专题55三角恒等变换（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

专题5.5三角恒等变换【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】 2【题型2利用和（差）角公式求三角函数式的值】 3【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】 3【题型4利用和（差）角公式证明三角恒等式】 4【题型5辅助角公式的应用】 5【题型6利用二倍角公式化简】 7【题型7利用二倍角公式求值】 8【知识点1两角和与差的三角函数公式】1．两角差的余弦公式对于任意角，有.

此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①=(+)；

②=()；

③=[(+)+()]；

④=[(+)()]；

⑤=()()；

⑥=()+().(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】【例1】（2023秋·全国·高一专题练习）已知π2<θ<3π2，且cosθ+2π3=13，则sinθ的值为（A．22−36 B．26+1【变式11】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知cosα+π12=3A．3−4310 B．45 C．−【变式12】（2023秋·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知角θ的终边过点P−3,−1.则sin(πA．−255 B．255 【变式13】（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知角α,β∈0,π，且sinα+β+cosA．−2 B．−12 C．1【题型2利用和（差）角公式求三角函数式的值】【例2】（2023春·江苏南通·高一统考期中）求2cos10∘A．3 B．−3 C．33 【变式21】（2023春·四川成都·高一统考期末）已知tanα+tanβ=−6,tan(α+β)=−1A．13 B．3 C．23 【变式22】（2023秋·四川·高三校联考阶段练习）若tanα−β=2,tanβ=4，则A．−75 B．75 C．−【变式23】（2023·全国·高三专题练习）已知cosπ4+θ=45，A．10021 B．C．7528 D．【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】【例3】（2023春·甘肃兰州·高一校考期末）化简：(1)sinα−β(2)sinα+β【变式31】（2023秋·高一课时练习）化简求值：(1)sin50(2)sinθ+75°【变式32】（2023·全国·高二专题练习）化简求值：(1)sin((2)sin27【变式33】（2023·全国·高一随堂练习）化简：(1)tan58°+(2)tan2θ−(3)tan83°+(4)cos15°−【题型4利用和（差）角公式证明三角恒等式】【例4】（2023·全国·高一课堂例题）求证：sin2x+y【变式41】（2023·全国·高一课堂例题）求证：(1)cosα(2)sinα【变式42】（2023·全国·高一随堂练习）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【变式43】（2023·全国·高一随堂练习）已知函数fx(1)fx+ℎ(2)fx+2ℎ【题型5辅助角公式的应用】【例5】（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）已知函数fx=2(1)求fx(2)若fx0−【变式51】（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知fx(1)求fx(2)求函数fx在0,【变式52】（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数fx=23(1)求函数fx(2)若fx0=65【变式53】（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数fx=sin(1)求常数a的值；(2)求函数fx(3)求使fx≥0成立的【知识点2二倍角公式】1．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函数公式β=α简记符号正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α余弦cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2αC(α+β)C2α正切T(α+β)T2α2．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.【题型6利用二倍角公式化简】【例6】（2023·全国·高三专题练习）化简sin2A．－2 B．－12 C．－1 【变式61】（2023·四川雅安·校考模拟预测）化简1−cos160°2A．cos10° B．C．2sin10°+cos【变式62】（2023·全国·高一专题练习）下列各式化简结果为12的是（

A．1−2cos275°C．sin14°cos16°+【变式63】（2023·全国·高三专题练习）已知α∈−π4,πA．2sinα B．−2sinα 【题型7利用二倍角公式求值】【例7】（2023秋·江西九江·高二校考开学考试）已知tanα+(1)若α的终边位于第三象限，求sin2α+(2)求1+sin【变式71】（2023春·天津河