《线性控制系统理论与方法》课件第2章

第2章数学基础介绍2.1常数矩阵的几个基本概念和结论2.2多项式矩阵2.3矩阵分式2.4线性矩阵方程2.5拉普拉斯变换2.1常数矩阵几个基本概念和结论

一、矩阵降秩条件

设，则A的列是m维列向量，并有n个；A的行是n维行向量，共有m个。

定义2.1

矩阵中列向量的最大无关组的个数称为A的列秩；其行向量的最大无关组的个数称为矩阵A的行秩。对于矩阵而言，容易证明下述命题。定义矩阵为矩阵A的友矩阵（Companionmatrix）三、常用的几个矩阵公式和不等式

如果是列向量，是行向量，则上式右边括号运算简化为数量除法。只要给(2.3)式两边同左乘，即可得到此公式。(2.3)(2.4)证明：1）当，则类似可证明2）。取极限的本结论。类似可证明(4)。引理2.9若存在正定方阵和适维矩阵有(2.5)则(2.6)引理2.10：对适维矩阵有下式成立(2.7)(2.8) 2.2多项式矩阵

Polynomialmatrix

多项式的集合并不形成一个域,因为其乘法运算中的逆并不一定是多项式.若将集合扩展到包括所有有理分式,则形成一个域,称为有理分式域,记为.对于元属于有理分式域的矩阵,线性无关、秩、奇异性这些对元素属于实数域的矩阵建立的概念是同样适用的.因此,若将多项式看成是有理函数域中的元素,我们就可以将线性无关和秩的概念应用于多项式函数.例如,方多项式矩阵的行列式是,它不是有理函数域中的零元.因此,此矩阵是非奇异的,或者说是满秩的.有理函数域中的非奇异性,并不意味着该矩阵对所有的中的均为非奇异.例如,上述矩阵在时秩为1而不是2.

因此,作为有理矩阵的特殊情况的多项式矩阵的行列式等于有理函数域中的零元,则多项式矩阵是奇异的.例如,多项式矩阵易得如下结论:

注:考虑到gcld和gcrd在定义上的对偶性,关于gcld的性质和左互质的性质可由gcrd的相应结果导出,我们不再对其进行专门的讨论.(2.9)

证(1)先证是的一个右公因子.为此,令则由(2.9)式可得(2.10)再由(2.9)可得(2.11)将(2.10)代入(2.11),即得[例2.1]求多项式矩阵的一个gcrdR(s)

解对进行初等行变换如下由此可得而相应的单模阵为

右互质性判据在基于多项式矩阵理论的线性系统分析中,常常会涉及到互质性的判别问题.下面,仅限于右互质性,介绍两种比较有用的判别准则.左互质性同理可得(2.13)2.3矩阵分式

MatrixFraction

和

例2.2给定矩阵通过找出它的列最小公分母可定出它的一个右MFD为而通过找出它的行最小公分母可定出它的一个左MFD为则称它对应的MFD是真的则称它对应的MFD是严真的.右乘即可导出进一步可得 2.4线性矩阵方程

Linearmatrixequations

讨论以实变量的函数为元素的矩阵A的各元素对x积分后,定义为A对x的积分考虑线性矩阵微分方程(2.14)

推论2.1

对于任意,线性定常矩阵微分方程有唯一解且当时,有

定理2.8

若渐近稳定,则方程(2.16)有惟一解X,X有下列性质

1)可表示为 2.5拉普拉斯变换

Laplacetransfer

在数学问题中,为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采用一些变换手段.例如数量乘积或商可以通过对数变换变成对数的和或差,然后再取反对数,即得到原来数量的乘积或商.而积分变换就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换.本节介绍控制科学中比较常用的一类积分变换——Laplace变换.

定义2.13

设函数f(t)在时有定义,而且积分（s是复参量）在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称为函数f(t)的Laplace变