天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末联考试题 数学含解析

天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设的内角、、的对边分别为，，，已知，，，则等于（

）A． B． C． D．3．已知是等边三角形，边长为4，则（

）A． B．8 C． D．4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积为（

）A． B．C． D．6．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（

）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为（

）①直线平面，②平面与平面的夹角大小为③三棱锥的体积为定值④异面直线AP与所成角的取值范围是⑤三棱锥外接球表面积是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．已知复数（其中为虚数单位），则．10．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为．11．已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则．12．已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为．13．联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为．14．如图，在中，点D，E在边BC上，且，点分别在线段上，且，直线交于点，且，则．若直线交于点且是边长为2的等边三角形，则．三、解答题15．已知向量，满足，．(1)若，求向量的坐标；(2)若，求与的夹角．16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足(1)求角B的大小；(2)设，．（ⅰ）求c的值；

（ⅱ）求的值．17．（请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求点到平面的距离．18．某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：（ⅰ）写出该试验的样本空间；（ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．19．（请用几何法作答此题）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的正切值.

题号12345678答案DBABDAAC1．D利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．2．B根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得.故选：B3．A利用向量的数量积的定义求解即可.【详解】因为是等边三角形，边长为4，所以.故选：A.4．B根据线面平行可判断A；根据线面垂直可判断B，根据面面平行可判断CD.【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误；对于B，如图，设，，点是平面内一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，因为，且，，且，，所以，.又，则，.又，所以，故B正确；

对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误；对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误.故选：B5．D先求出直观图的面积，再根据原图形与直观图面积的倍数关系求解.【详解】正方形的面积为，所以原图面积为：.故选：D.6．A根据题意，结合概率的计算公式，即可求解.【详解】若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率；若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率.故选：A.7．A利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可.【详解】∵，由余弦定理有：，∴，解得，由得，，即，，即，即：，，解得，，∴.故选：A．8．C由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线平面判断①，找出平面角后可判断②，由线面平行的性质可判断③，由异面直线所成的角的定义判断④；利用三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求解可判断⑤即可．【详解】如图，连接，正方形中，，因为正方体的棱平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，同理．又，平面，所以平面，故①正确；因为平面，平面，所以，又平面平面，，平面，平面，则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，则该角大小为，故②错误；因为，所以，所以四边形为平行四边形，因此有，又平面，平面，所以平面，又，因此到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；由于，因此异面直线AP与所成角就是与所成的角，即图中或，设正方体棱长为1，所以，当点为中点时，此时，因为是等边三角形，在线段上，因此或中较小的角的范围是，④错误；三棱锥的外接球即为正方体的外接球，又正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，即，所以，所以三棱锥外接球表面积是，故⑤正确．故选：C．9．2先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.10．公司的人数为，根据题意，求得，结合分层抽样的方法，即可求得该公司青年员工的人数，得到答案.【详解】设公司的人数为，因为抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，可得，解得人，有业务公司青年、中年、老年员工的人数之比为，所以该公司青年员工的人数为人.故答案为：.11．4根据投影向量公式代入即可求解.【详解】为一个单位向量..与的夹角为，且在上的投影向量为....故答案为：412．根据题意，利用已知条件求出外接圆的半径，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式求解即可.【详解】设外接圆的圆心为，外接圆半径为，球半径为，根据已知条件有，，由正弦定理可得，所以，所以，所以球的表面积为：.故答案为：13．根据题意，设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”，因为每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，所以甲在两轮活动中答对两个问题的概率为；“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题，则包含，可得概率为.故答案为：；.14．根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，由三点共线，得到，求得的值，设，得到，由三点共线，求得，得到，再设，得到，结合三点共线，求得的值，得到，化简得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由，可得为的中点，则，因为，且，可得，即，又因为三点共线，可得，解得，即，设，因为点为的中点，可得，所以，即，因为三点共线，可得，解得，即，所以点为的中点，所以，设，由，可得，即，又因为三点共线，可得，解得，即，所以，又由，又因为是边长为2的等边三角形，所以.故答案为：；.15．(1)或.(2).（1）根据题意，设，由向量模的公式可得的值，即可得答案.（2）先求出，由向量数量积的计算公式可得，可解得，结合夹角的范围分析可得答案.【详解】（1）根据题意，，设，若，则解得，故或.（2）由题知，则，若，则，即，解得，又，所以.16．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）（1）根据题意，化简得到所以，求得，即可求解；（2）（ⅰ）由（1），结合余弦定理，列出方程，求得的值；（ⅱ）由，代入求得和，进而得到的值，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，可得，所以，

因为，所以，所以，又因为，所以.（2）解：由（1）知，，且，，（ⅰ）由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以.（ⅱ）由，可得，解得，则，所以，，则.17．(1)证明见解析(2)(3)（1）连接，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据平行关系确定为异面直线与所成角（或其补角），利用余弦定理求解即可；（3）取的中点，连接，利用线面垂直的判定证明平面，再利用为的中点，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设，连接，在正三棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，平面，平面，所以平面（2）由（1）得，为异面直线与所成角（或其补角），，，，异面直线与所成角的余弦值为.（3）取的中点，连接，为等边三角形，，又正三棱柱，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，点到平面的距离为．18．(1)(2)(3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ）（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解；（2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，可得，解得.（2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为，所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人.（3）解：成绩来自的学生人数为人，记为，成绩来自的学生人数为人呢，记为，则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点，设“两名学生数学成绩至多有一名及格”，则，其中含了9个样本点，所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率.19．(1)证明见解析(2)(3).【详解】（1）证明：取中点，连接，因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且，平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面，因为平面，所以，在等边△ABC中，因为为的中点，所以，又因为，且平面，所以平面，过点作，垂足为.连