（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习10 函数的周期性和对称性（解析版）

第页考点10函数的周期性和对称性1、常见的确定函数周期的条件函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件周期函数f(x)满足的条件周期f(x＋a)＝f(x－a)2af(x＋a)＝－f(x)2af(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2af(x＋a)＝eq\f(1,fx)2a关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|偶函数，关于直线x＝a对称2a关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|奇函数，关于对称关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|奇函数，关于直线x＝a对称4a4a2、周期性的应用（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。3、对称性的应用（1）函数自身的对称性①函数的图像关于点对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。②函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。（2）不同函数对称性①函数与的图像关于直线成轴对称。②互为反函数的两个函数关于直线对称。考点一函数的周期性及应用1．已知是以2为周期的函数，且，则（

）A．1 B．-1 C． D．7【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即所以.故选：A.2．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（

）A． B． C．2 D．1【解析】由可知，函数的周期为2，当时，，∴.故选：B3．若偶函数对任意都有，且当时，，则______．【解析】因为，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：.4．函数对于任意实数x满足条件，若，则______.【解析】令，，则.令，，则；令，，则.故答案为:5．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________.【解析】因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上,所以，，又，即，解得，所以，故答案为：.6．已知是定义在上的函数，满足.(1)若，求；(2)求证：的周期为4；(3)当时，，求在时的解析式.【解析】(1)∵，∴.(2)∵对任意的，满足∴，∴函数是以4为周期的周期函数.(3)设，则，∵当时，，∴当时，，又∵，∴∴.考点二函数的对称性及应用7．写出一个满足，且的函数的解析式__________．【解析】由，可知函数关于对称，所以，又，满足.所以函数的解析式为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.8．设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（

）A．直线对称 B．直线对称C．直线对称 D．直线对称【解析】设函数的图象上任意一点，则，关于直线的对称点为．又函数中，当时，，所以在的图象上．故函数与函数的图象关于直线对称，故选：D9．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，，，，，则（

）A．-10 B．-5 C．5 D．10【解析】因为，所以的图象关于点对称，又也关于点对称，则函数与图象的交点也关于点对称，所以；故选：B10．已知函数满足，函数与图像的交点分别为，，，，，则（

）A．-10 B．-5 C．5 D．10【解析】因为函数满足，所以，即函数的对称轴为，因为，所以由题知，函数与图像的5个交点满足，即，故A，B，D错误.故选：C.11．设函数的定义域为R，则下列命题：①若是偶函数，则的图像关于轴对称；②若是偶函数，则的图像关于直线对称；③若，则函数的图像关于直线对称；④与的图像关于直线对称．其中正确命题的序号为________．【解析】若是偶函数，则，所以的图象关于对称，①错误，②正确；，令即，所以是偶函数，图象关于轴对称，③错误；是将的图象向右平移2个单位而得，是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，因此与的图象关于对称，④正确.故答案为：②④12．已知函数．(1)求，的值；(2)求证：的定值；(3)求的值．【解析】（1）因为，所以，；（2），是定值；（3）由（2）知，因为，，，……，，所以.考点三周期性与奇偶性结合13．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（

）A． B．0 C．1 D．2022【解析】因为，所以，所以的周期为4，函数是定义在上的奇函数，所以，所以，.故选：B.14．若和都是定义在上的奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】因为和都是定义在上的奇函数，所以，，所以，所以，所以是周期为的周期函数，所以因为是定义在上的奇函数，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，即，所以.故选：A.15．已知奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（

）A．10 B． C． D．5【解析】因为为偶函数，所以，即，因为函数是奇函数，所以，则，即，所以的周期为4．因为，，，，所以，故．故选：C16．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【解析】解法一：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．解法二：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．17．【多选】已知定义在上的奇函数满足.当时，，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称 B．C． D．【解析】因为函数是奇函数，所以，的图象关于原点对称，又函数满足，所以，则，即，所以，所以函数的周期，故AC错误；又当时，，所以，故B正确所以.故D正确故选：BD.考点四对称性与周期性结合18．定义在上的函数满足下列三个条件：①；②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是A．B．C．D．【解析】先由，得函数周期为6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称，进而得到f（1）=f（5）；最后利用条件（2）得出结论．因为，所以；即函数周期为6，故；又因为的图象关于y轴对称，所以的图象关于x=3对称，所以；又对任意，都有；所以．故选:D．19．对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为____________.【解析】对，函数满足，则关于直线对称，所以①；函数满足，则关于点对称，所以②；由①②得：，则是周期函数，周期为所以又时，，即在上单调递减，所以，即.故答案为：或.20．定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为（

）A． B． C． D．【解析】，即，，所以，函数是以为周期的周期函数.又，则函数的图象关于直线对称.，，则函数的图象关于点对称，易知函数的图象也关于点对称，如下图所示：函数的图象与函数在上没有交点，并且函数在上的图象关于点对称，且函数在区间上的图象也关于点对称，两个函数在区间上共有个公共点，且这些公共点呈现对关于点对称，因此，方程在上所有根的和为.故选C.考点五单调性与对称性的结合21．已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【解析】由函数对任意实数都有，可得函数关于对称，又由对任意，都有，可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数，由，所以，所以A不正确；由，所以，所以B不正确；由，所以，所以C正确；由，所以，所以D不正确.故选：C.22．【多选】若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（

）A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3【解析】由，，可得图象关于对称，由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；对C，，C正确；对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．故选：AC.23．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知，.由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，所以，所以.故选：C24．已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【解析】，函数的图象关于直线对称，该函数图象经过点，则，且有，对任意，且，恒成立，可设，则，，即.所以，函数在上单调递增，由此可得该函数在上单调递减，当时，符合题意；当时，即时，则有，由于函数在上单调递减，由，得，此时；当时，即时，则有，由于函数在上单调递增，由，得，此时，综上所述，不等式的解集为.故选：D.考点六单调性、奇偶性与周期性结合25．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函数 B．减函数C．先增后减的函数 D．先减后增的函数【解析】因为函数f（x）满足f（x+1）=，所以，所以是以2为周期的周期函数，又因为是定义域为R的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，所以在[0，1]上是增函数，那么f（x）在[2，3]上是增函数，故选：A26．定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．【解析】，即函数的周期是8，则，，，为奇函数，且在上是增函数，则在上是增函数，，即.故选：B.27．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，当时，都有；②；③是偶函数；若，，，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【解析】根据题意，若对任意的，，，当时，都有，则函数在区间，上为增函数，若，则，即函数的周期为8，若是偶函数，则函数的图象关于直线对称，，，，又由函数在区间，上为增函数，则有；故选：．考点七奇偶性、周期性与对称性结合28．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（

）A．0 B．-1C．1 D．无法确定【解析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；所以，所以，所以，所以函数的周期，.故选：B.29．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）①函数的图象关于直线对称

②函数的图象关于点中心对称③函数的周期为4

④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【解析】因为为偶函数，所以，所以，，所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，①错误；因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故②正确，由①可知，，由②可知，，故有，令，则有，所以，解得，所以函数的周期为4，故③正确；，故④正确．故选：C．30．【多选】函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以图像关于对称，同时关于直线对称；所以，，故A选项错误；所以，，故B选项正确；所以，即函数为周期函数，周期为.所以，即函数为偶函数，故C选项正确；所以，故函数为奇函数，D选项正确；故选：BCD31．定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（

）A．6 B．4 C．2 D．0【解析】∵定义在上的奇函数满足恒成立，∴，∴，又∴，，，∴.故选：C.32．【多选】已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（

）A．图象关于直线对称 B．C．的最小正周期为4 D．对任意都有【解析】由的对称中心为，对称轴为，则也关于直线对称且，A、D正确，由A分析知：，故，所以，所以的周期为4，则，B正确；但不能说明最小正周期为4，C错误；故选：ABD33．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（

）A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2022）＝－1【解析】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所以，又，令代入可得，故A正确；对于B：因为，所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；对于C：因为为奇函数，所以，所以，则，故C正确；对于D：由C选项可得，的周期为8，所以，故D正确；故选：B34．【多选】已知函数，满足，又的图像关于点对称，且，则（

）A． B．C．关于点对称 D．关于点对称【解析】令，由得：，，即的一条对称轴是，又关于对称，令，即，，是奇函数；，的周期为8；对于A：正确；对于B：，正确；对于D：令，将代入得，即要证明关于对称，显然由，故关于对称，即关于对称，正确；对于C：同上，将代入得，即显然不是的对称点，错误；故选：ABD.考点八单调性、奇偶性与对称性结合35．已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为A． B．C． D．【解析】由题意得，函数向左平移2个单位得，又在上是单调减函数，所以函数在是减函数，又函数是偶函数，所以，所以，即，故选A．36．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【解析】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B．37．已知函数是定义在上的偶函数，为区间上的任意两个不相等的实数，且满足，，则的大小关系为A． B． C． D．【解析】函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，由得在上为增函数，，由得，从而，即.故选：D.考点九单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合38．已知定义在上的奇函数满足，函数的图像关于对称且函数在区间上单调递增，则的从