《信号与系统基础及应用》课件-第4章 离散时间信号分析

《信号与系统基础及应用》主编张晓青参编耿蕊王君机械工业出版社《信号与系统基础及应用》第1章信号与系统基础知识第2章连续时间信号分析第3章连续时间系统分析第4章离散时间信号分析第5章离散时间系统分析第6章离散傅里叶变换及应用第7章数字滤波器设计第4章离散时间信号分析4.2离散时间傅里叶变换（DTFT）4.1离散时间傅里叶级数（DTFS）（DiscreteTimeFourierSeries）（DiscreteTimeFourierTransform）4.3奈奎斯特抽样定理4.1离散时间傅里叶级数（DTFS）4.1.1周期信号的离散时间傅里叶级数4.1.2离散时间周期信号的频谱4.1.3离散时间傅里叶级数的性质可以将离散周期信号看成是连续周期信号的抽样信号。1.离散周期信号的定义4.1.1周期信号的离散时间傅里叶级数2.正弦序列的周期性一个连续时间正弦信号cos

t，无论

取何值，都是一个周期信号。如果则必须有即为有理数n，N，m均为整数则基波周期为对于离散正弦序列cosn或者指数形式ejn，情况并非如此，仅当

/2为有理数时，cosn或者ejn才是周期的。m取满足条件的最小正整数。【例4.1】可以找到一个整数m使N成为一个整数！是有理数，所以该信号是离散周期信号。当m=2时，则N为基波周期。

/2不是有理数，该信号不是离散周期信号。3.推导离散周期信号的傅里叶级数公式T为信号周期，Ts为抽样周期连续周期信号的FS公式如下：离散化后成为离散周期信号（变量替换）：nt公式的图形解释时域抽样，导致频域卷积，变成周期延拓怎样求级数的系数？直接求取级数有限项求和离散性谐波性周期性离散性谐波性衰减性旋转因子设为周期脉冲串，解：对于0≤n≤N-1，对于所有的k值，均相同。的DTFS系数为求其傅里叶级数表示。【例4.2】已知周期序列如图所示，其周期N=10,试求它的傅里叶级数系数。【例4.3】解：4.1.2离散时间周期信号的频谱幅度特性相位特性基频因此，把称为的频谱。【例4.4】相角为0相角为0【例4.5】相角为-/2相角为/2求周期信号画出它的幅度谱和相位谱。根据周期信号的定义求取周期解：的基波周期是N1=5的基波周期也是N2=5对于x(n),【例4.6】的离散时间傅里叶级数，并对欧拉公式皆是周期为N的周期序列，4.1.3离散时间傅里叶级数的性质设和它们各自的DTFS分别为：1.线性式中，a和b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。2.序列的移位或证明：令i=n+m

3.周期卷积如果则或周期卷积定理：得证明：代入

都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列。周期序列的卷积与非周期序列的线性卷积不同。求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。12求两个周期序列（N=7）的周期卷积。【例4.7】解：两个周期序列（N=7）的周期卷积由于DTFS和IDTFS变换的对称性，时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。则有如果再经变量替换，得4.2离散时间傅里叶变换（DTFT）4.2.2离散时间傅里叶变换的性质4.2.1离散非周期信号的傅里叶变换1.从连续时间傅里叶级数到连续时间傅里叶变换4.2.1离散非周期信号的傅里叶变换2.从离散时间傅里叶级数到离散时间离散傅里叶变换随着N

增大，谱线越来越密。当N趋于无穷时，谱线会怎样呢？密度性,连续性,周期性3.DTFT公式推导因此，离散时间傅里叶变换的定义为反正x(n)可以表示成无穷多个复指数信号的加权和X(ej

)表示了单位频带的复振幅（1）X(ej

)是连续的，并且以2

为周期，为单位频带的复振幅。4.DTFT的特点（2）x(n)绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件。只是充分条件，不是必要条件。例如：求序列x(n)的DTFT。【例4.8】解：周期为2

的偶函数周期为2

的奇函数分析：取a=0.8其中【例4.9】求DTFT。双边指数序列如下解：取a=0.5【例4.10】求矩形脉冲序列的DTFT，并画出N1=2时的频谱图。解：4.2.2离散时间傅里叶变换的性质1.线性2.时移设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数！图中的相频特性默认是

(

)的值在-~+

之间，所以由原本的直线相频特性卷绕而得。则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列，根据时移性当序列是偶对称信号，与连续时间傅氏变换相同，其变换X(ej

)是纯实函数。X(ej

)是以2π为周期的连续函数，其幅度函数的波形是以π偶对称的，相位函数是以π奇对称的。3.频移设则由频移性4.时间反转5.共轭对称设x(n)为一般的复数序列信号，即对于实信号x(n)幅度谱是

的偶函数相位谱是

的奇函数又序列实部的DTFT是序列离散时间傅里叶变换的共轭对称分量序列虚部的DTFT

是序列离散时间傅里叶变换的共轭反对称分量6.奇偶虚实性质设（1）当x(n)是实序列，即则实序列的DTFT，实部是偶对称的，虚部是奇对称的模是偶对称的，相位是奇对称的其中的奇分量（2）当x(n)是实序列，即则其中的偶分量则即（4）当x(n)是实奇序列，即则即实奇序列的DTFT是纯虚且奇对称的（3）当x(n)是实偶序列，即实偶序列的DTFT是实偶对称的7.频域微分例如：已知则有8.时域卷积9.频域卷积参与卷积的两信号均是以2π为周期的周期信号，卷积的积分是在2π区间上的积分，卷积后的结果，仍然是以2π为周期的周期信号。周期卷积10.Parseval定理与连续时间傅里叶变换相同，Parseval定理表示信号在时域的总能量，等于频域中不同频率分量的能量|X(ej

)|2/2π在一个周期（2π）上的积分。|X(ej

)|2称为序列x(n)的能量密度谱函数。【例4.11】试求以下与X(ej

)=DTFT{x(n)}有关的值。已知序列x(n)如图所示。解：由定义由定义时移性质由帕塞瓦尔(Parseval)定理由频域微分性与帕塞瓦尔定理【例4.12】已知X(ej

)=DTFT{x(n)}，试求序列x(n)。解：（1）由定义（2）由定义CTFS(ContinuousTimeFourierSeries)

连续时间傅里叶级数DTFS(DiscreteTimeFourierSeries)

离散时间傅里叶级数CTFT(ContinuousTimeFourierTransform)

连续时间傅里叶变换

DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)

离散时间傅里叶变换总结：四种傅里叶变换的关系CTFS(ContinuousTimeFourierSeries)

连续时间傅里叶级数CTFT(ContinuousTimeFourierTransform)

连续时间傅里叶变换DTFS(DiscreteTimeFourierSeries)

离散时间傅里叶级数

DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)

离散时间傅里叶变换离散性谐波性周期性离散性谐波性衰减性1.CTFS、CTFT、DTFS、DTFT性质比较CTFSDTFTDTFSCTFT密度性连续性周期性密度性连续性衰减性抽样抽样周期

周期

CTFSDTFTDTFSCTFT抽样抽样周期

周期

2.时频域对应关系周期函数离散函数，非周期函数连续函数离散函数周期函数，连续函数非周期函数信号的四种组合情形各自的时频对应情况是怎样的？连续周期连续非周期离散周期离散非周期？4.3奈奎斯特抽样定理4.3.1理想抽样的数学模型4.3.2奈奎斯特抽样定理4.3.3抽样信号的重建4.3.4实际抽样过程抽样定理重要意义A-DH(z)D-Ax(t)x(n)y(n)y(t)利用离散时间系统处理连续时间信号哈利

奈奎斯特（HarryNyquist，1889-1976）美国物理学家4.3.1理想抽样的数学模型1.信号理想抽样模型混叠（2）最低抽样频率

s需大于2

m，即最大抽样间隔Ts需小于

/

m。即4.3.2奈奎斯特抽样定理两个方面：（1）若带限信号x(t)的最高频率为

m，则信号x(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示。信号的最高频率奈奎斯特速率（NyquistRate，不失真的最小抽样频率）奈奎斯特频率（Nyquistfrequency，又叫折叠频率）实际抽样频率【例4.13】已知实信号x(t)的最高频率为fm(Hz)，试计算对各信号x(2t),

x(t)*x(2t),

x(t)

x(2t)采样不混叠的最小抽样频率。解：根据傅里叶变换的性质及抽样定理得：对信号x(t)的最小抽样频率为2fm对信号x(2t)的最小抽样频率为4fm对信号x(t)*x(2t)的最小抽样频率为2fm对信号x(t)·x(2t)的最小抽样频率为6fm思考:根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽样时，只需抽样频率fs

>2fm。在工程应用中，抽样频率常设为fs

(3~5)fm，为什么？若连续时间信号x(t)

的最高频率fm未知，如何确定抽样间隔T？抽样点数增多，使谱线更多展示，减小栅栏效应。信号频率的大致范围一般是事先知道的。先经过抗混叠预滤波电路处理，使之成为带限信号，即知fm

。4.3.3抽样信号的重建1.信号重建模型2