2024~2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

/2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（）A． B． C． D．3．已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．4．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．的展开式中的系数为，则实数（）A． B． C．1 D．26．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．8．设椭圆的弦与轴，轴分别交于，两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某种金属材料的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（

）A．该金属材料的长度的极差为0.04cmB．该金属材料的长度的众数为3.63cmC．该金属材料的长度的中位数为3.625cmD．该金属材料的长度的第80百分位数为3.63cm10．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（

）A． B．为奇函数C．在R上单调递减 D．当时，11．若数列前项和为，满足，其中、，则称是数列，则下面选项正确的是（

）A．若，则是数列 B．若，则是数列C．数列是等差数列 D．数列是等比数列三、填空题（本大题共3小题）12．甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有种．13．已知，则.14．若不等式对恒成立，则的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列是由正数组成的等比数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．16．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，．(1)求的值；(2)若点在边上，且，求．17．如图，在四棱锥中，，E为AD的中点，．

(1)证明：平面平面；(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．18．在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值．19．已知，，若函数有两个零点m，n，且.(1)a的取值范围；(2)证明：当时，；(3)证明：（注：是自然对数的底数）．

答案1．【正确答案】B【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.【详解】因为，，所以.故选B.2．【正确答案】D【详解】因为，所以．故选：D.3．【正确答案】C【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得，由，得，解得，所以.故选：C4．【正确答案】D【详解】设点，则，即，又两条渐近线方程为，即，故有，所以．故选:D.5．【正确答案】A【详解】的展开式的通项公式为，所以．令解得，，令解得．展开式中的系数为，可知，所以．故选：A.6．【正确答案】B【详解】函数的定义域为，当时，，当时，，故选项C错误，当时，，当时，，故选项A错误，且，，因为，所以，故选项D错误.只有B中图象符合题意,故选：B7．【正确答案】C【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积.【详解】如图：，，，，根据圆台的侧面积公式：，所以圆台的高：，所以圆台的体积为.故选C.8．【正确答案】A【详解】如图所示，设Ax1,y1，Bx2

因为，所以，，所以，，即，，所以，，因为在椭圆上，所以，，两式相减得，即,又因为，且，，所以，即，所以，故选：A.9．【正确答案】AC【详解】A选项，最小值为3.61cm，最大值为3.65cm，故极差为cm，A正确；B选项，3.62cm出现了3次，出现次数最多，故众数为3.62cm，B错误；C选项，将数据从小到大排序，3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65，选取第4个和第5个的数的平均数作为中位数，即cm，C正确；D选项，将数据从小到大排序，3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65，，故选取第7个数作为第80百分位数，即3.64cm，D错误.故选：AC.10．【正确答案】ABD【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选ABD.11．【正确答案】BCD【详解】若，则，等式两边同时取倒数可得，所以，所以是数列，故A错误；若，则，所以，所以，所以是数列，故B正确；已知数列，则有，当时，，，两式相减得，又，所以，即，整理得，又，所以，所以是等差数列，故选项C正确；因为数列是数列，所以，所以，．当时，（i），（ii），（i）（ii）可得，因为，所以，所以，整理可得，又，所以等比数列，故选项D正确．故选：BCD.12．【正确答案】【详解】完成这件事，可分为3个步骤：第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有种方法；第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有种方法；第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有种方法，故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有种.故答案为.13．【正确答案】/【详解】因为，所以，则，故，.故答案为.14．【正确答案】【分析】先将不等式变形为，再把看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于的不等关系，再利用不等关系表达所求式，并求其范围探究最值即可.【详解】由，可得.令，则在1,2上单调递增，所以，由对恒成立，所以，则，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为3.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，∵是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以（2），所以16．【正确答案】(1)(2)．【详解】（1）如图，在中，因为，，，所以．（2）方法一

因为点在边上，且，所以，，又因为，所以在中，由余弦定理得，可得．方法二

，，，，即．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)1【详解】（1）证明：连接BD，

由已知，，，即，且与是平面内的两条相交直线，∴平面.又平面，所以，由于，E为AD的中点，且，所以四边形为正方形，即，又可得为平行四边形，所以，，平面，∴平面，又平面，所以平面平面；（2）

∵平面，∴为二面角的平面角，从而.如图所示，在平面内，作，以A为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，∴，设平面的法向量，则，取，则，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为点到焦点F的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为2，抛物线的准线方程为，点的横坐标为，，解得，抛物线的方程为．（2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y=kx−联立y=kx−12y2设，又，∵，则直线OP的方程为，联立y=kxy2=2x，消得令，则，，故的值为．19．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）（）