2024-2025学年云南省临沧市部分学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年云南省临沧市部分学校高二(下)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合/={-2,-1,0,1,2},^={X|X2+X-6<0},则AD8=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2)

2.若复数2+山的模为则实数a的值为()

A.3B.±3C./3D.±AA3

3.曲线y=7+Q%在久=1处的切线斜率为2,则。=()

A.-1B.1C.0D.e

4.已知4B,C,。是平面中四个不同的点，则“屈=2前—前(2>1)”是“4C,。三点共线”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

-1

5.记％为等比数列｛&J的前几项和.若即=7a3a4=则S4=()

A.39B.156C.yD.争

6.已知”0,函数/(久)龙:H«1在R上是单调函数，贝b的取值范围是()

A.(0,1)B.[1,1)C.(1,2)D.[1,2)

7.若数据久1，%2>久3和数据力4，%，久6的平均数均为X，方差均为S?,则数据X2,X3,X4,X5,分的方

差为()

A.vB.s2C.2s2D.4s2

4

8.若仇％+y-2>"y+%-2,贝“()

A.e->?砂>iB.靖>>ex2>1C.e%2>1>*D.1>u，>

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.将函数/'(X)=sin(x+今的图象向右平移汐单位长度，得到函数g(x)的图象，贝1()

A.g(x)的最小正周期为2兀B.g(x)是偶函数

C.g(x)的图象关于直线x=Y轴对称D.g(x)在(冶()上单调递增

10.若随机变量X〜N(6.1,0.01),y〜N(6.3,0.04),则()

A.P(X<6,1)=P(Y>6.3)

B.P(X>6,2)<P(Y<6,1)

C.P(X>6.2)=P(Y<6,1)

D.P(6VXV6.3)<尸(6.1<Y<6,7)

11.已知。为坐标原点，点P(%o,%))在曲线C：(x2+y2)2-y(10x2+y2)=0±,则下列结论正确的是()

A.曲线C关于y轴对称B.y0>0

C.y°W等D.|OP|的最大值为等

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知sina=aE(0,,则cos(a+J)=.

13.已知。为坐标原点，双曲线C：=l(a>0,6>0)的右焦点为F,左顶点为4过F作C的一条渐近

线的垂线，垂足为P.若|P4|=，司PO|,贝UC的离心率为.

14.如图，在四面体A—BCD中，AB=AD=CD=1,BC=2,AC=^2,平A

面ABD1平面BCD,则四面体A-BCD外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知抛物线C：V=2p久Q>0)的焦点为尸，4(4,爪)0>0)为C上一点，S.\AF\=5.

(1)求p;

(2)若点B(-2,l)在椭圆7：冒+，=1缶>6>0)上，且直线4B与椭圆7相切，求椭圆T的标准方程.

16.(本小题15分)

△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知s出24+cos24=1,b=l.

(1)若c=2y/~2,求a；

(2)若△ABC为钝角三角形，求AABC面积的取值范围.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，△4CD为正三角形，AB1BC,PA=AB=1,PB=^,CD=2,PD=

/5.

(1)证明：PA1底面力BCD.

⑵过点4作平面PBC的垂线，指出垂足H的位置，并求四面体ABCH的体积.

(3)求二面角B-PC一。的正弦值.

18.(本小题17分)

小明参加答题闯关游戏，需要从4B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题

和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对4B两个题库中题目的概率依次为I，，每次回答

问题是否正确相互独立.

(1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择4题库的题目作答的概率为引

①求小明恰好获得100元奖金的概率；

(苴)求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率.

(2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回

答哪个题库中的题目？

19.(本小题17分)

(1)证明：当1〈光<2时，/sin竽+x—2>0.

(2)若VxG(0,2),Inx+1-^cosy-a>0,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为a={-2,-1,0,1,2},B=[X\X2+X-6<0}={x|(x+3)(x-2)<0}={x|-3<x<

2}，

所以4CB={-2,-1,0,1}.

故选：c.

解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求集合.

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：复数2+山的模为政，

贝!||2+ai\=V4+a2=解得a=±73.

故选：D.

根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由y=婷+ax在x=1处的切线斜率为2,

可得y'=3%2+a,且y'|x=i=3+a=2,可得a=-1.

故选：A.

对函数求导，结合导数的几何意义列方程求参数值.

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：因为荏=4前一前，所以说+前=而=4而，

又2>1,AB,前有公共点，所以4C,。三点共线，充分性成立；

若4,C,。三点共线，则存在实数k40使得前=k而，即荏=-而，

当k<1时不满足；I>1,所以必要性不成立.

即“同=4》—前(4>1)”是“力，C,。三点共线”的充分不必要条件.

故选：力.

根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解.

本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：等比数列｛&J中，ar-^,a3a4-a5,

设等比数列｛5｝的公比为q,

由a3a4=得a"•=a^q5=a-^q4,所以的勺=1,

i4

所以q=5,54=/等=号.

1-33

故选：D.

利用等比数列通项公式基本量计算出q=5,利用等比数列求和公式得到答案.

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意，函数在R上是单调函数，

对于/(久)=a%a,a^o,易得其在[1,+8)上单调递增，故函数在R上单调递增，

则有｛彳jj，一”1,gpl<a<2,即a的取值范围为由2).

故选：D.

利用相关幕函数及复合函数性质得“久)=ax%口力0,在[1,+8)上单调递增，结合已知列不等式求参数

范围.

本题考查函数单调性的性质和应用，涉及哥函数的性质，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：因为数据修，*2,犯和数据如，与，绘的平均数均为3方差均为s2,

222222

所以s2=:[01-X)+(x2-X)+(x3-x)]=|[(x4-X)+(X5-x)+(x6-x)],

X

所以数据％1，比2，*3，光4，x5'久6的平均数为二=X,

1———1

所以数据*1，x2,X3,X4,X5,比6的方差为d[(%1—x)2+(乂2—x)2+…+(%6—久)2]=d(3s2+3s2)=

故选:B.

根据方差的计算公式即可求解.

本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：根据题设仇久一久V>伍y-y-2,

令函数f(x)=bur-%-2,并且定义域x>0,那么导函数/'(久)=：+|>0,

因此函数/(久)在区间(0,+8)上单调递增，因此x>y>0,

因此/>xy>0,那么e*z>exy>1.

故选：A.

构造/'(x)=伍久-久-2并利用导数研究函数的单调性得久>y>0,结合不等式的性质有/>xy>0,再由

指数函数单调性即可得.

本题考查导数的综合应用，属于简单题.

9.【答案】AD

【解析】解:将函数/(久)=sin(x+学的图象向右平移3个单位长度，得9(久)=sin(x+3)，

对于力，函数g(x)最小正周期为2兀，故A正确；

对于8,因为g(-K)=sin(-rv+9力g(x),所以g(x)不是偶函数，故2错误；

对于C,因为g(Y)=0,所以函数g(x)的图象关于点(-也。)对称，故C错误.

对于0,当一然x(狎，Y<龙+K3所以函数9(%)单调递增，故。正确.

故选：AD.

由图象平移得函数g(x)解析式，根据正弦型函数性质依次判断即可.

本题主要考查了三角函数图象的平移变换及正弦函数性质的应用，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：根据题意可知，X〜N(6.1,0.01),则“1=6.1,/=0.1,由丫〜N(6.3,0.04),则取=6.3,

(72=02

1

4：由p(x</)=]=p(y>〃2)，即P(X<6.1)=p(y>6.3),对；

由P(X>Ml+©)=P(y>“2+02)=P(y<〃2-久)，即P(X>6.2)=P(y<6.1),B错,C对；

D-.由P(%—q<X<%+2/)=P(〃2—<丫<〃2+20)，即P(6<X<6.3)=P(6.1</<6.7),

错.

故选：AC.

根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误.

本题考查了正态分布三段区间的概率性质，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A,点P（%o，y0）关于y轴对称的对称点为P'（-%o，yo）,

2

满足[（一&）2+端2_y0[10（-%0）+城=0,

即（或+光y-y（）（10亚+%）=0,所以选项A正确；

对于选项B,（就+yl）2-%（10好+光）=0=>y（）（10好+光）=（欧+羽>>o,

又10亚+据N0,所以y（）NO,故选项5正确；

对于选项C,令x=YCOS。,y=rsind,由（久2+力）2-yq。/+、2）=。，

所以厂4—rsm0（lOr2cos20+r2sin20）=0（rW0）,

所以丁=sin3（10cos29+sin20）,

则y=sinO•sin9（10cos20+sin20）=sin20•（lOcos20+sin20）,

令t—sin20,cos20=1—t,

所以y=10t-9t2,当"葩寸，有、3%=靠所以选项。错误；

对于选项D,\OP\=r=sin0（lOcos20+sin20）=s讥6（10—9sin20）,

令人=sin。,所以丁=4（10-9/12）,求导得/=io-27",

令/=o=a=等（负数舍去，若代入负数，贝bvo）,

所以r在（0,等）单调递增，在（粤,1）单调递减，

所以加ax=等，所以选项。正确•

故选：ABD.

对4（-%。小。）也满足；

对B,变形.（10%,+据）=（%o+据尸>0可判断；

对C,换元％=rcos3,y=rsind,然后得到y=sin20-（lOcos2^+sin20）,进一步换元t=sin20,可判

断；

对。，|OP|=7=si7i0（10—9s仇2。），2=sind,求导可得.

本题考查曲线与方程的关系，以及导数的应用，属于中档题.

12.【答案】手

O

【解析】解：由题意可得cosa=V1-sin2a=

所以cos（a+力=苧（cosa-sina）=苧-1）=

故答案为：咒上.

利用同角的三角函数关系式与和角公式计算即得.

本题考查了同角三角函数基本关系式以及两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

13.【答案】2

【解析】解：由。为坐标原点，双曲线C：祗—，=l(a>0,6>0)的右焦点为尸，左顶点为2,

可得：2(—a,0),F(c,0),双曲线的渐近线为y=±3K，

如图：

be

设点P在y="上，则仍故|PO|=，。2一炉=0,

所以|P4|=，Wa，则COSNPOA=驾盥禽皿=一,故〃。4=子,

ZrCzJC//11J

所以“。?=或故5=tang=，3,则椭圆离心率为e=卜+(.=2.

故答案为：2.

应用点到直线的距离得|PF|=b,结合a,b,c的关系得|PO|=a,在△P2。中应用余弦定理得NPQ4=

穹，进而有NPOF=g即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率.

本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题.

14.【答案】57r

【解析】解：作出示意图如下:

取BD的中点E,连接4E,CE,

易知AE1BD,因为平面4BD_L平面BCD,

因为平面ABDn平面BCD=CD,所以4E_L平面BCD,

设BE=x,贝3配=i_cos乙CBD=/=乎

2BC-BD8x

2

所以CE2=BE2+BC2_2BE•BCcos乙CBD=x+4-2-2x・空空=£-7,

8%2

因为心=g+。£2,所以1一%2+|一%2=2,解得X=苧，贝1函=提

所以BD=2x=C，所以BD2+82=BC2,所以BD1CD,

取BC的中点H,则“为△BCD外接圆的圆心，

过点H作直线。垂直于平面BCD,

设△4BD外接圆的圆心为F,过尸作直线"垂直于平面2BD,记4n%=G,

则G为四面体力-BCD外接球的球心，

又劫尸二赤南二亚二？，解得4F=1,

AB

[1

贝IjHG=EFAF-AE=1-^=

所以四面体A-BCD外接球的半径为BG=y/BH2+HG2=苧，

所以所求4兀-BG2=57r.

故答案为：57r.

根据题意取BD的中点E,连接2E,CE,分别找出为△BCD外接圆的圆心H,△4BD外接圆的圆心为尸，再

结合外接球的性质可得BG即为外接球半径，即可求解.

本题考查四面体的外接球问题，属中档题.

15.【答案】2；

【解析】（1）因为4（4,爪）（爪＞0）为C上一点，且[4尸|=5,

所以|4F|=4+1=5,

解得p=2；

（2）由⑴得4（4,4）,

所以直线4B的斜率k=W=；，

则直线力B的方程为久一2y+4=0,

(《已=

联立a2b2,消去工并整理得(482+a2)y2—16b2y+16Z)2—a2b2=0,

、%—2y+4=0

止匕时/=(16Z?2)2—4(462+a2)(16h2—a2/?2)=0,化简得小+4/)2=16,①

因为点8(-2,1)在椭圆T上，

所以、=L②

联立①②，

解得彦=8,b2=2.

则椭圆T的标准方程为《+号=L

oZ

(1)利用抛物线焦半径|”|=4+垓=5,即可求解；

222

(2)求出直线4B的方程为％-2y+4=0,然后与椭圆联立后消去工后得(4庐+a)y-16b2y+16b-

a2b2=0,则4=(16^2)2一4(铀2+42)(16匕2-a2b2)=0,求得42+4炉=16,再结合点B在椭圆7上即

可求解.

本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

16.【答案】a=后；

(0,》吗+8).

【解析】(1)因为sin2A+cos2A=1,所以2sizh4cos/+1—2sin2A=1,&flsinAcosA=sin2A.

因为/esinAH0,所以sin/=cosA,及汝几4=曳4=1,所以/=g.

因为b=1,c=2V~2,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA=1+8—2x2A/-2COS7=5,

所以a=V-5;

(2)因为b=1,i4=p所以S-BC=讥/=gc.

由正弦定理得：。=等=机誓=吧邛

sinBsinBsinB

_sir4^cosB+cos^4_si_n_B_Jv~2IAv/~J2

sinB2tanB2'

因为△ZBC为钝角三角形，所以9<B<1或9<CB<)，

Z4Z=当4—4

即gVBV字或。<BVJ,所以E(—oo,—1)U(0,1),

Z44

所以c=^I^+苧e(0,苧)u(72,+oo),

11

所以S—BC£（0q）UG，+8）・

所以△ABC面积的取值范围是（0,》U©,+8）.

（1）由二倍角公式化简得到sinA=cos4从而求出4=p由余弦定理得到a=75；

4

（2）由正弦定理，结合AaBC为钝角三角形，得到C=总+?e（o，W）u（，2+8）,从而由三角形面积

LtCCYlDLZ

公式求出s-Bce（0,》1uC1，+8）.

本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式，三角函数的值域求法解三角形，属于中档题.

17.【答案】证明见解答；

点H在PB中点，理由见解答；得；

VTO

—■

【解析】（1）证明：由PA=4B=1,PB=<2,

~^^PA2+AB2=PB2,即P41AB,

又CD=2,PD=6,AACD为正三角形，所以4D=CD=2,

贝!I有力。2+p42=p£）2,即PA"La。，

XABHAD=A,AB,4。u平面4BCD,

所以PA1底面力BCD；

（2）解：点//在PB中点，理由如下：

因为P41底面48CD,BCc^^ABCD,所以PA1BC,

又4B1BC,ABC\PA=A,AB,P2u平面PAB,

所以8C_L平面P4B,又AHu平面P48,所以8cl力H,

又H为PB中点，PA=AB,所以PB14H,

又BCCPB=B,BC,PBu平面PBC,

所以AH1平面PBC,故点”在PB中点，

因为48IBC,AB=1,AC=2,所以BC=6，

因为PA1底面2BCD,

所以%-ABC=泌-ABC=|xix|xlXAA3Xl=^,

即四面体ABC”的体积为可；

(3)解：设CD中点为E,连接AE,/.CAE=30°,

因为AB=1,AC=2,BC=73,所以NBAC=60°,

即NBAE=90°,AB1AE,

因为P41底面ABCD,故以4为原点，

建立如图所示空间直角坐标系，

由题意得：5(l,0,0),P(0,0,l),C(l,y[3,0),D(-l,<3,0),

则定=(1,6,—1),BC=(0,/3,0)，DC=(2,0,0),

设平面BCP的一个法向量为沅=(%,y,z),

则由前i路而i前，可得产空=久:质y—z=o,

不妨取汽=1,则y=0,z=1,则访=(1,0,1),

设平面CDP的一个法向量运=(%'，,/),

则由元1万，nlDC，可得产,匡=x'+OV-，=0,

不妨取y'=l，则x'=0,z'=C，则元=(0,1,0，

则cos(记，元>=禹=悬=

所以sin<m,n>—

即二面角8-PC-0的正弦值为。I

(1)根据勾股定理可得P41AB^PA1AD,再利用线面垂直的判定即可证明；

(2)由题知点”在PB中点，先证BC_L平面P4B,得到BC1AH,又PB1A”，即可证4"J_平面PBC,即点

H在P8中点；由P41底面ABCD,点H为PB中点，得到即可求得四面体4BCH的体积；

(3)以力为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCP和平面CDP的一个法向量，利用二面角与平面法向

量的关系即可求解.

本题考查线面垂直的判定、棱锥体积的求法及二面角正弦值求法，属中档题.

18.【答案】(i)/；

(呜

第一题选A题库中的题目，理由见解析.

【解析】(l)(i)因为答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元，

小明答对4B两个题库中题目的概率依次为今看每次回答问题是否正确相互独立，

若规定无论是否答对第一题，都可以答下一题，小明第一题选择4题库的题目作答的概率为

设小明第一题选择a题库概率为1

则第一题选择8题库概率为

当第一题选A库且答对，第二题选8库且答错，

其概率为擀x|x(1-b=p

当第一题选B库且答对，第二题选A库且答错，

111

-

4-2-

24

则小明恰好获得100元奖金的概率P=」+/=/；

(苴)若4表示第i题为4库，Bi表示第i题为B库，&表示第i题答对，且2=1,2,

所以PR)=P(Ri|4)P(4)+PCRilZ)P(Bi)=|xj+|xi=|,

2311121

P(RI7?2)=P(Ril&)P(4)P(R2|B2)+P(Ri|Bi)P(Bi)P(R2l4)=fx7x7+7xIx|=

1

-8

3

---

综上所述，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率噜黑5

8-15

(2)设第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合(1)中所设事件,

若第一题为4,第二题为B,

-1-211711

此时PRI4)=i,P(RI|2)P(R2田2)=|x(l-j)=|,PR|2)P(R2|B2)=|x|

泽恩期望E(Xi)=0x1+100x1+300x1=^；

若第一题为B,第二题为4,

此时。向名)=。网回)。威|4)=；x(1—|)=%。(％田万(%氏)=3x|/

illaqn

则E(X2)=0x#100x(+300x；等，

因为E(Xi)>E(X2),

所以小明最后获得奖金的数学期望最大.

则第一题选A题库中的题目.

(1)(i)应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；

5)根据已知分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再应用条件概率公式求概率；

(2)根据已知求第一题为4第二题为8和第一题为B,第二题为4对应的期望，比较大小，即可得结论.

本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

19.【答案】证明见解