若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c,0),F2(c,0),c2＝a2－b2.F1F2P••xyOcab2.椭圆的标准方程:特征：方程的左边是平方和，右边是1标准方程：体现数学式子的简洁美、对称美，内在的每一个字母a,b都赋予它深刻的含义，最能直观体现参数几何意义。问题

如图示,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,－c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?F1F2M••xyOF1F2M••xyO(x,y)(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)定义焦点位置图形方程特点共同点不同点F1F2M••xyOF1F2M••xyO焦点在x轴上焦点在y轴上x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上.则a＝

，b＝

，焦点在

轴上；则a＝

，b＝

，焦点在

轴上；则a＝

，b＝

，焦点在

轴上；则a＝

，b＝

，焦点在

轴上.534632求出a、b的值，并判断焦点的位置xyxy判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标答：在x

轴上,（-1，0）和（1，0）答：在y轴上,（0，-5）和（0，5）答：在y轴上,（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上.焦点在x轴上的椭圆焦点在y轴上的椭圆椭圆圆*若椭圆焦点位置不确定，可设为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n)椭圆的标准方程3.求椭圆的标准方程:解1:(定义法)

例2

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P

，求它的标准方程．定量定位3.求椭圆的标准方程:

例2

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P

，求它的标准方程．解2:(待定系数法)定量定位(法1)(法2)求a,b定位定量焦点位置未知焦点位置:巧设方程

求椭圆的标准方程，要先定“位”，a,b,c满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.

用定义寻找a,b,c的方程；

定义法：

待定系数法：待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.即求a,b

的大小.即确定焦点的位置；其次是定“量”，先定位再定量3.求椭圆的标准方程:(法1)(法2)4.求共交点的椭圆的方程4.求共交点的椭圆的方程(法3)(法4)