《电力系统分析》课件第4章

第4章电力系统潮流分析与计算4.1

潮流计算方程——节点功率方程4.2

高斯—赛德尔迭代法4.3

牛顿—拉夫逊法4.4

PQ

解耦法4.5

潮流计算的手工计算方法

电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析与控制的基础，同时也是安全性分析、稳定性分析、电磁暂态分析的基础(稳定性分析和电磁暂态分析需要首先计算初始状态，而初始状态需要进行潮流计算)。其根本任务是根据给定的运行参数，例如节点的注入功率，计算电网各个节点的电压、相角以及各支路的有功功率和无功功率的分布及损耗。

潮流计算的本质是求解节点功率方程，系统的节点功率方程是节点电压方程乘以节点电压。要计算各支路的功率潮流，首先根据节点的注入功率计算节点电压，即求解节点功

率方程。节点功率方程是一组高维的非线性代数方程，需要借助迭代的计算方法来完成。简单辐射型网络和环形网络的潮流估算是以单支路的潮流计算为基础。

本章主要介绍电力系统节点功率方程的形成，潮流计算的数值计算方法，包括高斯迭代法、牛顿拉夫逊法以及PQ解耦法等。介绍单电源辐射型网络和双端电源环形网络的潮

流估算方法。

4.1潮流计算方程———节点功率方程

4.1.1支路潮流所谓潮流计算就是计算电力系统的功率在各支路的分布、各支路的功率损耗以及各节点的电压和各支路的电压损耗。由于电力系统可以用等值电路来模拟，从本质上讲，电力系统的潮流计算首先是根据各个节点的注入功率求解电力系统各节点的电压，当各节点的电压相量已知时，就很容易计算出各支路的功率损耗和功率分布。

假设支路的两个节点分别为k

和l

，支路导纳为ykl

，两节点的电压已知，分别为̇Uk和̇U

l

，如图4-1所示。图4-1支路功率及其分布

从节点k

流向节点

l的复功率为(变量上面的“-”表示复共扼)

从节点l流向节点k

的复功率为:.

功率损耗为

因此，潮流计算的第一步是求解节点的电压和相位，根据电路理论，可以采用节点导纳方程求解各节点的电压。.

4.1.2节点功率方程

根据电路理论，求系统各节点的电压，需要利用系统的节点导纳方程。

如图4-2所示的电网络，有N

个节点，假如已知各节点的注入电流源的电流，以及各支路的支路导纳，根据节点导纳方程求出电网各节点电压

．

其中．图4-2电网络示意图

为电网络的节点导纳矩阵，Y

kk(k=1，2，…N)为自导纳，是所有与k节点连接支路导纳之和，Ykl

(k

≠l)为互导纳，是所有连接k

和l节点的支路导纳之和的负值。

U

=[U1

，U2

，…，UN

]T

为各个节点的电压相量，

IS=[IS1，IS2，…，ISN

]T为注入到各节点的总电流。

1.节点功率方程

计算各节点电压，需要系统参数及节点导纳矩阵以及节点注入电流源的电流。而电力系统中节点的注入电流未知，已知的是各节点注入功率。因此需要将节点电压方程转化为

节点功率方程。

式(4-4)中第k(k=1，2，…，N

)个节点的方程可以表示为．

式(4-5)两端乘以Uk

，得到

如果电力系统中各节点注入的复功率已知，那么就可以用式(4-6)求解各节点电压。然而实际情况并非如此，已知的条件是:有些节点注入的复功率S已知，有一些节点的电压幅值和注入有功功率已知，有些节点电压和相角已知。根据这三种不同的情况，电力系统中各节点分为三种类型:PQ节点、PU

节点和Uδ

节点。.

所谓PQ

节点，就是该节点注入的复功率S

是已知的，这样的节点一般为中间节点或者是负荷节点。

PV

节点，指该节点注入节点的有功功率P

和电压幅值U已知，这样的节点通常是发电机节点。

Vδ

节点指的是该节点的电压幅值和相角是已知的，这样的节点通常是平衡节点，在每个局部电网中只有一个这样的节点。

当然，PQ节点和PV

节点在一定条件下还可以互相转化，例如，当发电机节点无法维持该节点电压，运行于功率极限时，发电机节点的有功功率和无功功率变成了已知量，而电压幅值则未知，此时，该节点由PV

节点转化为PQ

节点。再比如某负荷节点运行要求电压不能越限，当该节点的电压幅值达到极限，或电力系统调压要求该节点的电压恒定，此时该负荷节点就由PQ

节点转化为PV

节点。

假如全系统有N个节点，其中有M个PQ

节点，N-M-1个PV

节点，1

个平衡节点，每个节点有四个参数:电压幅值U

和相位角δ(用极坐标表示电压，如果用直角坐标表示电压相量则是e和f)、注入有功功率PS和无功功率QS

，任何一个节点的四个参数中总有两个是已知的，因此N个节点，有2N

个未知变量，N

个复数方程(即2N个实数方程，实部和虚部各N

个)，通过求解该复数方程可得到另外2N个参数。这就是潮流计算的本质。

但在实际求解过程中，由于求解的对象是电压，因此，实际上不需要2N

个功率方程，对于M

个PQ

节点，有2M个功率方程(M

个实部有功功率方程，M

个虚部无功功率方程)；对于N-M-1个PV

节点，由于电压有效值U已知，因此只有N-M-1个有功功率方程；对于平衡节点，由于电压和相角已知，不需要功率方程。因此总计有2M+N-M-1=N+M-1个功率方程。如果电压相量用极坐标表示，即̇Uk=Uk

∠δ

k

，则M个PQ

节点有2M个未知数(M个电压有效值，M

个电压相角)，N-M-1个PV节点有N-M-1个未知数(电压有效值已知，未知数为电压相角)，平衡节点没有未知数，因此未知数的个数也是N+M-1个，与方程数一致。如果复电压用直角坐标表示，̇Uk=ek+jfk

，则有2(N-1)个未知数，还需要增加N-M-1个电压方程，即̇U2

k=e2k+f2k

。

2.用直角坐标表示的电力系统节点功率方程

对于PQ节点，已知注入节点的功率P

和Q

，将Ykm

=G

km+jBkm

和̇Uk

=ek+jfk

代入节点功率方程的复数表达式中，可以得到有功功率和无功功率两个方程．

式(4-7)中PSk

和QSk

为注入到节点k

的净功率，即注入功率和消耗功率的代数和。PGk

、QGk表示注入的功率，PLk

和QLk

为消耗的功率。

对于PV节点，除了有功功率方程外，因为已知该节点的电压幅值，还有一个电压方程:．

式(4-7)可以抽象地表示为

式(4-8)可以抽象地表示为

因此，对于一个具有N

个节点的电力系统，其中M

个PQ

节点，N-M-1个PV

节点，1个平衡节点，有方程如下..

N

个节点中，平衡节点的电压幅值和相角已知，即其横分量和纵分量已知，因此平衡节点不参与计算。剩余N-1个节点的电压的横分量和纵分量未知，共2N-2个未知数。2M

个PQ

节点方程，2

(N-M-1)个PV节点方程，共计2N-2个方程。

解式(4-11)，可得到N

个节点的电压相量，根据各个节点的电压相量和已知注入的功率，可以计算出各个支路的潮流分布，及各个支路的功率损耗。

3.极坐标表示的节点功率方程

对于PQ节点，已知注入节点的功率P

和Q

，将Ykm

=G

km+jBkm

和̇Uk

=Uk

∠δk代入节点功率方程的复数表达式中，可得到实部和虚部两个方程

式(4-12)中，U

表示电压幅值，相角δkm=δk

-δm

。．

对于PV

节点，节点的电压幅值已知，只有有功功率方程而没有无功功率方程。同样，式(4-12)可以抽象的表示为

因此，对于一个具有N个节点的电力系统，其中M个PQ

节点，N-M-1个PV节点，1个平衡节点，有方程如下..

除了平衡节点外，N-1个节点中，有M

个PQ

节点的电压幅值和相角都是未知数，N-M-1个PV节点的相角为未知数，因此共有2M+N-M-1=N+M-1个未知数，2M+N-M-1=N+M-1个方程。

式(4-14)中，可以把N-1个有功功率方程放在一起，M

个无功功率方程放在一起，即

求解式(4-15)，就可以得到各节点的电压幅值和相角，进而可以计算出各支路潮流分布和功率损耗。.

4.1.3小结

潮流计算是计算电力网各个支路的功率潮流分布和功率损耗，同时也计算各支路的电压损耗。首先要求出电力网各节点的电压相量，根据电网络理论，节点电压通常采用节点导纳方程来求解，已知电网络的节点导纳矩阵和各节点注入电流源的电流，然而通常电力系统各节点的注入电流是未知的，已知的是各个节点的注入功率，因此需要将节点电压方程转化为节点功率方程。

实际电力系统的节点注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率P和无功功率Q称为PQ

节点；有的已知注入有功功率P

和节点电压有效值U，称为PV

节点；有的已知节点电压U

和相角δ，称为平衡节点或Uδ

节点。无论哪种类型节点，每一个节点均含有4个参量P、Q、U、δ(或e

、f

)并已知其中的两个，因此可以利用节点功率方程(4-6)求解出另外两个参量。假设系统有N

个节点，必然有2N

个未知数，同样有2N

个节点功率方程式(4-12中的实部和虚部各N

个)。

实际上求解的目标是电压，对于PV节点和Vδ

节点来说，前者电压有效值已知，后者电压相量已知，因此不存在2N个未知数，当然也不需要2N

个方程。假设系统有N

个节点，M个PQ

节点，N-M-1个PU节点1个平衡节点，对于直角坐标表示的节点电压来说，有2(N-1)个未知数，2M+N-M-1个功率方程，只需要补充N-M-1个电压方程就可以了；对于极坐标表示的电压来说，只有N-1个δ的未知数，M

个U的未知数，因此只需要N+M-1个功率方程。

潮流计算是求解一组非线性代数方程组，即

其中，X代表系统状态，包括电压U和相角δ；C代表参数，包括电导G和电纳B；

U表示系统激励，即注入的功率。

求解式(416)多维非线性代数方程组，需要利用计算机进行辅助迭代计算，即先选定一个初值，然后不断迭代，逐渐逼近真实解。采用的方法有高斯—赛德尔迭代法，牛顿—拉夫逊法和PQ解耦法。.

4.2高斯—赛德尔迭代法4.2.1基本原理为了便于理解n

维方程组的迭代求解方法，先从一元非线性方程的求解开始。假设有一维方程f(x)=0，高斯法的基本原理是先将方程转化为

x

=g(

x)(4-17)

图4-3高斯赛德尔叠代法的计算流程

上述解方程的方法称为高斯赛德尔迭代法。迭代求解的过程可以这样来理解：

x

=g(x)的解可以认为是两曲线y=x

和y=g(x)交点的横坐标x*，首先选定一个初值x

[0]，g

(x[0])与斜线y

=x

的交点横坐标即为迭代后的新解x[1]，g

(x[1])与斜线y

=x

交点的横坐标即为迭代后的新解x

[2]，如此围绕交点往复循环，不断地逼近方程的真实解，如图4-4所示。图4-4高斯赛德尔迭迭代法的几何解释

高斯赛德尔迭代法可以推广到n维非线性代数方程组，假设n

维方程组为

首先将式(4-20)转化为.

选定一组初始值X[0]=[x[0]1，x

[0]2，…，x[0]n]T

，代入式(4-21)，得到一组新值X[1]=g

(

X[0])，不断迭代，循环往复，第k次迭代结果为

X[k+1]=g

(X[k])(4-22)

其中第j

个方程为

直到相邻两次迭代结果的最大误差不超过允许的误差为止，即.

为了提高高斯———赛德尔迭代法的收敛速度，赛德尔提出将已经迭代出的新值代替旧值参与迭代计算，如在第

k次迭代中，第j个方程为

第1至j-1个元素已经迭代出k+1次的值，因此代替第k

次的值参与第

j个元素的迭代，就可以提高收敛速度。.

4.2.2电力系统潮流计算的高斯—赛德尔迭代法

电力系统潮流计算需要求解节点功率方程，其中第m(m=1，2，…，N

)个节点功率方程为

将式(4-26)变换为x=g(x)的形式，可以得到如下方程.

根据高斯赛德尔迭代法，首先选定电压相量的初值，对于PQ节点，不仅需要给定电压幅值的初值，还要给出相角的初值(设为零)。

假如第m

个节点为PQ

节点，第k

次迭代公式为(第m

个节点以前的节点第k

次迭代已经完毕，因此用

k+1次的值取代k

次的值，而在第m

个节点以后的节点尚未进行第k次迭代).

对于PV

节点，选定的电压初值为给定的电压，相角初值设为零，注入该节点的无功功率未知，因此第k

次叠代时，首先按照下式计算注入PV节点(假设第m个节点是PV节点)的无功功率

在迭代过程中，任意节点的电压和无功功率必须满足不等约束条件.

如果在迭代过程中，PQ

节点的电压幅值超出允许范围，则该节点电压幅值就固定为允许电压的上限(如果超出上限)或下限(如果越过下限)，PQ

节点就变为PV

节点继续进行迭代。同样，对于PV

节点来说，如果在迭代过程中，无功功率Q

超出了允许范围，则PV节点就变为PQ

节点继续进行迭代。高斯赛德尔迭代法的计算过程如下：

第一步：设置初始值，对于PQ节点，由于其电压相量的幅值和相角均未知，因此初始电压相量的幅值可以设定为各点的额定电压，相角选择为零；对于PV节点，由于其电压相量的幅值已知，因此初始电压相量的幅值设定为已知电压，初始相角设定为零。

第二步:对于PQ

节点，直接将设定的初始值代入，用式(4-28)求出下一次迭代的电压值，判断是否越限。如果越限，则取其限值(越过上限用上限值，越过下限则用下限值)，

该节点在下一次迭代过程中转化为PV

节点;对于PV

节点，利用式(4-29)求出注入的无功功率，判断无功功率是否越限。如果越限则采用上限值或者下限值，下一次迭代时该节点转化为PQ

节点，将求得的注入无功功率和已知的有功功率代入式(4-28)求解下一次迭代的电压相量值。

第三步:判断误差是否满足要求，用第

k次迭代的结果和k-1次迭代的结果进行比较，如果其最大的误差满足事先设定的误差要求，则输出计算结果;如果不满足要求，则返回第二步继续迭代。其计算流程图如图4-5所示。图4-5高斯—赛德尔迭代法求解电力系统潮流的计算流程图

4.3牛顿—拉夫逊法

4.3.1牛顿—拉夫逊法的基本原理先考虑一个一元非线性方程f

(x)=0的求解问题，假设x0是该方程的近似解，与真实解之间的误差为Δx

，那么有

f

(x

0+Δx)=0(4-30

)将式(4-30)展开成一阶泰勒级数

f(x

0

+Δx)≈f

(x

0

)+f'(x

0

)Δ

x=0(4-31)

图4-6牛顿拉夫逊法计算流程

一元非线性方程迭代求解过程的几何意义如图4-7所示。图4-7牛顿拉夫逊法的几何解释

上述求解一元非线性代数方程的方法可以推广到n

维非线性代数方程的求解。非线性代数方程式(4-20)可以表示为矩阵形式

F(X)=0(4-33)

假定X

0

是该方程组的近似解，与真实解之间的误差为ΔX，在X

0

处展成一阶泰勒级数

其中，

J称为雅克比矩阵。式(4-34)称为修正方程，由修正方程可得到修正值ΔX.

式(4-34)计算过程与一维方程的牛顿法求解类似，首先给定初始值X[0]=[x[0]1，x[0]2，…，x

[0]n]T

，并计算出在初始值处的雅克比矩阵J0

，利用式(4-36)计算初始值的修正值ΔX

[0]=-J

-10

F(X[0])，根据这个差值可以得到修正后的解X[1]=X

[0]+ΔX[0]。如此循环往复，在第k次迭代时，计算雅克比矩阵Jk

，根据式(4-36)计算修正值ΔX

[k

]=-J-1k

F(X

[k])，得到第k+1次修正后的解：X[k

+1]=X

[k]+ΔX[k]，重复上述过程，直到误差满足要求为止。

可见，牛顿拉夫逊法的关键在于求解雅克比矩阵J，由于直角坐标表示和极坐标表示电压相量的节点功率方程有所不同，因此其雅克比矩阵也有很大的差异。

4.3.2基于直角坐标的牛顿—拉夫逊法

假设系统有N个节点，其中M

个PQ节点，N-M-1个PV

节点，1个平衡节点，则M个PQ

节点方程为(假设1号节点至M号节点为PQ

节点)

.

N-M-1个PV节点的方程为(假设第M+1号节点至第N-1号节点为PV

节点)：

其中，

ΔUk

只代表一个函数，并非代表电压差;PSk和QSk

为注入到节点k

的净功率，即注入到该节点的发电功率减去该节点的负荷功率。.

PQ

节点的方程是有功功率和无功功率方程，

PV

节点方程是有功功率方程和电压方程，平衡节点为参考节点，电压已知，没有方程，但其电压参与节点功率计算。未知变量是除了平衡节点外的各节点电压相量的横分量和纵分量，共有2(N-1)个未知数，

2(N-1)个方程。

直角坐标下牛顿—拉夫逊法的修正方程为.

其中，..

基于直角坐标的牛顿—拉夫逊法求解潮流计算的步骤如下：

第一步：设定初值，对于PQ

节点，其电压幅值的初值设定为该点的额定电压，相角设定为零，因此，电压实部设定为额定电压，虚部设定为零。对于PV

节点，电压幅值已知，因此该节点的电压相量实部设定为已知的电压幅值，虚部设定为零。

第二步：求出PQ

节点有功功率和无功功率增量ΔP

(k)、

ΔQ(k)，以及PV节点的有功功率和电压幅值的增量ΔP

(

k)和ΔU(k)(公式(4-38))，同时求出相应的雅克比矩阵J(k)。

第三步：求解修正方程式(4-39)，得到电压的实部和虚部的修正值Δe(k)和Δf(k)，据此修正设定的电压初始值。

第四步：判断误差是否满足要求，如果满足要求，则输出计算结果，否则就令k=k+1，转入第二步继续迭代。

4.3.3基于极坐标的牛顿—拉夫逊法

假设系统有N个节点，其中M

个PQ

节点，

N-M-1个PV

节点，

1个平衡节点。则M

个PQ

节点方程为(假设第1号节点至第M

号节点为PQ

节点).

N

-M-1个PV

节点只包含有功功率方程(假设第M+1号节点至N-1号节点为PV

节点)

其中PSk

和QSk

为注入到节点k

的净功率，即注入到该节点的发电功率减去该节点负荷功率。PQ

节点既有有功功率方程，也有无功功率方程，未知数为电压幅值和相角;而PV节

点则只有有功功率方程，未知数只有电压的相角。因此，极坐标下的节点功率方程共有2M+(N-1-M)=N+M-1个未知数和方程。.

把上述方程顺序调整一下:N-1个有功功率方程放在一起，

M

个无功功率方程放在一起，方程可以写为.

极坐标下牛顿—拉夫逊法的修正方程为:.

式(4-43)中，为使雅克比矩阵的各元素具有相似性，并为PQ解耦法作铺垫，将雅克比矩阵中对电压的偏导乘以电压值，电压增量除以电压值，经过上述处理后修正方程不变。将式(

4-43)中的矩阵分为两部分:

ΔU/U=[ΔU1/U

1

，…，

ΔU

m

/U

m

]T

，并非是矩阵相除;分块矩阵N为(N-1)×(N

-1)阶矩阵，

H为(N

-1)×M

阶矩阵，

M

为M×(N-1)阶矩阵，

L

为M×M

阶矩阵。上述分块矩阵的元素分别表示如下..

基于极坐标下的牛顿拉夫逊法的潮流计算过程如下：

第一步：设定初值，对于PQ

节点，电压幅值的初值设定为该点的额定电压，相角设定为零；对于PV

节点，电压幅值已知，只设定相角的初值，一般设为零。

第二步：求出

PQ节点有功功率和无功功率增量ΔP

(k)、ΔQ(k

)，以及PV

节点的有功功率和电压幅值的增量ΔP

(k)ΔU(k)，同时求出雅克比矩阵J(k)。

第三步：求解修正方程式(4-43)，得到电压幅值和相角的修正量ΔU(k)和Δδ

(k

)，据此修正设定的电压初始值。

第四步：判断误差是否满足要求，即

‖Δδ

(k)‖<ε1

、‖ΔU(k)‖<ε2

。如果满足要求，则输出计算结果，否则令k=k+1，转入第二步继续叠代。

4.4PQ解耦法

通过上面的分析和论述，可以发现，牛顿—拉夫逊法的收敛速度很快，但计算量很大，因为每一次迭代都必须重新计算雅克比矩阵，并求解修正方程。因此，为了减少计算量，根据基于极坐标的牛顿—拉夫逊法的特点，建立PQ解耦法的潮流计算方法。

观察基于极坐标下的牛顿—拉夫逊法潮流计算的电压修正方程中的雅克比矩阵，根据电力系统在稳态运行时的实际情况，可知，Gkj≪Bkj，δkj≈0，

Psk≪U2

kBkk

，

Qsk≪U2

kBkk

，因此，我们可以近似的认为：

Nkk=Lkk

≈U2

k

Bkk

;Nkj=Lkj≈UkUj

Bkj;

Hkk

=Mkk

≈0;Hkj=Mkj≈0

这就是说，各个节点电压相角的变化主要与注入净有功功率的变化有关，各个节点电压幅值的变化主要与注入的净无功功率的变化有关：

ΔP=-NΔδ；

ΔQ=-L

ΔU

/U

，将这两个修正方程可以表示为：.

式(4-45)进一步表示为

式(4-46)可简写为

ΔP/U=-B(UΔδ

)

(4-47)

其中，矩阵B

为全系统除了平衡节点以外的节点电纳矩阵。注：ΔP/U

和UΔδ表示不是很严谨，它们仅代表由ΔPk

/Uk

和Uk

Δδk

组成的列向量。

同理可得

ΔQ

/U=-B′

(ΔU

)(4-48)

其中，矩阵B′

为所有PQ节点以外的节点电纳矩阵。注：

ΔQ/U仅代表由ΔQk

/Uk

组成的列向量。

求解修正方程式(4-47)和(4-48)时，只需提前将节点电纳矩阵B

和B′利用高斯消去法变换成上(或下)三角矩阵，并记录变换过程就可以了。与牛顿拉夫逊法相比，PQ

解耦法每一步的迭代过程都大大减少了工作量。

PQ解耦法的潮流计算步骤如下：

(1)准备工作，形成全系统(平衡节点除外)的节点电纳矩阵B

，以及其子矩阵———全部PQ节点的节点以外电纳矩阵B′，然后利用高斯消去法形成上(或者下)三角矩阵并记录变换过程。

(2)赋初值U(0)和δ(0)，将全系统PQ节点的电压幅值设置为额定电压，全系统电压节点的相角(平衡节点除外)设置为0。令迭代次数k=0。

(3)根据设置的电压和相角初始值计算[ΔP/U](k)以及[ΔQ/U](k)，根据节点导纳矩阵的上/下三角矩阵求解修正方程式(4-47)和(4-48)，得到Δδ(k)和ΔU(k)。并根据修正值修正设定的电压初始值。

(4)判断误差是否满足要求，即

|Δδ

(k))|<ε1

、|ΔU(k)|<ε

2

。如果满足要求，则输出计算结果，否则令k=k+1，转入第二步继续迭代。

PQ

解耦法简化了每一步迭代的计算量，迭代得到的修正值与牛顿—拉夫逊法的修正值相比误差要大，因此，虽然每一步的迭代计算量减少了，但代价是增加了迭代次数。PQ解耦法最终的计算精度不受影响，因为计算精度取决于最终的误差要求ε

1

和ε

2

，如果误差要求和牛顿拉夫逊法一样的，则二者最终计算结果精度相同。

4.5潮流计算的手工计算方法

大约半个多世纪以前，数字计算机还没有出现，潮流计算都是采用手工的计算方法。虽然潮流计算的本质是解电力系统的节点功率方程，然而手工计算方法是不可能采用解节点功率方程的方法来进行潮流计算的。手工潮流计算是根据一条简单支路的电压和功率传输关系，将较为复杂的电力系统分解为若干条简单支路来进行潮流计算的。

因此任何复杂的潮流计算都是从一条简单支路的潮流分布和电压降落的计算开始的。对于环形网络，首先将其解开为双端电源网络，然后将双端电源从功率分点解开，成为两个辐射形网络，对其进行近似的潮流估算。

图4-8简单支路示意图

.

因此首端(节点1)的电压为

流过节点1的复功率为.

两端电压的关系可以由图4-9所示的相量图中得到(以̇U

2

为参考相量)，

φ

为末端电压和电流的夹角，称为功率因数角。从相量图中，不难得到阻抗Z

引起的电压降落的横分量和纵分量分别为.

可得首端(节点1)的电压幅值和相角分别为

如果已知首端(节点1)的电压和流入的功率，求末端的电压和流出的功率，其基本原理同上，读者可自行推导分析。.图4-9两端电压相量示意图

.

由于潮流计算通常是在电力系统的稳态运行条件下，此时节点电压与平均额定电压差别不大，因此，在手工近似计算中，将上述的叠代过程只进行一次。即先设定未知电压为

平均额定电压，利用式(4-51)，根据末端的功率计算支路的功率损耗，然后利用式(4-53)计算出首端功率，再利用首端功率和首端电压计算系统的电压损耗，最后计算出末端电压。

通过这样处理，辐射形网络就化简为若干简单支路的级联，可以利用简单支路的潮流和电压计算方法逐