2024~2025学年上海市崇明区高三上学期期末数学试卷（一模）附解析

/2024-2025学年上海市崇明区高三上学期期末数学检测试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x＞5}，则A∩B＝2．（4分）不等式x−12x+1＜0的解为3．（4分）若复数z满足2z+z＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．4．（4分）（x﹣1）7的二项展开式中x3的系数为．5．（4分）双曲线x2−y6．（4分）已知x，y为正实数，且满足4x+y＝40，则x•y的最大值是．7．（5分）已知a→=(1，2)，b→=(2，k)，如果a8．（5分）已知f(x)=2x−1，x＞1，x−1，x≤1.关于x的方程f（x）＝2的解9．（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是．10．（5分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝．11．（5分）已知f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)，若函数y＝f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω12．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域D＝{1，2，3，4}，值域A＝{5，6，7}，则函数y＝f（x）为增函数的概率是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分。】13．（4分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（）A．y＝x3 B．y＝ex C．y＝lgx D．y＝sinx14．（4分）已知直线l和平面α，则“l垂直于平面α内的两条直线”是“l⊥α”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件15．（5分）抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验结果，设事件E：x+y＝8；事件F：至少有一颗点数为6；事件G：x＞4；事件H：y＜4．则下列说法正确的是（）A．事件E与事件F为互斥事件 B．事件F与事件G为互斥事件 C．事件E与事件G相互独立 D．事件G与事件H相互独立16．（5分）已知数列{an}，若存在数列{bn}满足对任意正整数n，都有（an﹣bn）（an+1﹣bn+1）＜0，则称数列{bn}是{an}的交错数列．有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{an}，不存在等差数列{bn}，使得{bn}是{an}的交错数列；②对任意给定的等比数列{an}，都存在等比数列{bn}，使得{bn}是{an}的交错数列．下列结论正确的是（）A．①与②都是真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①与②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点，AA1＝AB＝BC＝2，C1F⊥AB．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求点C到平面ABE的距离．18．（14分）在△ABC中，已知点D是BC边上一点，且BD＝1，CD＝3．（1）若AD⊥BC，且∠ABD＝2∠ACD，求AD的长；（2）若∠ABD＝55°，∠ACD＝32°，求AD的长（结果精确到0.01）．19．（14分）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将[50，60）记作第一组，[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）王老师将测试成绩在[80，90）和[90，100]内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90，100]内的概率；（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．20．（18分）已知椭圆Γ：y24+x23=1，点F1、F2分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点F2（1）若直线l平行于x轴，求线段AB的长；（2）若点A在y轴左侧，且F1A→（3）已知椭圆上的点C满足|CA|＝|CB|，是否存在直线l使得△ABC的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（18分）定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且曲线C1在点P处的切线与曲线C2在点P处的切线重合，则称C1与C2在点P处“一线切”．（1）已知圆（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）与曲线y＝x2在点（1，1）处“一线切”，求实数a的值；（2）设f（x）＝x2+2x+a，g（x）＝ln（x+1），若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在点P处“一线切”，求实数a的值；（3）定义在R上的函数y＝f（x）的图像为连续曲线，函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），对任意的x∈R，都有|f′(x)|≥|f(x)|，|f(x)|＜2成立．是否存在点P使得曲线y＝f（x）sinx和曲线y＝1在点P处“一线切”？若存在；请求出点

答案与试题解析题号13141516答案ABDA一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x＞5}，则A∩B＝【分析】根据交集运算求解．解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B={x|x＞5∴A∩B＝{3，4，5}．故{3，4，5}．【点评】本题考查了交集的运算，是基础题．2．（4分）不等式x−12x+1＜0的解为（−【分析】化分式不等式为整式不等式，求解得答案．解：由x−12x+1＜0，得（x﹣1）（2解得−12∴不等式x−12x+1＜0的解集为（故（−1【点评】本题考查分式不等式的解法，是基础题．3．（4分）若复数z满足2z+z＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝13+【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由2z+z＝1+i，得3z＝1+i，则z=1故13【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．4．（4分）（x﹣1）7的二项展开式中x3的系数为35．【分析】结合二项式展开式的通项公式求解．解：（x﹣1）7的二项展开式中x3的系数为C7故35．【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．5．（4分）双曲线x2−y24=1的渐近线方程为【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．解：双曲线x2−y24故y＝±2x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．6．（4分）已知x，y为正实数，且满足4x+y＝40，则x•y的最大值是100．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：x，y为正实数，且满足40＝4x+y≥24xy，当且仅当y＝4x，即x＝5，y所以xy≤100，即xy的最大值为100．故100．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．7．（5分）已知a→=(1，2)，b→=(2，k)，如果a【分析】由向量平行的坐标表示即可求得．解：因为a→=(1，2)，b所以k＝2×2＝4．故4．【点评】本题考查平面向量平行的坐标表示，属于基础题．8．（5分）已知f(x)=2x−1，x＞1，x−1，x≤1.关于x的方程f（x）＝2的解x＝【分析】根据结合指数对数运算，分段函数分类讨论解方程即可．解：f（x）＝2，当x＞1时，得方程2x﹣1＝2，解得x＝log23，log23＞1，满足；当x≤1时，得方程x﹣1＝2，解得x＝3；不满足．综上，方程的解x＝log23．故log23．【点评】本题考查了函数零点的求解，属于基础题．9．（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是（1，2，﹣3）．【分析】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标是（x，y，﹣z）．解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是（1，2，﹣3）．故（1，2，﹣3）．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．10．（5分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝12或8．【分析】利用平均数，中位数的性质结合分类讨论求解即可．解：①当x≤8时，从小到大排列，得到x，8，10，10，∵这组数据的中位数和平均数相等，∴28+x4=8+10②当8＜x＜10时，从小到大排列，得到8，x，10，10，∵这组数据的中位数和平均数相等，∴28+x4=x+10与范围不符，故排除．③当x≥10时，从小到大排列，得到8，10，10，x，∵这组数据的中位数和平均数相等，∴28+x4解得x＝12，经检验，x＝8和x＝12均符合题意．故12或8．【点评】本题考查了平均数，中位数的概念，属于基础题．11．（5分）已知f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)，若函数y＝f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω的取值范围是[1712【分析】画出f（x）的部分图象，结合图象，即可求出ω的取值范围．解：f（x）＝Asin（ωx+π6），x∈[0，2π]，ωx+π6∈[作出函数f（x）的简图，如图所示：由题意知，3π≤(12ω+1)π6＜7π2所以ω的取值范围是[1712，5故[1712，5【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质应用问题，是基础题．12．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域D＝{1，2，3，4}，值域A＝{5，6，7}，则函数y＝f（x）为增函数的概率是112【分析】根据函数的定义可知，这样的函数f（x）共有36个，再结合增函数的定义，以及古典概型的概率公式求解．解：函数y＝f（x）的定义域D＝{1，2，3，4}，值域A＝{5，6，7}，相当于把1，2，3，4分成3组，每一组对应5，6，7中的一个数，所以对应关系一共有C42A33其中，若函数f（x）是增函数，有3种对应情况：①1和2对应5，3对应6，4对应7，②1对应5，2和3对应6，4对应7，③1对应5，2对应6，3和4对应7，所以函数y＝f（x）为增函数的概率是336故112【点评】本题主要考查了函数的定义，以及函数的单调性，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分。】13．（4分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（）A．y＝x3 B．y＝ex C．y＝lgx D．y＝sinx【分析】根据奇函数和增函数的定义逐项判断即可．解：y＝x3是奇函数，在定义域R上是严格增函数，A正确；y＝ex的图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误；y＝lgx的图象不关于原点对称，不是奇函数，C错误；y＝sinx是奇函数，在定义域R没有单调性，D错误．故选：A．【点评】本题考查了奇函数和增函数的定义，是基础题．14．（4分）已知直线l和平面α，则“l垂直于平面α内的两条直线”是“l⊥α”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论．解：根据直线与平面垂直的判定定理可知：因为“l垂直于α内的两条直线”，没有满足相交，所以“l垂直于平面α内的两条直线”是“l⊥α”的不充分条件，若线面垂直，则可得直线与面内任意直线都垂直，所以“l垂直于平面α内的两条直线”是“l⊥α”的必要条件，所以“l垂直于α内的两条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的性质定理和判断定理的应用，属于基础题．15．（5分）抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验结果，设事件E：x+y＝8；事件F：至少有一颗点数为6；事件G：x＞4；事件H：y＜4．则下列说法正确的是（）A．事件E与事件F为互斥事件 B．事件F与事件G为互斥事件 C．事件E与事件G相互独立 D．事件G与事件H相互独立【分析】A选项，写出事件E，F包含的情况，得到E∩F≠∅，A错误；B选项，写出事件G包含的情况，结合A选项，得到F∩G≠∅，B错误；C选项，写出事件E∩G包含的情况，故P（EG）≠P（E）P（G），C错误；D选项，写出事件H和G∩H包含的情况，得到P（GH）＝P（G）P（H），D正确．解：对于A，事件E：x+y＝8包含的情况有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），事件F：至少有一颗点数为6包含的情况有（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），故E∩F≠∅，事件E与事件F不为互斥事件，故A错误；对于B，事件F：至少有一颗点数为6包含的情况有（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），事件G：x＞4包含的情况有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），故F∩G≠∅，事件F与事件G不为互斥事件，B错误；对于C，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有6×6＝36种情况，所以P(E)=5事件E∩G包含的情况为（5，3），（6，2），所以P(EG)=2因为P（EG）≠P（E）P（G），所以事件E与事件G不相互独立，故C错误；对于D，事件H：y≤4包含的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共18种情况，所以P(H)=18事件G∩H包含的情况有：（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），所以P(G∩H)=6因为P（GH）＝P（G）P（H），所以事件G与事件H相互独立，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了互斥事件和独立事件的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．16．（5分）已知数列{an}，若存在数列{bn}满足对任意正整数n，都有（an﹣bn）（an+1﹣bn+1）＜0，则称数列{bn}是{an}的交错数列．有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{an}，不存在等差数列{bn}，使得{bn}是{an}的交错数列；②对任意给定的等比数列{an}，都存在等比数列{bn}，使得{bn}是{an}的交错数列．下列结论正确的是（）A．①与②都是真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①与②都是假命题【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可．解：对于①，数列{an}，若存在数列{bn}满足对任意正整数n，都有（an﹣bn）（an+1﹣bn+1）＜0，则称数列{bn}是{an}的交错数列，∵数列{an}、{bn}均为等差数列，设an＝kn+m，bn＝cn+d，则an﹣bn＝（k﹣c）n+m﹣d，若k﹣c＞0，可知当n＞−m−dk−c时，an﹣b若k﹣c＝0，可知an﹣bn的符号不变，不满足交错数列；若k﹣c＜0，可知当n＞−m−dk−c时，an﹣b综上所述：对任意等差数列{an}、{bn}，{bn}均不是{an}的交错数列，故①正确；对于②，∵数列{an}为等比数列，设an=aqn，aq≠0，等比数列{设a＞0，q＞0，bn=a(−2q)n，此时等比数列{b当n为奇数，则bn当n为偶数，则bn满足{bn}是{an}的交错数列，若等比数列{an}的公比为q＜0，根据对称结构，上述结论依然成立，同理若a＜0，根据对称结构，上述结论依然成立；综上所述：对任意给定的等比数列{an}，都存在等比数列{bn}，使得{bn}是{an}的交错数列，故②正确；故选：A．【点评】本题考查数列的函数特性，准确构造相应的函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点，AA1＝AB＝BC＝2，C1F⊥AB．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求点C到平面ABE的距离．【分析】（1）设D为边AB的中点，连接ED，FD，可证得C1F∥ED，由线面平行的判定定理即可证得结论；（2）由等体积法即可求得点C到平面ABE的距离．（1）证明：设D为边AB的中点，连接ED，FD，因为D，F分别为AB，BC的中点，所以DF∥AC，DF=1又因为EC1∥AC，EC所以DF∥EC1，DF＝EC1，所以四边形EC1FD为平行四边形，则C1F∥ED，又C1F⊄平面ABE，ED⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE；（2）解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥AB，又C1F⊥AB，CC1∩C1F＝C1，所以AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥BC，由C1F∥ED，C1F⊥AB，可得DE⊥AB，又AA1＝AB＝BC＝2，E、F分别为A1C1、BC的中点，则C1F＝ED=5，设点C到平面ABE的距离为d由VC﹣ABE＝VE﹣ABD，可得13×1即点C到平面ABE的距离为45【点评】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的求法，属中档题．18．（14分）在△ABC中，已知点D是BC边上一点，且BD＝1，CD＝3．（1）若AD⊥BC，且∠ABD＝2∠ACD，求AD的长；（2）若∠ABD＝55°，∠ACD＝32°，求AD的长（结果精确到0.01）．【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，求出tan∠ABD＝AD且tan∠ACD=ADCD=13AD，然后根据∠ABD＝2∠ACD（2）在△ABC中，利用正弦定理算出AC长，然后在△ADC中，由余弦定理列式算出AD的长，可得答案．解：（1）Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD=AD；Rt△ACD中，tan∠ACD因为∠ABD＝2∠ACD，所以tan∠ABD＝tan2∠ACD=2tan∠ABD即AD=23AD1−（2）△ABC中，B＝55°，C＝32°，所以∠BAC＝180°﹣B﹣C＝93°．由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinB，即4在△ADC中，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CDcos32°≈3.070，可得AD长约为3.070≈【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、二倍角的三角函数公式等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．19．（14分）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将[50，60）记作第一组，[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）王老师将测试成绩在[80，90）和[90，100]内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90，100]内的概率；（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．【分析】根据频率分布直方图即可作答．解：（1）由题意得10a+10b=0.3，10(0.045+0.020+a)=0.7，解得a=0.005所以平均数等于55×0.05+65×0.25+75×0.45+85×0.2+95×0.05＝74.5．（2）由题意，[80，90）内有8人，[90，100]内有2人，所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90，100]内的概率为1−C（3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为x1，x2，s1第二组、第四组分别有10人和8人，所以成绩在第二组、第四组的平均数x=65×10+83×8成绩在第二组、第四组的方差s2，s2=1=5=5故估计成绩在第二组、第四组的方差是4003【点评】本题考查了频率直方图的应用，属于中档题．20．（18分）已知椭圆Γ：y24+x23=1，点F1、F2分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点F2（1）若直线l平行于x轴，求线段AB的长；（2）若点A在y轴左侧，且F1A→（3）已知椭圆上的点C满足|CA|＝|CB|，是否存在直线l使得△ABC的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意，得到椭圆的焦点坐标和直线l的方程，将直线l的方程代入椭圆方程中，进而可解；（2）设出点A的坐标，利用向量的坐标运算以及点A在椭圆上，列出等式求解即可；（3）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程和A，B，C的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点坐标，根据△ABC的重心在x轴上以及向量的坐标运算求出点C的坐标，代入椭圆方程中即可求出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，A，B两点恰为椭圆的长轴顶点，点C为短轴顶点，满足条件，进而可解．解：（1）因为椭圆Γ的方程为y2所以F1（0，﹣1）、F2（1，0），若直线l平行于x轴，此时直线l的方程为y＝1，将y＝1代入椭圆上中，解得x=±3所以|AB|＝3；（2）设A（x0，y0）（x0＜0），此时F1A→所以F1A因为点A在椭圆上，所以y02联立①②，解得x0则点A的坐标为(−32，1)所以直线l的方程是y＝1或y=4（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），联立y=kx+1y24+x23=1，消去y并整理得（3+4由韦达定理得x1所以AB中点M(−3k因为△ABC的重心在x轴上，所以y1+y2+y3＝0，即k（x1+x2）+2+y3＝0，解得y3因为|CA|＝|CB|，所以MC⊥AB，此时MC→⋅AB→=(x3+3k3k2+4，y=(x3+3k3k2+4，y3因为x1﹣x2≠0，所以x3即C(9k因为点C在椭圆上，所以(−8解得k＝0或k=±3当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时A，B两点恰为椭圆的长轴顶点，点C为短轴顶点，满足题意．综上所述，存在直线l使得△ABC的重心在x轴上，直线方程为y=±33x+1或y【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．21．（18分）定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且曲线C1在点P处的切线与曲线C2在点P处的切线重合，则称C1与C2在点P处“一线切”．（1）已知圆（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）与曲线y＝x2在点（1，1）处