沪科版七年级数学下册特训专题98分式全章八类必考压轴题(原卷版+解析)

专题9.8分式全章八类必考压轴题

【沪科版】

必考点1：探究分式值为整数问题。|

1.若%是整数，则使分式吃上的住为整数的％值有（）个.

2x-l

A.2B.3C.4D.5

2.若x为整数，且等的值也为整数，则所有符合条件的*的值有（）

*一4

A.6个B.5个C.4个D.3个

3.如果m为整数，那么使分式吧的值为整数的m的值有（）

m+1

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.当X取何整数时，分式“：一名+6的值是正整数

（lr）3

5.因读下列材料，解决问题：

在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算

时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）

的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效,

现举例说明.

材料1：将分式四管空拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解.101x+10y=99x+lly+2x-y-।2x-y

11-111'11

材料2：将分式二上拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

X+1

解：由分母/1,可设/-m3=（肝1）（Ka）+b

则卢3=（A+1）（A+a）+b=x2+ax+/>b=f+（尹1）x+a^-b

•・・对于任意x上述等式成立.

(a+1=-1(a=-2

解得:

Ia4-/?=3Ib=5,

,/r+3(4+1)(4-2)+5

>•=x-2+—.

x+1X+lx+i

这样，分式三上就拆分成一个整式X-2与一个分式工的和的形式.

x+lX+1

(1)将分式立丝金拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为

X-1-----------

(2)已知整数x使分式在容竺的值为整数，则满足条件的整数x=______;

x-3

(3)已知一个六位整数20盯17能被33整除,求满足条件的x,y的值.

必考点2探究利用全式性质求值问题Q|

1.若a,4c,d满足?=2=：=&则誓殍黑的值为()

bcdaa2+b2+c2+d2

A.1或0B,一1或0C.1或一2D.1或一1

2已知a+b+c_a+b+d_a+c+d_b+c+d

=m,则?n的值.

dba

3.若Zx-y+4z=U,4x+3y-2z=U.3的值为

4.已知三个数，X,y-满足器=-3壳=%壬=T则y的值是一

5.若x,y,z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2018,则分式也士丝三口的值为

必考点3探究分式的规律性问题

1.观察下列等式:

第I个等式：的=*=：x(")

第2个等式：a=^=^x

2GT)

第3个等式：。3=点="(2)

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：；

(2)用含有n的式子表示第n个等式：(n为正整数)；

(3)求的+a?+。3+…+。2019的值.

2.2.观察下列等式：a,=n,a2=1-a3=1-…；根据其蕴含的规律可得()

A.azois-nB.a2013-—C.32013=—D.82013--

nn-ll-n

v2y5y10v17r26y37

3.已知一1列分式，一，—,—,—彳…，观祭其规律，则第n个分式是,

4.观察下列等式：

1x-=1

22

3X；=3-?

⑴依此规律进行下去，第5个等式为—，猜想第〃个等式为

(2)证明(1)中猜想的第八个等式.

5.观察下列等式:

第1个等式：^-+—+1=1:

1x21+1

第2个等式：工+4+工=1.

2x34+22

1,9-2,1.

第3个等式：---------F-=1：

3X49+33

第4个等式：1,16-2,1r

4X516+44

1,25-2.1«

第5个等式：++—1;

5X625+55

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：：

⑵写出你猜想的第〃个等式：(用含〃的等式表示)，并证明.

6.观察下列等式：

1--=I2X-,2--=22X-,3--=32X-,....

55*66’77’

(1)请写出第四个等式：；

(2)观察上述等式的规律，猜想第n个等式(用含n的式子表示)，并证明其正确性.

A.6B.24C.30D.120

5.阅读下列材料:

在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于％的分式方程三二1的解为正数，求a的

X-4

取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于X的方程，得到方

程的解为x=a+4,由题目可得。+4>0,所以。>一4,问题解决.小聪说：你考虑的不全面，还必须保

证a工。才行.

（1）请回答：的说法是正确的，正确的理由是.

完戌下列问题：

（2）已知关于x的方程?——土=2的解为非负数，求m的取值范围；

x-33-x

⑶若关于力的方程上其+"二=-1无解，求九的值.

X-3X-3

必考点5探究分式方程的整数解回题Oj

1.若关于X的方程七巴一？二1的解为整数，则整数Q的值的个数为（）

x-1x

A.1个B.2个C.3个D.4个

y+5vy

2.若整数a使关于x的分式方程」-+工工=i的解为非负整数，且使关于y的不等式组.~~2至

a3rly-3>2（y-a）

多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A.24B.12C.6D.4

3.若关于v的分式方程上工一2=汇金的解为整数，且/+2（。-1）%+9是一个完全平方式，则满足条件的

y-11-y

整数a的值为（）

A.±2B.4C.-2D.4或一2

>x+1

4.若关于X的一元一次不等式组3的解集为％<-7,且关于y的分式方程也一'-=-2有非正

2+x<—y+2y+2

14

整数解，则符合条件的所有整数Q的和为（）

A.-12B.-15C.1D.-2

5.若关于”的分式方程翳+3=£有正整数解，则整数a一

6.若整数a既使得关于x的分式方程"三一2二三有整数解，又使得关于x,y的方程组八°"二':'的

1-xx-1（oX-Ly——1

解为正数，则0=

必考点6N探究分式方程的无解问题

1.若关于X的方程鬻=缶无解，则加的值为()

A.zn=1B.m=—1C.m=2D.m=-2

2.已知关于X的分式方程三一等=1无解，则m的值为()

x+2X2-4

A.0B.0或一8C.-8D.0或一8或一4

3.已知关于x的分式方程,二：+三=工无解,且关于y的不等式组^二有且只有三个

(x-2)(x-6)x-2x-6(y—4<3(y+4)

偶数解，则所有符合条件的整数/7的乘积为()

A.1B.2C.4D.8

4.已知，关于X的分式方程_L-丝三=1.

2x+3X-5

(1)当Q=2,6=1时，求分式方程的解：

(2)当a=1时，求6为何值时分式方程二一一仁=1无解；

2X+3X-5

⑶若a=3b,且a、6为正整数，当分式方程三一二=1的解为整数时，求6的值.

5.对于平面直角坐标系中的点PQb),若点P'的坐标为(a+kb,b+3(其中k为常数，且攵=0)则称点P'

为点P的“k系雅培点”；

例如：P(3,2)的“3系雅培点”为P'(3+3x2,2+|),即P'(9,3).

(1)点P(6,l)的“2系雅培点"P'的坐标为：

(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系雅培点”为P'点，若在△OPP'中，PF=20P,求k的值；

(3)已知点力(％y)在第四象限，且满足xy=-12;点4是点B(m,n)的“一3系雅培点”，若分式方程叱孚一

X-3

丝U=1无解，求c的值.

必考点7探究分式方程的增根问题

1.若分式方程」-+3=已有增根，则a的值是()

x-2a+x

A.1B.0C.-1D.-2

2.如果在解关于x的方程二一三二孚三时产生了增根，那么攵的值为

x+2x-1X2+X-2------------

3.若解关于X的分式方程0=旦产生增根，则777=___.

X+4X+4

4.当勿为何值时，分式方程卫——!_=T-会产生增根.

x+lX-lX2-1

5.关于x的方程：---=1.

x-l1-X

(1)当a=3时，求这个方程的解；

⑵若这个方程有增根，求a的值

6.已知关于3的分式方程二-+mx1

(x-l)(x+2)x+2

(1)若方程的增根为％=1,求m的值;

⑵若方程无解，求m的值.

7.已知关于x的分式方程二一三=1.

⑴若方程的增根为*=2,求a的值；

⑵若方程有增根，求a的值；

⑶若方程无解，求a的值.

必考点8分式方程的应用OJ

1.随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、教学、英语的时间为2:4:4,班主任李老

师提醒要学科均衡，补短板.他便将数学复习时间的20%分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时

间之比为3:5.李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中20%分给了语文，

余下的80%分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为1:4.若李勇同学最终希望

使教学与英语总复习时间比为5:6,那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为.

2.杭州丝绸历史悠久，质地辂软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外.小汪在网上开

设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：4款丝巾的进货单济比8款丝巾

多40元，花960元购进A款丝巾的数量与花720元购进8款丝巾的数量相同.

(1)问4,B软丝巾的进货单价分别是多少元？

(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示:

日期力软丝巾(条)8款丝巾(条)销售总额(元)

12月10日462160

12月11日683040

问：两款丝巾的销售单价分别是多少？

(3)根据(1)(2)所给的信息，小汪要花费1400元购进5两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？

根据计算说明哪种进货方案的总利泗最高.

3.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的土这叶增加了乙队，两队又共同

工作了15天，完成全部工程.

(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？

(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付

工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？

⑶在(2)的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快天能

完戌总工程.

4.A、B两港之间的距离为280千米.

(1)若从4港口到8港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快20千米/时，顺流所用时间比逆

流少用4小时，求水流的速度；

(2)若轮船在静水中的速度为u千米/时，水流速度为u千米/时，该船从力港顺流航行到B港,再从8港逆

流航行返回到力港所用的时间为h：若轮船从4港航行到8港再返回到4港均为静水航行.JL所用时间为

t2,请比较0与弓的大小，并说明理由.

5.某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程

队进行施工.

(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工

程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.

(2)若甲工程队每天可以改造Q米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，(其中QHb).现在有两种施

工改造方案：

方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造：

方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.

根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.

6.某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产加吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20

吨.

(1)当a=0.8,6=100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？

(2)请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是吨，现在小麦的平均每公顷产量是吨；(用

含a、用的式于表示)

(3)在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需〃小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，

求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？

7.为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km,他乘

坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km.他从家出发到上班地

点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的|.

(1)小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？

(2)上周五，小王上班时先步行了6k771,然后乘■公交车前往，共用上小时到达.求他步行的速度.

3

专题9.8分式全章八类必考压轴题

【沪科版】

必考点1探究分式值为整数问题

L若'是整数，则使分式箸的值为整数的'值有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先将假分式翳分离可得出4+急,根据题意只需2%-1是6的整数约数即可.

【详解】解:8x+2_4(2x-l)+6_4+6

2X-1-2X-1-2X-1

由题意可知，2%-1是6的整数约数,

：.2x-l=1,2,3,6,-1,一2,—3,-6

解得：x=—1,—

其中X的值为整数有：4=0,1,-1,2共4个.

故选：C.

【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分

离假分式得到4+/-,从而使问题简单.

2、一1

2.若x为整数，且空的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】B

【分析】先化简分式，若瑞的值为整数即含的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确

定整数x的值.

心+2)4

【详解】原式=f

(X-2)(x+2)X^2

因为x为整数，分式的值也为整数，且x羊-2,

所以分式三的值分别为-2、-4、4、2、1时，得

后0、1、3、4、6,

所以所有符合条件的x的值有5个.

故选：B.

【点睛】此题考查分式的记简，分式有意义的条件，根据分式的值为。确定分母的值，由此

得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2）,但是要考虑到x/-2,避免错误.

3.如果m为整数，那么使分式巴史的值为整数的m的值有（）

m+l

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】分式隹=1+=一，讨论二-就可以了，即巾+1是2的约数即可完成.

m+lnt+1m+l

..m+31,2

【详解】・-----=1H--------

m+lm+l

若原分式的值为整数，那么771+1=2

由m+1=—2得，m=-3;

由血+1=-1得，m=-2;

由m+l=l得，m=0;

由m+1=2得，m=1；

Am=-3,-2,04,共4人

故选C

【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键.

4.当X取何整数时，分式一名+6的值是正整数

（1-x尸

【答案】x=0或-1或-2或-5.

【分析】先把分式告进行因式分解,然后约分,再根据分式的值是正整数，得出一X

的取值，从而得出X的值.

6

【详解】解:6--12X+6_

(1-x)3-1-x

・•・要使E的值是正整数,则分段1T必须是6的约数,

即1—x=l或2或3或6.

则x=0或-1或-2或-5.

【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式中空的值是正整数，讨论出分母

（1-幻3

1-X的取值.

5.阅读下列材料，解决问题：

在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数,

在实标运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）

与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法,

此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明.

材料1:将分式若詈拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

烈.Wlx+lOy_99x+lly+2x-y2x-y

胛,-"----YA4-y+—

材料2:将分式土卫拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

X+1

解：由分母/1,可设/-/3=(A+1)(/a)+b

则42-k3=(A+1)(A+a)+b=x?+aK/”b=x?+(>，)x^a^b

•・・对于任意x上述等式成立.

.,・一£=」解得：｛v;2.

IQ+Z)=3Ib=5

.X2-X+3(X+l)(X-2)+5c,5

••--------=----------------=x-zH-------・

x+lx+lx+l

这样，分式式*就拆分戌一个整式X-2与一个分式U-的和的形式.

X+lX+1

(1)将分式立丝W拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果

X-1

为.

(2)已知整数x使分式之W的值为整数，则满足条件的整数x=;

X—3

(3)已知一个六位整数20孙17能被33整除,求满足条件的x,v的值.

【答案】(1)/7+六；(2)2或4或-10或16：(3),x=2、y=9；x=6、y=2：

=9、y=5.

【分析】(1)将分子x?+6x—3化为(x—1)(x+7)+4,依据题意可解答：

(2)将分子2x2+5x-2C化为(2x+11)+13,根据题意可解答；

(3)由题意得出：2OOOi7+,+iooy=606]+30)+3丫+1。；；+4即可知10x+y+4为33

的倍数，据此可解答.

【详解】解：(1)立竺W

X-1

X2-X+7X-7+4

x-1

4(无-1)+7。-1)+4

X-l

(X-l)(X+7)+4

x-1

=>+7+有

答案为：x+7+—;

2-+5%-20

(2)

x-3

Zx"6X+llX-33+13

X-3

2x(x-3)+ll(x-3)+13

x-3

(x-3)(2x+ll)+13

X-3

=2x+11+—

x-3

•・•分式空詈型的值为整数,

••・吕是整数.

Ax-3=±1或x-3=±13,

解得：x=2或4或-10或16,

故答案为：2或4或-10或16;

（3）200017+1000x+100y

33

6061x33+4+30xx33+10x+3）x33+y

33

33x（6061+30x+3y）+10x+y+冬

33

=6061+3Ox+3y+曹，

•・•整数20xyl7能被33整除，

.・.出/为整数，即他+丫+4=33匕（k为整数），

当4=1时，x=2、y=9符合题意；

当〃=2时，x=6、y=2符合题意；

当4=3时，x=9、卜=5符合题意.

【点睛】本题考查分离整数法解决分式的整数值问题，熟练掌握分式的化简求值的方法是解

题的关键.

必考点2探究利用分式性质求值问题

1.若a,b,c,d满足W=2=：=*则咚等”的值为()

bcdaa2+b2+c2+d2

A.1或0B.-1或0C.1或一2D.1或一1

【答案】D

【详解】令：=£=指=鼻=k,则a=bk,b=ck,c=dk,d=ak,耳心=a8,且aH0,则

E，当k＞则鬻*察=L当kn,ab+bc+cd+da_.

a2+b2+c2+d2

故选D.

2.已知手=-=誓=手=4则m的值一

【答案】为7或3

【分析】根据题设知a手0,6手0,c=#0,内=0,得到井Sc^dm,小■出*cm,86d^bm,卢a盟,

推出3,得到（/TT-3）=0,当■曲0时，得•到

尹加片一c,#6#一b,66-a,推出/TF~1；当升炉dd丰0时，推出m~3=0,得到/TF3.

,a+b+ca+b+da+c+db+c+d

【详解】I■—■—=-----=—■—=-----=m

b

/.a#=0,b丰0,c=#0,d丰0,

：・a^6kdm,^-b+d=cm,a^c^d^bm,tr^c^d^am.

/.3（升卅好小二m（升卅。■小,

/.(a+ZH-c+c/)(/TT-3)=0,

当时，

a+方。二一&a^b^d^-c,#b,Kd-a,

:・HFT;

当尹加仪•。手0时，

/?r3-0,亦3,

综上，nr-\或*3.

故答案为：为7或3.

【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的

基本性质，分式值的意义及满足条件.

3.若2x-y+4z=0,4x+3y-2z=0.则篝等的值为

【答案】

6

【分析】先由题意2x-y+4z=O,4x+3y-2z=0,得出用含x的式子分别表示y,z,然后带

入要求的式中，化简便可求出.

【详解】2x-y+4z=。①，4x+3y-2z=。②，

将②X2得：8x+6y-4z=C③.

①+③得：1Ox+5y=0,

•*.y=-2x,

将y二-2x代入①中

得:2x-(-2x)+4z=0

z=-x

将y=-2x,z=-x,代入上式

xy+yz+zx

x2+y2+z2

/(2x)+(2x)(r)+(r>x

X2+(-2X)2+(-X)2

_-2刀2+2刀2-42

X2+4X2+X2

6

故答案为：一1

6

【点暗】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y,

z.本题较难，要学会灵活化简.

4.已知三个数，x,y,z满足生=-3,巨=：,三~=一：，则y的值是

x+yy+z3z+x3----------

【答案】y

【分析】将急=-3壳=%/=-技形为署=三芟土等=高得到河=

W+X3+”.利用G+I—G+IT，求出：；去代入13=一,可

求出答案.

yz_4zx_4

【详解】・.•2二一3,=-----=----

x+y亦3'z+x3

,__1y+z_3z+x3

xy3*yz4石二一4

.1,111.13

..-+-=-+-==24,1J1z

yx3zy+4

«+:)——

用心吗

.113

••--—―•

xy29

将二=2.一】代入工+二=一；，得三=!

xy2yx3y6

..12

故答案为：y.

【点睛】此题考查分式的性质，分式的变形计算根据分式的性质得到:+:=-^+;=

:*+W是解题的关缸

5.若％,y,z满足3%+7y+z=1和4x+10y+z=2018,则分式迎T丝丝科三的值为

【答案】-4033

【分析】根据题意，把两个方程联合组成方程组，然后两方程相减得到％+3y=2017③，

再把③整理，代人到①方程，得到2y-z=6050④，再由③一④，得到x+y+z=-4033,

然后代入分式进行求解，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，两个方程了联合组成方程组，有：

3%+7y4-z=1©

4x+10y+z=2018②'

由②一①,得：x+3y=2017③，

Ax=2017-3y,

把x=2017-3y代入①，得：2y-z=6050@,

把③一④得：x+y+z=-4033;

.2017x+2017y+2017z_2017(x+y+z)_2017x(-4033)_

••————qujj；

x+3yr+3y2017

故答案为：-4033.

【点睛】本题考查了三元一次方程组，以及求分式的值，熟练掌握解方程组的方法，正确得

到x+3y=2017和X+y+z=-4033是解题的关键.

必考点3N探究分式的规律性问题

1.观察下列等式：

第1个等式：/=*=：x（1

第2个等式：a2=^=^xQ-l）

第3个等式：。3=点="6—；）

请解答下列问题:

（1）按以上规律列出第5个等式：;

（2）用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）：

（3）求出+Ct2+。3+…+。2019的值.

【答案】"）05=高=[*仁一2）；⑵6=仁…晨+i）=1（六一*）；C）鬻.

【分析】G）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式：

（2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得;

（3）根据（2）的结论，分别可得的42，。3,…，。2019的值，再根据有理数的乘法运算律进行

计算即可得.

112X1+1)*

【详解】（1）第1个等式：%(2xi-l)x(2xll)=2Xli^T

AX5+

11

第2个等式:3X5—(2X2-1)X(2X2+1)-2"(2x2-12x2+1），

第3个等式:11=-x-2_________M

a-§i=—5X7=-<-2-x-3---l-)-x(-2-x-3-+-l-)22X3-12X3+U'

归纳类推得:第n个等式：Qn=1=3导7-就）行为正整数），

(2n-l)(2n+l)

12x5-1-2x5+1)*

则第5个等式：Q5=------------——x

(2x5-l)x(2x5+l)---2

即的二高="（1

(2)由(1)知，a=1

n(2n-l)(2n+l)

1

(3)由(2)得：。2019=3X

2X2019-12X2019+1）=N岛一忌）

则%+。2+。3+…+。2019,

2019

4039

【点睛】本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳美推出

一般规律是解题关键.

11

2.2.观察下列等式：a产n,a2=1-“1,a3=1-电，…；根据其蕴含的规律可得（）

._D_7t-1c_1_1

A.32013—nD.32013--------------U.32013------------UR.82013------------

nn-11-n

【答案】D

-L-1n1_L工

aa

【详解】试题分析：由aE,得到a2=1-a1=1-n=n,a3=1-2=1-=a.t=1-3=1

n-1

-（1-n）=n,以n,n,为循环节依次循环，:2013+3=671,Ja刈F.

考点：分式的混合运算.

3.已知一列分式，p一*一奈奈一■…，观察其规律，则第n个分式是.

2

vn+l

【答案】（-i）n+14——

y2n（n+1）

【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子.

【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：（一1）计1

分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：yl+2+3+-+n=y1n（n+l）

分子规律为：x的次数为对应项的平方加1,故第n项为：xn2+1

故答案为：（-1严i:“"I.

y打（n+L）

【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字现律外，我们还要寻找符号规律.

4.观察下列等式：

41X-1=T1---l-,

⑴依此规律进行下去，第5个等式为—，猜想第71个等式为

（2）证明（1）中猜想的第”个等式.

【答案】（1）5x*=5—三，nx-^―=n——

66n+ln+l

⑵见解析

【分析】（1）根据给定的等式的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论;

(2)利用统分的方法即可得出等式的左边二等式右边，此题得证.

【详解】⑴解：第5个等式为5、合5-也猜想第几个等式为“a=「热

故答案为：5x-=5-nx-^―=n——;

66n+ln+1

(2)证明：・.•等式左边=nxj=也，等式右边=〃一」L=口=上

n+ln+ln+ln+ln+l

・•・等式左边二等式右边

即八三….

证毕.

【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数据的变化找出变化规律是解题的关键.

5.观察下列等式:

第1个等式：——F——+1=1;

1X21+1

第2个等式：义+m+：=1；

第3个等式：3+衿+；=1；

3X49+33

第4个等式：—+16-2+”1：

4x516+44

25-2

第5个等式：2十+广1;

25+5

按照以上规律，解决下列问题:

(1)写出第6个等式：;

⑵写出你猜想的第〃个等式：(用含〃的等式表示)，并证明.

【答案】(1)二一+吧==1一三

6X736+66

⑵a+y=一

n(n+l)nz+nn

【分析】(1)观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式：

(2)结合(1)即可写出第〃个等式，再利用分式的加减法法则，进行脸证，即可.

(1)

解：j至二=」，

6x736+66

故答案为：工+等^=1一;；

6x736+66

(2)

]+♦-2=1一工

n(n+l)n2+nn"

.▼tinJ-1.n2-2n2-l(n+l)(n-l)n-1.1,.

证明：左边=二--+-1―=——=―=1--=右边，

n(n+l)n2+nn(n+l)n(n+l)nn

所以等式成立.

1+n2-2

故答案为:=1

7i(n+l)n2+7in

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的泄合运算，列代数式，解决本题的关

键是根据数字的变化寻找规律.

6.观察下列等式：

1—^=I2x2—^=22x3—^=32x...

(1)请写出第四个等式：:

(2)观察上述等式的规律，猜想第n个等式(用含n的式子表示)，并证明其正确性.

【答案】(1)4-^=42X|；(2)第n个等式是九一色=Mx」_,见解析.

88n+4n