辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考试题 数学试卷

辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A． B．4 C． D．4i2．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（

）A．两条相交直线确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面C．四点确定一个平面D．直线及直线外一点确定一个平面3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．4．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（

）A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交5．已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．26．若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（

）A． B． C． D．7．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（

）A．80米 B．100米 C．112米 D．120米8．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥B．棱柱至少有五个面C．棱台的侧棱延长后必交于一点D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台10．已知的内角所对的边分别为，则（

）A．B．若，则C．若，则为锐角三角形D．若，则的形状能唯一确定11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（

）A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为B．存在点，使得平面平面C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D．的最小值为三、填空题12．某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为．13．已知复数满足，且，则＝．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则，的最小值为．四、解答题15．已知复数，在复平面内对应的点分别为，．(1)若，求；(2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)若，△ABC的面积为，求c．17．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点.(1)证明：平面平面；(2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值.18．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面，，点E，F分别为棱DC，DP的中点．(1)求证：平面PBD；(2)求二面角的正切值；(3)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点P为的费马点．(1)求证：是直角三角形；(2)若的面积为，且，求的值；(3)求的最小值．

题号12345678910答案AADDCBBCBCAB题号11答案ACD1．A利用复数的减法及复数的有关概念求解.【详解】依题意，，其虚部为.故选：A2．A利用平面的基本性质求解.【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A3．D直接利用正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得，所以.故选：D.4．D根据线线之间的位置关系分析即可.【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行，若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交.故选：D.5．C根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解.【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，所以复数也是关于x的方程的一个根，则，所以，所以.故选：C.6．B先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积.【详解】已知在斜二测图形中，，根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，.又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质，可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）.如图，得到原图.因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台.其中圆台的底面半径，高；根据圆台体积公式，可得.故选：B.7．B结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.【详解】设，由题意得，而，得到，在中，，，由余弦定理得，解得，故B正确.故选：B.8．C连接相交于点，当平面时，四棱锥的体积的最大，此时球心在上，根据求出，再利用是直角三角形求出可得答案.【详解】连接相交于点，连接，当平面时，四棱锥的体积的最大，此时球心在上，连接，所以，解得，四边形是边长为的正方形，所以，设球的半径为，因为是直角三角形，所以，即，解得，则球的表面积为.故选：C.9．BC根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案.【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误；对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确；对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确；对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误.故选：BC.10．AB应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C.【详解】因为，所以，故A正确；因为，则，故B正确；由余弦定理，可知为锐角，但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.故选：AB11．ACD根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D.【详解】对于A，∵正方体的对面互相平行，∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行，又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G，连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形，且，梯形的高，面积为，故A正确；过与平面平行的直线都在过与平面平行的平面内，易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图所示1的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点，由于不在平面内，∴平面与直线平行，∴平面与线段没有公共点，故B错误；∵，平面，不在平面内，∴平面，又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值，∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确；将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图2所示，，当共线时取等号，故D正确.故选：ACD.12．/根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知扇形的弧长，设该圆锥的底面圆的半径为，则，即，得，即该圆锥的底面圆的直径为.故答案为：13．先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答.【详解】设，又，所以，又，所以，所以，所以，所以．故答案为：.14．3/第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值.【详解】在中，由及余弦定理，得，因此；，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：3；15．(1)(2)（1）由题可知：，，进而可求和其模长；（2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解.【详解】（1）由题可知：，，则，所以．（2）由题意可知：，因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，故实数m的取值范围为．16．(1)(2)（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小.（2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边.【详解】（1）由，得．由余弦定理，得，又，所以．（2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8．由余弦定理，得，所以．17．(1)证明见解析(2)（1）通过证明平面，平面，来证明面面平行；（2）先证明异面直线与所成角为（或其补角），再在中计算即可.【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角），因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，因为，平面，所以，，所以，，，所以，即，所以在中，，即异面直线与所成角的正弦值为.18．(1)证明见解析(2)(3)（1）利用面面垂直性质可得平面，由，进而可得平面，结合线面垂直的判定和性质定理即可证明结果；（2）过点作直线的垂线，垂足为推理可得为二面角的平面角，进一步计算即可推出结果.（3）取的中点，连接，可证得平面，则有点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积计算可得距离为，设直线与平面所成角为，由计算即可.【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理得.即，所以，所以.因为四边形是矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，在中，，点是的中点，所以，又平面，所以平面.（2）过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示.由(1)知平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角.因为平面平面，所以，又，所以，所以，解得在中，，所以，即二面角的正切值为.（3）取的中点，连接，如图所示，易得，又平面平面，所以平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离.因为平面平面，所以，所以，所以.设点到平面的距离为，又，所以，解得，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)证明见解析(2)(3)（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化即可求解，（2）根据面积公式可求解，进而根据正