第15讲复数及其四则远算（练习）

第15讲复数及其四则远算（练习）夯实基础一、单选题1．（2021·江苏高一单元测试）已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，则a=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则和纯虚数的定义，计算即可.【详解】解：复数z=1+ai(a∈R)，则z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(23a)+(2a+3)i，由纯虚数的定义知，，解得故选：A.2．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）(2+i)(1+2i)=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用复数减法法则计算即可.【详解】(2+i)(1+2i)=(21)+(12)i=故选：A3．（2021·浙江高一期末）设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用复数的乘法法则化简复数，由此可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内的点位于第三象限.故选：C.4．（2021·全国高一课时练习）设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（）A．－3 B．－2C．2 D．3【答案】A【分析】根据实部与虚部的概念列式，即解得结果.【详解】由题意知，a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选：A.5．（2021·江苏高一单元测试）已知为虚数单位，复数，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的运算法则化简复数，利用复数的模长公式可求得.【详解】，，则.故选：B.6．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）若复数z满足(z1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（）A．2i B．2+i C．2i D．2+i【答案】D【分析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(z1)i=1+i，所以，所以.故选：D.7．（2021·全国高一课时练习）已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（）A．－1或3 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根据题意实部大于虚部列式求解不等式，即得结果.【详解】由已知实部大于虚部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即，解得或，故实数a的取值范围是或.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用除法化简计算，然后代入模长公式计算.【详解】变形得，所以.故选：A.二、填空题9．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为___________.【答案】.【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解.【详解】，所以复数z的虚部为.故答案为：.10．（2021·湖南长沙市·长沙一中高一月考）已知为虚数单位，复数满足，则___________.【答案】【分析】直接对化简可求出复数【详解】解：由，得，所以故答案为：11．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）若复数为纯虚数，则实数的值为________．【答案】1【分析】由纯虚数的概念得实部为0，且虚部非0，可解得.【详解】因为复数为纯虚数，所以解得.故答案为：1.12．（2021·江苏高一单元测试）下列命题，是真命题的有___________①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④实数集相对复数集的补集是虚数集.【答案】④【分析】举例说明①③错误；由两复数相等的充要条件说明②错误；由集合间的关系说明④正确.【详解】解：对于①，若两个复数为实数，则能比较大小，故①错误；对于②，当且仅当x，y∈R，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1，故②错误；对于③，当a=0时，0i=0不是纯虚数，故③错误；对于④，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故④正确.故答案为：④.13．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________【答案】2【分析】把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．14．（2021·全国高一课时练习）已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.【答案】【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由复数相等的充要条件，得解得故.故答案为：15．（2021·全国高一课时练习）给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2=1的数x只有i；③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m+ni的实部一定是m.其中正确说法的个数为_________.【答案】1【分析】根据复数的概念即可求解【详解】③中b=0时bi=0，不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类；②中平方为1的数为±i；④中m，n不一定为实数，故①②④错误.故答案为：1三、解答题16．（2021·江苏高一单元测试）已知复数z1满足：|z1|=1+3i﹣z1.（1）求z1（2）若复数z2的虚部为2，且是实数，求.【答案】（1）z1=4+3i；（2）.【分析】（1）设z1=x+yi(x，y∈R)，代入|z1|=1+3i﹣z1，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则z1可求；（2）令z2=a+2i，a∈R，由（1）知，z1=4+3i，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值，则答案可求.【详解】解：（1）设z1=x+yi(x，y∈R)，则，故，解得，∴z1=﹣4+3i；（2）令z2=a+2i，a∈R，由（1）知，z1=4+3i，则=，∵是实数，∴3a+8=0，即a=∴，则.17．（2021·全国高一课时练习）设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；（2）若是纯虚数，求|z1|.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算求的值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得，则可求．【详解】解：（1）（其中，，，由是实数，得．，，则；（2）由是纯虚数，得，即．．18．（2021·全国高一课时练习）已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.（1）求z1·z2；（2）若，求z.【答案】（1）4；（2）.【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出.【详解】(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.(2)由，得，所以.19．（2021·浙江高一单元测试）已知复数.（1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算；（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）化简得，所以在复平面中所对应的点的坐标为，在直线上，所以，得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.能力提升1．有下列4个命题：=1\*GB3①若是复数，且，则；=2\*GB3②若，则；=3\*GB3③若，则是实数；=4\*GB3④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，上述命题中正确的是．（写出所有正确命题的序号）【难度】★★【答案】=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④2．设|z|＝5，|z|＝2,|z－|＝，求=_________。【难度】★★【答案】3．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数等于．【难度】★★【答案】4．已知复数，则的最大值是（） A．2 B．1 C． D．【难度】★★【答案】B5．已知复数，如果=，求实数的值．【难度】★★【答案】6．数，若，求【难度】★★【答案】，则，当时，；当当时，．7．已知复数满足，其中为虚数单位，，若<，求的取值范围．【难度】★★★【答案】8．已知为实数，是否存在实数使得复数和满足关系？若存在，求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由．【难度】★★【答案】存在，或．9．已知复数的实部大于零，且满足的虚部为2．（1）求复数；（2）设在复平面上的对应点分别为A、B、C，求的值．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．10．设，．求证：是纯虚数；求的取值范围．【难度】★★★【答案】11．复数在复平面内对应的点位于第象限．【难度】★★【答案】四12．以满足复数在复平面上对应的点为顶点，构成一个对称实轴的多边形，它的面积等于