八年级数学不等式与不等式组随堂作业

八年级数学不等式与不等式组随堂作业一、解不等式（每小题10分，共30分）解不等式：3(x-1)+2<5x+1解题步骤：首先展开括号：3x-3+2<5x+1化简左边：3x-1<5x+1移项，将含有x的项移到一边，常数项移到另一边：3x-5x<1+1合并同类项：-2x<2系数化为1，由于系数是负数，不等号方向改变：x>-1答案总结：原不等式的解集为x>-1易错点提示：移项时要注意变号，系数化为1时，若系数为负数，不等号方向一定要改变，这是很多同学容易出错的地方。比如在这道题中，-2x<2，两边同时除以-2，不等号要变成“>”，不能写成x<-1。解不等式：(2x-1)/3-(3x+1)/2≥1解题步骤：为了消除分母，两边同时乘以6（3和2的最小公倍数）：6×[(2x-1)/3]-6×[(3x+1)/2]≥6×1化简得：2(2x-1)-3(3x+1)≥6展开括号：4x-2-9x-3≥6合并同类项：-5x-5≥6移项：-5x≥6+5计算得：-5x≥11系数化为1，不等号方向改变：x≤-11/5答案总结：原不等式的解集为x≤-11/5拓展思考：如果把不等式中的“≥”换成“<”，解题步骤会有什么变化？其实只是最后一步不等号方向和符号的变化，其他步骤基本一致。大家可以自己尝试一下。解不等式：1-(x-1)/2<(x+2)/3解题步骤：两边同时乘以6去分母：6-3(x-1)<2(x+2)展开括号：6-3x+3<2x+4合并同类项：9-3x<2x+4移项：-3x-2x<4-9计算得：-5x<-5系数化为1，不等号方向改变：x>1答案总结：原不等式的解集为x>1检验方法：可以把x=2代入原不等式左边和右边进行检验。左边：1-(2-1)/2=1-1/2=1/2；右边：(2+2)/3=4/3。因为1/2<4/3，所以x=2是不等式的解，说明解集正确。二、解不等式组（每小题15分，共30分）解不等式组：\begin{cases}2x-1>x+1\\x+8<4x-1\end{cases}解题步骤：解第一个不等式：2x-1>x+1移项得：2x-x>1+1合并同类项得：x>2解第二个不等式：x+8<4x-1移项得：x-4x<-1-8合并同类项得：-3x<-9系数化为1，不等号方向改变得：x>3求两个不等式解集的公共部分：因为x>2和x>3的公共部分是x>3答案总结：原不等式组的解集为x>3数轴表示：在数轴上表示时，要注意端点的虚实。x>2是在2处画空心圆圈，向右画线；x>3是在3处画空心圆圈，向右画线。它们的公共部分就是从3向右的部分。通过数轴可以更直观地理解不等式组的解集。解不等式组：\begin{cases}3(x+1)<2x+3\\(x-1)/2≥(x+2)/3-1\end{cases}解题步骤：解第一个不等式：3(x+1)<2x+3展开括号得：3x+3<2x+3移项得：3x-2x<3-3合并同类项得：x<0解第二个不等式：(x-1)/2≥(x+2)/3-1两边同时乘以6去分母得：3(x-1)≥2(x+2)-6展开括号得：3x-3≥2x+4-6化简得：3x-3≥2x-2移项得：3x-2x≥-2+3合并同类项得：x≥1求两个不等式解集的公共部分：x<0和x≥1没有公共部分答案总结：原不等式组无解易错分析：在解第二个不等式时，去分母后容易出现漏乘的情况，比如右边的-1没有乘以6，这会导致整个计算结果错误。另外，判断两个解集是否有公共部分时，要仔细分析，像这道题中一个是小于0，一个是大于等于1，确实没有公共部分，所以无解。三、不等式实际应用（每小题20分，共40分）某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？解题步骤：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元。根据题意可列方程组：\begin{cases}3x+2y=120\\5x+4y=220\end{cases}用第一个方程乘以2得：6x+4y=240用这个方程减去第二个方程得：6x+4y-(5x+4y)=240-220化简得：x=20把x=20代入第一个方程得：3×20+2y=120计算得：60+2y=120移项得：2y=60解得：y=30答案总结：A商品每件的进价为20元，B商品每件的进价为30元。（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品共40件，且A商品的数量不少于B商品数量的一半，问最多能购进A商品多少件？解题步骤：设购进A商品m件，则购进B商品(40-m)件。根据题意可列不等式组：\begin{cases}20m+30(40-m)≤1000\\m≥(40-m)/2\end{cases}解第一个不等式：20m+1200-30m≤100010m≤-200m≥20解第二个不等式：2m≥40-m2m+m≥403m≥40m≥40/3≈13.33因为m为商品数量，所以m取整数，且要满足两个不等式，所以m的取值范围是m≥20又因为总共购进40件商品，所以m最大为40，但还要满足第一个不等式，当m=20时，20×20+30×20=400+600=1000，刚好不超过1000元。如果m=21，20×21+30×19=420+570=990≤1000，也是可以的，继续增大m，m=40时，20×40=800≤1000，也满足。但题目问的是最多能购进A商品多少件，所以最多是40件？不对，因为B商品数量为40-m，不能为负数，当m=40时，B商品数量为0，也是可以的。但再仔细看题目，“购进这两种商品共40件”，可能两种商品都要有，所以B商品数量至少为1件，即40-m≥1，m≤39。此时m的最大值为39，此时花费20×39+30×1=780+30=810≤1000，满足条件。答案总结：最多能购进A商品39件。（3）在（2）的条件下，若A商品每件售价30元，B商品每件售价45元，问如何购进才能使销售完这批商品后获得的利润最大？最大利润是多少？解题步骤：利润=(售价-进价)×数量，所以A商品每件利润为30-20=10元，B商品每件利润为45-30=15元。设总利润为W元，则W=10m+15(40-m)=10m+600-15m=-5m+600因为-5<0，所以W随m的增大而减小，所以要使W最大，m应取最小值。由（2）知m≥20，所以当m=20时，W最大，W=-5×20+600=-100+600=500（元）此时购进B商品40-20=20件。答案总结：购进A商品20件，B商品20件时，获得的利润最大，最大利润是500元。某学校组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。（1）求原计划租用45座客车的数量和参加社会实践活动的学生人数。解题步骤：设原计划租用45座客车x辆，参加社会实践活动的学生人数为y人。根据题意可列方程组：\begin{cases}45x+15=y\\60(x-1)=y\end{cases}把第二个方程代入第一个方程得：45x+15=60(x-1)展开括号得：45x+15=60x-60移项得：45x-60x=-60-15合并同类项得：-15x=-75解得：x=5把x=5代入第一个方程得：45×5+15=y计算得：y=225+15=240答案总结：原计划租用45座客车5辆，参加社会实践活动的学生人数为240人。（2）若45座客车的租金为每辆220元，60座客车的租金为每辆300元，要使每位学生都有座位，且租车费用不超过1500元，问有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？解题步骤：设租用45座客车a辆，60座客车b辆。根据题意可列不等式组：\begin{cases}45a+60b≥240\\220a+300b≤1500\\a、b为非负整数\end{cases}化简第一个不等式：两边同时除以15得3a+4b≥16化简第二个不等式：两边同时除以20得11a+15b≤75我们可以通过列举法来找出满足条件的a和b的值。当a=0时：由3×0+4b≥16得b≥4由11×0+15b≤75得b≤5所以b=4或5当b=4时，费用为220×0+300×4=1200元当b=5时，费用为220×0+300×5=1500元当a=1时：由3×1+4b≥16得4b≥13，b≥3.25，所以b=4由11×1+15b≤75得15b≤64，b≤4.27，所以b=4费用为220×1+300×4=220+1200=1420元当a=2时：由3×2+4b≥16得4b≥10，b≥2.5，所以b=3由11×2+15b≤75得15b≤53，b≤3.53，所以b=3费用为220×2+300×3=440+900=1340元当a=3时：由3×3+4b≥16得4b≥7，b≥1.75，所以b=2由11×3+15b≤75得15b≤42，b≤2.8，所以b=2费用为220×3+300×2=660+600=1260元当a=4时：由3×4+4b≥16得4b≥4，b≥1由11×4+15b≤75得15b≤31，b≤2.07，所以b=1或2当b=1时，费用为220×4+300×1=880+300=1180元当b=2时，费用为220×4+300×2=880+600=1480元当a=5时：由3×5+4b≥16得4b≥1，b≥0.25，所以b=1由11×5+15b≤75得15b≤20，b≤1.33，所以b=1费用为220×5+300×1=1100+300=1400元当a=