2024-2025学年广东省清远市清新区高三上学期12月期末联考数学试卷【有解析】

/2024-2025学年广东省清远市清新区高三上学期12月期末联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（

）A． B． C． D．3．在等比数列中，，则（

）A．4 B． C．8 D．54．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．5．已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．6．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则实数（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．平面 D．与所成的角是10．下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为2C．若，则的最大值为2D．若，则11．已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（

）A．若圆与圆无公共点，则B．当时，两圆公共弦所在直线方程为C．当时，则斜率的最大值为D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于12．已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，有且只有一个零点B．当时，有两个零点C．当时，曲线与曲线有且只有两条公切线D．若为单调函数，则三、填空题（本大题共4小题）13．第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则.14．函数是奇函数，则__________．15．已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是．16．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为．

四、解答题（本大题共6小题）17．在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最小值.18．设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．19．在四棱锥中，底面是正方形，若，，，(1)求四棱锥的体积；(2)求直线与平面夹角的正弦值．20．甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；(2)赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？21．抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.(1)求的标准方程；(2)直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．

答案1．【正确答案】D【详解】∵，，∴，故选：D.2．【正确答案】B【详解】令则．由得，故选B．3．【正确答案】A【详解】由题意，所以，即等比数列公比为，所以，解得，所以.故选：A.4．【正确答案】B【详解】抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为，故选：B5．【正确答案】D【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：，圆心为，半径为，设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，同理，，由，四边形AMBN的面积为，，化简得，则有，则C的离心率.故选：D6．【正确答案】C【详解】取圆上任意一点P，过P作圆的两条切线，，

当时，且，；则，所以实数.故选：C.7．【正确答案】C【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；所以满足要求的不同选择种数为；所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.故选：C.8．【正确答案】D【详解】因为得，则，所以由题意可得，，解得.故选：D9．【正确答案】ABD【详解】连接，则是的中位线，∴，故A正确；连接，，则，平面，平面，∴平面，即平面，故B正确；连接，则平面即为平面，显然不垂直平面，故C错误；∵，∴或其补角为与所成的角，，故D正确．故选：ABD．10．【正确答案】AD【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故A正确；因为的等号成立条件不成立，所以B错误；因为，所以，故C错误；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.故选：AD11．【正确答案】BC【详解】对于选项A，当两圆内含时，可以无穷大，所以A不正确；当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为，所以B为正确选项；对于选项B，当时如图，

和为两条内公切线，且，由平面几何知识可知，所以可得，即斜率的最大值为，C选项正确；对于D选项，如图，

点P在位置时，点在位置时，所以中间必然有位置使得，故D错误.故选：BC.12．【正确答案】BCD【详解】对A，令，令或都成立，有两个零点，故A错误；对B，令，（）.考虑所以函数在上单调递减，在上单调递增，.考虑所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，,∴当时，有两个零点.此时，故B正确；对C，设，.设切点所以.①，②,,设，∴，∴函数在上单调递减，∵，∴∴有两解，∴当时，曲线与曲线有且只有两条公切线，∴该选项正确；对D，若单调递增，则.考虑不满足.若单调递减，则.∴考虑不满足.当时，不满足.当时，，∴.故D正确.故选BCD.13．【正确答案】/【分析】根据题意可知随机变量为，利用方差公式从而可求解.【详解】由题意知随机变量为，所以，故答案为.14．【正确答案】1【详解】因为，所以.因为是奇函数，所以，即，所以，解得，则.15．【正确答案】（答案不唯一）【详解】因为，，所以，，所以，解得，所以使成立的一个充分不必要条件是.故（答案不唯一）16．【正确答案】【详解】连接，交于，设是的中点，连接.由于，是的中点，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，由于分别是的中点，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，由于，所以，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于平面，所以平面，且.由于，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面在四棱柱内的部分，关于平面的对称点为，连接，交平面于，所以的最小值为.故

17．【正确答案】(1)(2).【详解】（1）由正弦定理得：，又，，，；（2），，由余弦定理得：，当且仅当时等号成立，，即的最小值为.18．【正确答案】(1)，；(2)9.【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；（2）先拆项分母得，再利用裂项相消法求和，进而解不等式求满足的最大整数的值.【详解】（1）设的公比为，因为，所以，即，解得或（舍），所以，设的公差为，因为，所以，所以，解得，所以．故，.（2），即.所以.，化简得，又，解得.所以满足的最大整数.19．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）取的中点，连接，，可证平面，则为四棱锥的高，利用锥体体积公式求解即可；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，线面角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值，求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，，因为，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱锥的体积为；（2）过作交于，则，结合（1）中平面，故可建立如图所示空间直角坐标系：则，，，，故，，，设平面的法向量为，则，故，取，则，，所以，设直线与平面夹角为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为.20．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定的值.【详解】（1）记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，事件表示“第场甲获胜”，事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．则，因为各场比赛结果相互独立，所以，，因为互斥，所以．又因为，所以由条件概率计算公式得.（2）设主办方本次比赛总收入为万元，由题意：的可能取值为．，，，则随机变量的分布列为：3005007000.260.370.37所以．设主办方本次比赛获利为万元，则，所以，由题意：，所以预支球队的费用应小于261万元．21．【正确答案】(1)；(2)存在，，定点.【详解】（1）切线方程为，即，由消去y并整理得，则，解得，即，由离心率,得，即，双曲线，则，所以双曲线的标准方程为.（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设直线方程为，，，由消去x并整理得，有，，，，，以为直径的圆过点，则当P，Q与N都不重合时，有，，当P，Q之一与N重合时，成立，于是得，则有，即，整理得，即，因此，解得或，均满足，当时，直线：恒过，不符合题意，当时，直线：，即恒过，符合题意，当直线PQ垂直于y轴时，设直线，由解得，以为直径的圆过点，则由对称性得，解得，直线过点，于是得直线过定点，取EN中点，因于H，从而，所以存在定点D，使得为定值，点.22．【正确答案】(1)；(2)答案见解析.【详解】