2024~2025学年河北省承德市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

/2024-2025学年河北省承德市高三上学期12月月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若角是第三象限角，角的终边经过点，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．设，，，则（

）A． B．1 C． D．3．已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．4．已知集合，，则（

）A． B． C． D．5．圆关于直线对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知，为圆锥底面圆的两条直径，，圆锥母线与底面所成角的正切值为，若四棱锥的体积为，则圆锥的轴截面面积为（

）A． B． C． D．7．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（

）A． B． C． D．8．函数的图象在处的切线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数，则（

）A．的定义域是 B．的值域是C．是奇函数 D．在上单调递减10．下列说法正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．若，，则C．D．若集合中只有一个元素，则11．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（

）A．点在动点的轨迹上B．周长的最小值为C．当最小时，点的横坐标为4D．面积的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知数列的前n项和为，且满足，，则.13．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为.14．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．设的三个内角所对的边分别为且.(1)求的大小；(2)若，求的取值范围.16．已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线．(1)若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程；(2)若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程．17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4.(1)求E的标准方程；(2)过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程；(3)两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）.18．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．19．数列满足，，，数列满足，．(1)证明数列是等差数列并求其通项公式．(2)数列的前n项和为，问是否存在最小值？若存在，求的最小值及取得最小值时n的值；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】B【详解】由题知，，故为第二象限角．故选：B2．【正确答案】C【详解】因为，，所以，又，所以，故选：C.3．【正确答案】D【详解】由题知，则，所以的虚部为．故选：D．4．【正确答案】B【详解】由题知集合，，∴，故选：B.5．【正确答案】C【详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：C.6．【正确答案】C【详解】如图，设圆锥底面圆的半径为，易知，又由，可知，则为等边三角形，所以，又，为底面圆的直径，故为矩形，则在中，，因为平面，所以圆锥母线与底面所成的角即为，则有，则，则，解得，故圆锥的轴截面面积为，故选：C.7．【正确答案】A【详解】因为，，所以，，，，…，故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，故选：A．8．【正确答案】B【详解】由题意，函数，可得，所以，，所以在处的切线方程为，即.故选：B9．【正确答案】AC【详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：所以的定义域是；故A项正确；对于B项，的值域是，故B项错误；对于C项，，令，定义域为，所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确；对于D项，多个单调区间可用逗号（或“和”）隔开，所以在，上单调递减，在上不是单调递减的，故D项错误.故选：AC.10．【正确答案】BC【详解】A选项：当，时，，但不满足，即“”不是“”的充分条件，A选项错误；B选项：由题意得，，则，B选项正确；C选项：由，得，所以，即，C选项正确；D选项：若集合中只有一个元素，则或，得或，D选项错误；故选：BC.11．【正确答案】BCD【详解】由题可知F1,0，设点Mx,y，则，.，，化简得，即，则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误；对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即.又，所以周长的最小值为，故B正确；对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小.连接，所以.，，，所以点的横坐标为，故C正确；对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可.直线，即，所以点到直线的距离为，所以到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，故D正确.故选：BCD.12．【正确答案】【详解】因为，所以，所以，所以是等差数列，公差为3，又，所以，即.故答案为.13．【正确答案】【详解】由两边平方得，即，即，解得.故答案为.14．【正确答案】【详解】作出的图象如图：由题意函数恰有5个零点，即有5个根，令，即有2个不等实数根，设为，不妨设，则结合图象可知，令，则，解得，即，当时，,此时两根为1和6，符合题意，故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得.而，故.所以，得，故.（2）一方面，由余弦定理得，所以由，得.故，同时，故.另一方面，对任意，可选取，，构成符合条件的三角形，且.所以的取值范围是.16．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）依题意可设M的方程为．抛物线，顶点为，将代入M的方程，得，则M的方程为．（2）由题意易知，．当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，则双曲线M的方程为．当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，则双曲线M的方程为．综上所述，双曲线M的方程为或．17．【正确答案】(1)(2)或.(3).【详解】（1）由题意得，，所以.因为短轴长为4，所以，解得，所以，所以E的标准方程为.（2）

由（1）知，F2当直线的斜率不存在时，则，，此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在.设直线的方程为，Px1,y1联立，消去y得，，，且，.因为以为直径的圆经过点，所以.所以，即，所以，整理得，即，化简得，即，即直线的方程为或.（3）

由（1）知，F1−1,0，则直线的方程为，直线的方程为，设，，，，联立，消去得，，由，所以，所以，，即，同理可得，因为，所以，则，记的中点为，则.所以，当且仅当，即时，取等号，所以的面积最大值为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)【详解】（1）在图①中，由题知：四边形为正方形，且；则在②中，，，且平面，则平面；又，平面，又平面，；又，且为的中点，则；又平面，则平面，又平面，．（2）由（1）知：平面，平面，则平面平面；由题知：二面角的平面角为，则，则是等边三角形，则；取的中点为，连接，则,又平面平面，平面，所以平面，且，则可以建立如图所示的空间直角坐标系；则O0,0,0，、、、，则、、、，设，，则，设平面的一个法向量为m=x,y,z则，则，令，则，记直线与平面所成角为，则，即，解得，因此，