2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之直线与方程

第9页（共9页）2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之直线与方程一．多选题（共1小题）（多选）1．（2024•新高考Ⅰ）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2 B．点（22，0）在C上 C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤二．填空题（共3小题）2．（2024•上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为．3．（2022•上海）若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，则实数m4．（2021•上海）直线x＝﹣2与直线3x﹣y+1＝0的夹角为．

2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之直线与方程参考答案与试题解析二．多选题（共1小题）题号1答案ABD一．多选题（共1小题）（多选）1．（2024•新高考Ⅰ）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2 B．点（22，0）在C上 C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．【解答】解：A对，因为O在曲线上，所以O到x＝a的距离为﹣a，而OF＝2，所以有﹣a•2＝4，a＝﹣2，那么曲线的方程为(xB对，因为代入(22，C错，因为y2=(4x+2)2-(x-于是在x＝2的左侧必存在一小区间（2﹣s，2）（s可以取无限小的数）上满足f（x）＞1，因此最大值一定大于1；D对，曲线的方程为(x可化为（x﹣2）2+y2=(4即y2=(4x+2)2-（因为y0故选：ABD．【点评】本题考查了点的轨迹方程，新定义问题，是中档题．二．填空题（共3小题）2．（2024•上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为45°．【考点】直线的倾斜角．【答案】见试题解答内容【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小．【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1，设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，因为α∈[0，180°），所以α＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题．3．（2022•上海）若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，则实数m【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组x+则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．4．（2021•上海）直线x＝﹣2与直线3x﹣y+1＝0的夹角为π6【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数据分析．【答案】见试题解答内容【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为π2直线3x﹣y+1＝0的斜率为3，倾斜角为π3故直线x＝﹣2与直线3x﹣y+1＝0的夹角为π2故答案为：π6【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．

考点卡片1．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：-3直线的倾斜角为：α．所以tanα=-α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4-13-0∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-A（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l23．两条直线的交点坐标【知识点的认识】﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为：l1：a1x+b1y+c1＝0l2：a2x+b2y+c2＝0﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标．【解题方法点拨】﹣求交点：1．代入消元法：用一个方程中的x或y表示代入另一个方程，解得x和y的值．2．求解交点：解得x和y后，得到交点坐标．【命题方向】﹣直线交点：考查求两条直线交点的坐标的能力，通常涉及解方程组或应用矩阵运算．4．方程组解的个数与两直线的位置关系【知识点的认识】﹣方程组：涉及到两条直线的方程：a1x+b1y+c1＝0a2x+b2y+c2＝0﹣位置关系：﹣相交：两条直线有唯一的交点．﹣平行：如果方程组的系数比相同，但常数项不成比例，直线平行且没有交点．﹣重合：如果两条直线的系数比和常数项的比都相同，直线重合．【解题方法点拨】﹣判定位置关系：1．平行：计算直线的斜率，若斜率相同但常数项不同，说明平行．2．重合：检查两条直线的系数比和常数项比是否相等．3．相交：若上述条件不满足，直线相交，解得交点坐标．【命题方向】﹣直线位置关系：考查方程组的解的个数和直线的位置关系，如平行、重合、相交．5．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：d=【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模A24．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．6．两直线的夹角与到角问题【知