第13讲长方体的再认识（核心考点讲与练）-六年级数学下学期考试满分全（沪教版）（原卷版）

第13讲长方体的再认识（核心考点讲与练）一．长方体的元素1.长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2.长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形．（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．3.正方体是特殊的长方体二．长方体直观图的画法1.长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示）第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCDEFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等．三．长方体中棱与棱位置关系的认识1.长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCDEFGH中：棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．四．长方体中棱与平面位置关系的认识1.长方体中棱与平面的位置关系如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ//平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．如图4所示的长方体ABCDEFGH中：棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．2.检验直线与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法．3.检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、“长方形纸片”法．长方体中平面与平面位置关系的认识1.长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面．如上右图，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面．如图所示的长方体ABCDEFGH中：面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．2.检验平面与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“合页型折纸”法、“三角尺”法．3.检验平面与平面是否平行的方法“长方形纸片”法．例题1（杨浦）在一个正方体中，异面的棱的对数为（）（A）4对； （B）12对； （C）24对； （D）48对．【变式1】（松江2018期末17）如图，在长方体中，与棱异面的棱有（）(A)1条；(B)2条；(C)3条；(D)4条.【变式2】（宝山2018期末14）如图，在长方体ABCDEFGH中，与棱AB异面的棱是.【变式3】（青浦2017期末17）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱EF、棱FG都异面的棱是．例题2（金山2018期末4）下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（）．（A）铅垂线；（B）三角尺； （C）长方形纸片；（D）合页型折纸例题3（杨浦）如图，在长方体ABCD－EFGH中，可以把平面ABFE与平面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页形折纸，从而说明棱垂直于平面ABCD．【变式1】（黄浦2018期末15）如图，在长方体ABCD－EFGH中，可以把平面ABFE与平面EFGH组成的图形看作直立于面BCGF上的合页形折纸，从而说明棱垂直于平面BCGF．【变式2】（松江2017期末10）如图在长方体ABCDEFGH中，与棱EF垂直的面是.【变式3】（金山2018期末16）如图，在长方体中，与平面垂直的平面有个.例题4（普陀）将两个边长为的正方体拼成一个长方体，表面积减少了________.【变式1】（普陀2017期末6）一个长方体所有棱长的和为36cm，如果长比高多1cm，宽比高少1cm，那么这个长方体的高是（）．（A）1cm； （B）2cm； （C）3cm； （D）4cm．例题5（普陀）如图1所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面垂直的面用图中字母表示出来是.【变式1】（黄浦2017期末18）下面四个图分别由六个相同的正方形拼接而成，其中不能折成正方体的是（）．例题6（杨浦）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与AE平行的棱是．【变式1】（宝山2018期末20）关于长方体中，下列说法不正确的是（）A、棱与棱不是相交就是平行；B、任何一条棱，都有两个面与它平行；C、任何一个面都与四条棱平行；；D、任何一条棱都垂直于两个面.【变式2】（金山2018期末6）在长方体中，下列说法错误的是（）A.与一条棱平行的平面有个；B.与一条棱垂直的平面有个；C.如果两条棱都与同一个平面平行，那么这两条棱平行；D.如果两条棱都与同一个平面垂直，那么这两条棱平行.【变式3】（虹口2017期末13）如图，在长方体ABCDEFGH中，与面ABFE平行的平面是________________．【变式4】（奉贤2018期末18）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面ADD1A1平行的棱有条．【变式5】（崇明2017期末13）如图，在长方体中，既与棱平行，又与棱垂直的平面是．例题7（普陀2018期末16）如果长方体的顶点数记作，棱数记作，面数记作，那么的值等于.【变式1】（浦东2018期末17）如果一根24米的铁丝剪开后刚好能搭成一个长方体框架模型，这个长方体的长、宽、高的长度均为整数米，且互不相等，那么这个长方体的体积是立方米．【变式2】（松江2018期末13）某长方体中，一个公共顶点的三条棱长度之比为5:8:10，长方体中最小的一个面的面积是120，则最大的一个面的面积是.【变式3】（松江2017期末14）有12个棱长为1cm的完全相同的小正方体，用它们拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是平方厘米．例题8（虹口2017期末25）（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCDA1B1C1D1的直观图，并标出顶点的字母；（2）联结AC、A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，与平面AA1C1C平行的棱为__________．【变式1】（金山2018期末20）补画长方体．【变式2】（宝山2018期末27）（1）如下图，在已知图形基础上，补画长方体的直观图（不写画法步骤）；

（2）在这个长方体中，从同一顶点出发的三个面的面积之比是5:7:2，其中最大的比最小的面积大60cm2，求这个长方体的表面积.【变式3】（浦东四署2019期末24）用斜二侧画法画长方体直观图：（1）补全长方体；（2）量得的长度是cm，所表示的实际长度是cm；（3）与棱AB平行的平面是.【变式4】（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCDEFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）检验棱AB与面CDHG平行的方法有【变式5】（青浦2017期末27）如图，是一个长方体的一部分，虚线表示被遮住的线段，按要求完成下列问题．（1）补画出这个长方体．【画图时，请使用B铅笔，不写画法】（2）在补画出的长方体中，若长是宽的倍，高比宽多厘米，用厘米长的铁丝制作这个长方体框架．问：这个长方体框架的长、宽、高应分别是多少？（3）如果给出一个与（2）中所作的长方体形状、大小相同的木块，并在这个木块上切下一个棱长是1厘米的正方体，求剩余木块的表面积（要求：切下的正方体木块中至少有一个面是原来长方体木块表面的一部分）． 一．选择题（共4小题）1．（2021春•普陀区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，下列棱中与棱BC异面的是（）A．棱AB B．棱CG C．棱EF D．棱EH2．（2021春•奉贤区期末）下列说法中，（1）联结两点的线段叫做两点之间的距离；（2）用度量法和叠合法都可以比较两个角的大小；（3）铅垂线、三角尺、合页型折纸都可以检验直线和平面垂直；（4）六个面、十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体；你认为正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2020春•普陀区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面ADHE平行的面是（）A．面ABFE B．面ABCD C．面EFGH D．面BCGF4．（2017春•浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二．填空题（共12小题）5．（2021春•嘉定区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AB、棱CG都是异面的棱是．6．（2016春•松江区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，棱EH与棱AB的位置关系是．7．（2021春•普陀区期末）如图，有两个形状大小完全相同的长方体木块，其长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，现将这两个木块拼成一个新的长方体，如果新的长方体中有两个面恰好是正方形，那么新的长方体的棱长的和是厘米．8．（2021春•奉贤区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD异面的棱有条．9．（2021春•嘉定区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，既与棱AB平行，又与棱CG垂直的平面是．10．（2021春•杨浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面ADHE与面ABFE都垂直的面是．11．（2018春•浦东新区期末）在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AB和棱AD都异面的棱是．12．（2021春•杨浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与对角线BH异面的棱有．13．（2018春•浦东新区期末）如果一根24米的铁丝剪开后刚好能搭成一个长方体框架模型，这个长方体的长、宽、高的长度均为整数米，且互不相等，那么这个长方体的体积是立方米．14．（2018春•黄浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AB平行的面是．15．（2019春•崇明区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，可以把平面ABFE与平面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页形折纸，从而说明棱垂直于平面ABCD．16．（2015春•浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与AE平行的棱是．三．解答题（共7小题）17．（2021春•嘉定区期末）补画图形，使之成为长方体的直观图（虚线表示被遮住的线段；只要在已有图形基础上画出长方体，不必写画法步骤，写出结论）．18．（2021春•浦东新区期末）（1）补全下面图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图；（2）写出既与棱AB异面又与棱DD1平行的棱：；（3）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高的比是3：2：1，它的所有棱长和是24厘米，那么这个长方体的体积是立方厘米．19．（2021春•奉贤区期末）用斜二测画法画长方体直观图：（1）补全长方体ABCD﹣A1B1C1D1；（2）量得B1C1的长度是cm，所表示的实际长度是cm．（3）与平面A1ABB1，平行的平面是．20．（2021春•浦东新区期末）（1）补全如图的图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图；（2）与棱AB平行的平面是．（3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计）21．（2021春•松江区期末）如图．（1）用斜二测画法补全长方体ABCD﹣EFGH的直观图；（被遮住的棱用虚线表示，不必写画法）（2）长方体中与棱FG平行的平面有；（3）联结HF、DB，与平面HFBD垂直的面有．22．（2016春•松江区期末）小李准备用纸板作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小李画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块有一边长为12的长方形硬纸板，小李经过设计