专题1.2 集合间的基本关系（高效培优讲义）（原卷版）高一数学高效培优讲义（人教A版2019必修第一册）

PAGE1专题1.2集合间的基本关系教学目标1、理解集合之间包含与相等的含义；2、理解子集、真子集的概念；3、能利用韦恩图表达集合间的关系；4、了解空集的含义．教学重难点1.重点集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.2.难点属于关系与包含关系的区别．知识点01集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有______关系，称集合A为B的子集.记作：读作：A包含于B(或B包含A).（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合______.记作：A=B读作：A等于（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．【即学即练】1．已知集合，若，则（

）A．2 B．0 C．0或2 D．1或22．已知集合，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．知识点02真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的______。记作：AB（或BA）读作：A真______于B（或B真包含A）【即学即练】1．已知集合，，则集合的真子集个数为.2．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（

）A．7 B．4 C．8 D．15知识点03空集______有任何元素的集合称为空集，记作：.规定：空集是任何集合的______。结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的______。（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为______个，其真子集数为______个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。【即学即练】1．下列结论错误的是（

）A．任何一个集合至少有两个子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，则D．若且，则2．若集合，则实数的取值范围是.题型01写出给定集合的子集、真子集以及个数问题【典例1】已知集合，，，则集合C的子集有（

）A．64个 B．63个 C．16个 D．15个有限集的子集个数要确定非空有限集合A的子集的个数，一般需先确定集合A中的元素的个数，再求解．若集合A中有n个元素,求它的子集个数,可用乘法原理：在一个子集中,每个元素都有被选中与不被选中两种可能,由乘法原理可知：A的子集个数为,由此可得到以下结论：若集合A中有个元素,则集合A的所有子集的个数为,真子集个数为,非空子集个数,非空真子集个数为.当集合的子集个数较少时，一般用列举法列出所有子集，其中不要忽略空集和集合本身．三、问题的佐证写出集合的所有子集【问题提出】问题1：空集有多少个子集？【答案】1个，即。问题2：有多少个子集？ 【答案】2个，即，。,问题3：写出集合的所有含有元素a的子集【答案】问题4：集合有多少个子集？【答案】共16个，分别为，，，，。高端结论：若则的所有子集的元素之和为多少？推导：出现在，，，中，即在所求和中出现的次数等于集合的子集个数（）同理，出现了，出现了，出现了故所求的和为【变式1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（

）A．7 B．8 C．4 D．6【变式2】已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（

）A．1个 B．2个 C．4个 D．8个【变式3】设集合，则集合A的子集个数为（

）A．4 B．16 C．8 D．9题型02韦恩图及其应用【典例1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A．

B．

C．

D．

Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.【变式1】已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【变式2】能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是（

）A．B．C． D．【变式3】已知全集U=R，则正确表示集合M={－1，0，1}和N={x|x+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A． B．C． D．题型03由集合间的关系求参数的范围【典例1】已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（）A． B． C． D． 对于两个集合A与B，A或B中含有待定的参数（字母），若已知集合A与B的关系，求参数的值或取值范围时，常采用分类讨论和数形结合的方法：方法一：分类讨论：若，在未指明集合A非空时，应分为和两种情况进行讨论；方法二：数形结合：在对这种情况进行参数的确定时，要借助于数轴来完成；将两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心，根据两个集合之间的基本关系，列不等式（组）求解；具体解题步骤：第一步：化简：将给定的集合加以化简，若有不确定因素则需分类讨论；第二步：判断：判断集合之间的关系；第三步：画轴：画出数轴以便明确集合之间的关系；（或直角坐标系、文氏图）第四步：列式：根据数轴及所给集合关系列出不等式（组）；第五步：求解：对所列出的不等式（组）进行求解。关于集合为空集的高端结论（1）若集合,则;（2）若集合,则≥;（3）若集合或，则≥，【变式1】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．【变式2】.设，，若，则实数的取值范围为．【变式3】已知集合，若，则实数的取值范围是.题型04判断两集合是否相等【典例1】下列选项正确的是（

）A． B．C． D．如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.【变式1】下列各组集合中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．【变式2】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式3】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个题型05根据两集合相等求参数【典例1】设集合，，若，则的值为（

）A． B． C． D．元素相同注意互异性【变式1】，若，则+=.【变式2】设集合，若，则（

）A．2 B．1 C． D．【变式3】设，集合，若，则（

）A． B． C．0 D．2题型06空集的性质【典例1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．51.空集是任何集合的子集2.空集是任何非空集合的真子集3.任何一个集合是它本身的子集4.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．【变式1】已知：集合，.(1)若，求实数a的取值范围；(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.【变式2】下列命题中，正确的个数有（

）①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．5【变式3】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（

）.A．2 B．4 C．7 D．81.若集合则的子集个数为（

）A． B． C． D．2．已知集合，若，则的值为（

）A．1 B． C． D．2或3．设集合，，则（

）A． B．C． D．4．已知集合,，则集合的真子集个数为（

）A．3 B．5 C．7 D．155．设集合，，则满足且的不同集合的个数是（结果用数字表示）.6．已知实数集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．27．已知集合，，若，则实数的取值范围是．8．，集合，则.9．已知集合，，若，则a的值是（

）A．1或2 B．或0 C．1 D．10．已知，且，则（

）A．0 B． C．0或3 D．或311．已知集合，，且，则实数的值为.12．已知集合，，且，则（

）A．0 B．1 C． D．13．设集合．(1)当时，求集合的非空真子集的个数；(2)若，求整数的所有可能取值．14．（1）已知，求实数的值；（2）已知，求实数，的值.15．已知.(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若，求实数a的取值范围.16．已知全集，集合，.(1)若时，存在集合使得，求出这样的集合；(2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.17．已知集合．(1)若，写出集合A的所有子集；(2