弦切角-相交弦-切割线定理概要

O(A)BPOABPPA绕A旋转使PA与圆相切ABOPBO顶点在圆上一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角∠PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？PABm顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。BACABCABCABCABC下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？××××√ABC.O.OABC.OABCABPC.OD.OABPC.OABDPC从数学的角度看，弦切角能分成三大类已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC

是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。∴∠BAC＝∠Q(1)圆心O在∠BAC的外部∵∠BAQ＝∠ACQ＝90°∴∠BAC＝90°－∠CAQ∠Q＝90°－∠CAQ作⊙O的直径AQ，连结CQQ求证：∠BAC＝∠P︵︵弦切角等于所夹弧对的圆周角。已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC

是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。求证：∠BAC＝∠P︵︵(2)圆心O在∠BAC的边AC上∵AB是⊙O的切线，∴ ∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠P又∵AmC

是半圆，

∴∠P＝90°︵弦切角等于所夹弧对的圆周角。已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC

是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。求证：∠BAC＝∠P︵︵Q(3)圆心O在∠BAC的内部∴∠BAC＝∠P∠DAC＝∠Q∠P＝180°－∠Q证明:作⊙O的直径AQ，连结CQ∵∠BAC＝180°－∠DAC弦切角等于所夹弧对的圆周角。D∠1=

;∠2=;∠3=

;∠4=

。课堂练习：1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：OOOAAABBB30º70º25º312430º70º65º80º40º弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.在⊙Ｏ内取一点Ｐ，过点Ｐ作⊙Ｏ的两条弦ＡＢ，ＣＤ，点Ｐ分弦ＡＢ和ＣＤ为四条线段，你能证明ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ吗？连结ＡＣ，ＢＤ，∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｃ＝∠Ｂ∴△ＰＡＣ∽△ＰＤＢ∴ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ∴ＰＡ:ＰＤ＝ＰＣ:ＰＢ由圆周角定理的推论，得新课：•ＡＢＣＤＯＰ••Ｏ•ＯＯＯＯＯＯ

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即PT2=PA·PB已知：如下图，点P是⊙o外一点，PT是切线，T是切点，

PA是割线,点A和B是它与⊙o的交点。求证：PT2=PA·PBTPAB1证明:∠

1=∠B∠

P=∠P△PTA∽△PBTPA:PT=PT:PBPT2

=PA·PB连结TA，TB这也是今后做题的一个基本图形已知：点P为⊙O外一点，割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D（如下图）求证：PA∙PB=PC∙PD证明：连接AC、BD，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P∴△PBD∽△PCA∴PD：PA=PB：PC∴PA∙PB=PC∙PD割线定理（推论）：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段的乘积相等几何语言描述:∵PAB,PCD是⊙O的割线∴PA∙PB=PC∙PDPA∙PB=PC∙PDPA∙PB=PC∙PD点P从圆内移动到远外PC2=PA∙PBOBPCAAB交CD于点

=>

PA∙PB=PC∙PDPC切⊙O于点C点

=>

PA∙PB=PC²割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B

=>

PA∙PB=PC∙PD思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？结论都为乘积式几条线段都是从同一点出发都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）例2：（如图）A是⊙O上一点，过A切线交直径CB的延长线于点P，AD⊥BC，D为垂足。求证：

PB：PD=PO：PC。分析：要证明PB：PD=PO：PC很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明，所以可以通过证明PB•PC=PD•PO,而由切割线定理有PA2=PB•PC只需再证PA2=PD•PO，PA为切线所以连接PO由射影定理得到。１．如图：AP=3cm,PB=5cm,CP=2.5cm,求CD.练习•ＡＢＣＤＯＰ••Ｏ•ＯＯＯＯＯ2.如图：O是圆心，CP⊥AB,AP=4cm,PD=2cm,求OP•ＡＢＣＤＯＰＯＯＯＯＯＯＯ┍

练习：