（新高考）2022届高考数学考前冲刺卷（八）解析版

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数学（八）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵集合，集合，∴，故选B．2．已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为上的减函数，所以有，解得，故选A．3．若“，”是假命题，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，所以当时，成立；当时，则，解得，综上：，所以a的取值范围为，故选C．4．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系．则，．设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为，故选C．5．如图，空间四边形中，，点M在上，且满足，点N为的中点，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题图，，而，，，所以，故选D．6．若函数的大致图象如图，则的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图可知函数定义域为，由此排除A；该函数图象关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足，对于B项：，故排除B；C和D均满足，对于C：，当x→＋∞时，，故，∵增长的速率比增长的速率慢，∴，即图象在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C；综上，D选项正确，故选D．7．设是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，分别为双曲线的两条渐近线，根据题意于，由的方程为，，所以，又，所以，由，所以，设交轴于，由，所以，所以，在中，，所以，所以，故选A．8．已知函数是偶函数．若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是偶函数，所以，即，，解得，，则，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，，结合正弦函数对称性易知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数的取值范围是，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某公司大力推进科技创新发展战略，持续加大研发投入（单位：万元），不断提升公司的创新能力．2016年至2020年该公司的研发投入如下表所示：年份20162017201820192020年份编号x12345研发投入y/万元5193m175211若y与x线性相关，由上表数据求得的线性回归方程为，则（）A．B．y与x正相关C．该公司平均每年增加研发投入约万元D．预计2022年该公司的研发投入为万元【答案】ABD【解析】因为，点在回归直线上，，所以，故A正确；根据表格中的数据及正相关的定义可知，y与x正相关，选项B正确；回归直线方程的斜率即为该公司平均每年增加研发投入，为万元，故C错误；因为2022年对应的年份编号为7，即，所以预计2022年该公司的研发投入为（万元），D正确，故选ABD．10．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A．是递增数列 B．C．当或17时，取得最大值 D．【答案】BC【解析】因为，所以，两式相减得，当时，适合上式，所以，因为，所以数列是递减数列，由，解得，且，所以当或17时，取得最大值，所以，故选BC．11．在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（）A． B．C．的最小值为2 D．的最小值为【答案】BD【解析】由，得，又点E在线段AD上移动，，，故A错误，B正确；，当时，有最小值，故C错误，D正确，故选BD．12．已知函数，若，且，则（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】当时，．设函数，则有，，，故是偶函数，且最小值为0．当时，，所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减，把的图象向右平移一个单位长度，得到函数的图象，故函数的图象关于直线对称，故可得到函数在上的图象．又，故函数的图象与轴的交点为．作平行于轴的直线，当时，直线与函数的图象有四个交点，数形结合可知，故A正确；由，得，又根据题意知，所以，即，即，所以，故B正确；令，则，，得，，因此，故C正确；又时，，且函数在上单调递增，所以，故D错误，故选ABC．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若，则_________．【答案】【解析】因为，所以，所以，故答案为．14．的展开式中的系数为__________．【答案】330【解析】将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，则要得到，则给甲1个元素，给乙1个元素，给丙3个元素，或给甲0个元素，给乙3个元素，给丙2个元素，即的系数为，故答案为330．15．在四边形中，，，，，则四边形的面积为_______．【答案】【解析】如图，易知，，可得，又因为，所以，又，解得，，故，故答案为．16．如图，ABCD是一块直角梯形加热片，AB∥CD，∠DAB＝60°，．现将△BCD沿BD折起，成为二面角A－BD－C是90°的加热零件，则AC间的距离是________dm；为了安全，把该零件放进一个球形防护罩，则球形防护罩的表面积的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不计）【答案】4，（或）【解析】∵ABCD是一块直角梯形加热片，AB∥CD，∠DAB＝60°，，∴△DAB为等边三角形，，设E为BD的中点，连接AE，CE，则AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，∴AE⊥平面BCD，平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2dm，，∴，设△DAB的中心为O，则OE⊥平面BCD，又E为BD的中点，△BCD为直角三角形，∴OB=OC=OD=OA，即O为三棱锥的外接球的球心，又，故球形防护罩的表面积的最小值为．故答案为4，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前n项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）当时，，整理得，又，得，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，．（2）当时，，当时，，当时，，当时，，则．18．（12分）在中，角，，所对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）已知的平分线交于点，若的面积是面积的倍，且，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得，所以，又因为，且，所以，所以．（2）和中，由余弦定理得，，因为，且，所以，因为，又因为平分，所以，所以，，所以解得，，，，因为，所以，所以，即的面积为．19．（12分）如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．（1）求证：AA1⊥BD；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为C1C⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1．又AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AA1．（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四边形A1OCC1为平行四边形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1，所以A1O⊥底面ABCD．以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz．则，由，得．因为E是棱BB1的中点，所以，所以，．设为平面EA1C1的法向量，则，取，得，取平面A1C1C的法向量，又由图可知，二面角为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则，所以二面角的余弦值为．20．（12分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：小学生初高中生大学及大学以上在校生60岁以下的社会人士60岁及以上的社会人士不了解“碳中和”及相关措施4030805570了解“碳中和”及相关措施208015019085（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？学生社会人士合计不了解“碳中和”及相关措施了解“碳中和”及相关措施合计附：，．k（2）经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心．经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措．设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为，每个被调查的人之间相互独立．①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为，求的最大值点；②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的作为答错的概率p的值．已知回答正确给价值a元的礼品，回答错误给价值b元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a，b表示即可）【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关；（2）①；②．【解析】（1）由题中表格数据完成列联表如下：学生社会人士合计不了解“碳中和”及相关措施150125275了解“碳中和”及相关措施250275525合计400400800根据列联表得，故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关．（2）①由题得，，∴．令，得，当时，；当时，，∴当时，单调递增；当时，单调递减，∴的最大值点．②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X的数学期望．由①知答错的概率为，则，故要准备的礼品大致为元．21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别A，B，F是椭圆C的右焦点，且，．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C存在一动点M，连接OM，过点F作直线交椭圆C于P，Q两点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）根据题意可知，，．∵，，∴，解得，则，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）得．易知直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为，，，，∴直线OM的方程为．则，，则．∵，，∴．（联立直线l与椭圆C的方程，结合根与系数关系求出的值，代入）由，得，，则，，，（联立直线OM与椭圆C的方程，求出）由，得，∴，∴，∵，∴为定值．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见