2025-2026人教版九年级数学上册专项突破：正多边形和圆（附详解）

24.3正多边形和圆

考点一：正多边形及有关概念

I」知识梳理

只要把一个圆分成—相等—的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是

这个正多边形的一

外接圆.

一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心,外4圆的半径叫作这个正多边形的半径:

正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心

考点二：正多边形的有关计算

（〃—2）x180'360°

一般地，正〃边形的一个内角的度数为一〃―，中心角的度数等于—〃—；正多边形的中

心角与外角的大小相等.

题型一：正多边形的中心角

1.在园内接正六边形从3。。£尸中，正六边形的边长为2,则这个正六边形的中心角和边心距分别是（）

A.30。，IB.45°,2C.60°,CD.120°,4

2.如图，正六边形A8CDE/内接于。。，点M在AB上，则NCME的度数为（）

B.36°C.45°D.60°

3.如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O.若NAO8是某正〃边形的一个外角，则〃的值为

B.12C.10D.8

题型二：求正多边形的边数

4.如图，边48是。。内接正六边形的一边，点。在人/?上，且BC是。。内接正八边形的一边，若AC是00内接

正〃边形的一边，则〃的值是（）

B

A

B.12C.24D.48

5.如图，四边形ABC。为0。的内接正四边形，AAE/为0。的内接正三角形，若。F恰好是同圆的一个内接正〃

边形的一边，则〃的值为（）

C.10D.12

6.如图，在。O中，OA=AB,OC1AB,则下歹U结论错误的是（

A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长

C.AC=BCD.ZBAC=30°

题型三：正多边形和圆

7.如图，在圆内接正六边形/WCOE尸中，BD,EC交于点、G,己知半径为3,则EG的长为（）

A.6C.2G

8.如图，正六边形ABCQEF内接于O。，。。的半径为1,则边心距OM的长为

A.73B.BC.7D.2石

22

9.如图，OO的外切正六边形AROM的边心距的长度为名，那么正六边形AACQM的周长为()

A.2B.6C.12D.6G

题型四：正多边形的尺规作图

10.已知：如图，A为。。上一点；求作：。0的内接正方形A8CD

(1)求作：。。的内接正六边形ABCDEF；(要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹)

(2)连接CE,BF,判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由.

12.仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法)

(1)如图①，画出。。的一个内接矩形.

(2)如图②，/仍是0O的直径，。力是弦，且A8〃C£),画出0O的内接正方形.

题型五：正多边形和圆的综合问题

13.已知等腰△ABC中，AB=AC.

如图1,若为AAAC的外接圆，求证：AOIRC：

(2)如图2,若A3=4C=10,8c=12,/为△A4C的内心，连接/C,过点/作/£)〃交AC于点。，求/。的

长.

14.如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABC。、正五边形ABCDE分别是。。的内接三角形、内接四边形、

内接五边形，点M、N分别从点8、C开始，以相同的速度中。。上逆时针运动.

(I)求图①中NAP8的度数;

(2)图②中，NAP8的度数是90°,图③中/AP8的度数是72°；

(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正〃边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理

由.

15.如图所示，正三角形ABC、正方形ABC。、正五边形ABCQE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五

边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在0。上逆时针运动.

（3）若推广到一般的正〃边形情况，请写出NAP8的度数是,

/随堂演练

一、单选题

16.如图，点。是正六边形ABCQE尸的中心，边心距则48的长为（）

ED

FW

AHB

A.1B.V3C.2D.3

17.。。半径为4,以。。的内接正三角形、正方形、正六边形的这心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积

是（）

A.72B.75C.2及D.

18.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是OO的内接多边形，则NBOM的度数是（）

A.36°B,45℃.48°D.60°

19.如图，正五边形ABCQE内接于。O,连接AC,则NACO的度数是（）

A

B

E()

I)

A.72°B.70°C.60°D.45°

20.如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（）

C.24x/3D.4873

21.如图，已知。0内接正六边形/WCOE尸的边长为6cm,求这个正六边形的边心距%、面积§6.

X而分突破

一：选择题

22.如图，正五边形ABCDE内接于。。，点尸在AB上，求NC尸。的度数.

23.下列命题中，真命题是（）

A.正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形

B.正六边形的每一个外角都等于中心角

C.正六边形每条刈角线都相等

D.正六边形的边心距等于边长的一半

24.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形A4CQEV的中心与原点。重合，A4〃x轴，交y轴于点P.将

△。4尸绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（）

25.如图，六边形所是正六边形，点P是边八F的中点，PC,PD分别与BE交于点M,N,则

的值为（）

26.已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A,B,C,D,E,尸在圆上.若两个大正六边形的边长均为2,则小

正六边形的边长是（）

27.连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）

A.四边形4BCH与四边形EFG”的周长相等B.连接“。，则”。平分NC/7E

C.整个图形不是中心对称图形D.△<?£•〃是等边三角形

28.如图，圆内接正八边形的边长为I,以正八边形的一边人8作正方形A8C。，将正方形A8CD绕点8顺时针旋

转，使A8与正八边形的另一边8c重合，则正方形A3c。与正方形重登部分的面积为（）

P6-'口V5+1

33

29.如图，点。是边长为4的正六边形4BCDE尸的中心，对角线CE,。F相交于点G,则△G£F*J面积为（）

A.26B.3X/3C.苧D.

30.如图所示，放置正六边形ABCDEF与正六边形DGHMN”,若五边形A8C。r的面积为5,则多边形EDGHMNF

的面积是（）

C.17D.176

31.如图，已知边长为2的正六边形A8COE/内接于。0,则阴影部分的面积为（）

B

A.3GB.26C.12石D.473

二、填空题

32.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图这个图案绕着它的中心旋转

33.如图，正八边形A8CDEFGH内接于00,若AC=4,则点。到AC的距离为

34.如图，正六边形48CQE尸的周长为24cm,则它的外接圆。。的半径为cm.

------------------

35.如图，在正五边形A4CQE中，连结AC,以点4为圆心，相为半径画圆弧交AC于点R连接OF.则NFOC

的度数是.

D

36.如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该

直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是平方分米.

37.跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形人8c和等边三

角形OE厂组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形.若A8=27厘米，则这个正六边形的周长为________厘米.

38.如图，已知点G是正六边形A3CDE/对角线以上的一点，满足3G=3AG,联结如果的面积为1,

那么AFBC的面积等于.

39.在平面内有〃个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的〃个点构成的点集称为爱尔特

希点集.如图，是由五个点A、&C、。、O构成的爱尔特希点集i它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的

中心构成），则N4。。的度数是一.

A

B

三、解答题

40.如图，正方形A5CQ内接于0O,P为3C上的一点，连接CP.

（1）求NCPO的度数;

（2）当点Q为BC的中点时，C方是0。的内接正"边形的一边，求”的值.

41.如绍M、N分别是。。的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…

的边AB、BC上的点，且BM=CN,连接OM、ON

（1）求图1中NMON的度数

（2）图2中NMON的度数是,图3中NMON的度数是.

（3）试探究NM0N的度数与正n边形边数n的关系是一

42.如图，正方形488内接于。。，E为CD任意一点,连接OE、AE.

（1）求NAED的度数.

（2）如图2,过点、B作BF//DE交。。于点F,连接AF,AF=\,AE=4,求的长度.

43.如叁1,边长为2的正方形ABCZ）中，点E在A8边上（不与点4、8重合），点尸在8c边上（不与点8、C重

合）•

第一次操作：将线段E“绕点顺时针旋转，当点£落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段VG绕点G顺

时针旋转，当点尸落在正方形上时，记为点〃；依此操作下去…

(I)图2中的△EPA是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长:

(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为,此时AE与8尸的数量关系是.

②以①中的结论为前提，设AE的长为-四边形EFG”的面积为p求)，与x的函数关系式及面积)，的取值范围.

(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请求出其边

长；如果不是，请说明理由.

44.正方形ABCD的四个顶点都在0O上，E是。O上的一点.

(1)如图①，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADFgAABE；

(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE二&AE.请说明理由；

(3)如图②，若点E在AB上.连接DE,CE,已知BC=5,BE=1,求DE及CE的长.

图①

45.如图，已知A、B、C、D四点都在。O上.

(1)若NABC=120。，求NAOC的度数;

(2)在(1)的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形.

46.已知矩形ABCD,48=6,AD=8,将矩形ABC。绕点A顺时针旋转。(0。〈“<360。)，得到矩形AEFG,如图

1,M是线段BF的中点，点O是AB的中点，连接0M.

(1)将矩形AEFG绕点A顺时针旋转•周，求点M的路径长;

（2）旋转过程中，当点M落在AD上时.

①求△AMF的面积；

②如图2,连接BE,ED,求证：B,E,D共线;

图1图2

（3）如图3,连接MG,在将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周的过程中，直接写出MG的最大值

图3

S答案洋解

1.C

【分析】根据中心角的定义可得这个王六边形的中心角，如图（见解析），过圆心。作于点尸，先根据等

边三角形的判定可得△498是等边三角形，根据等边三角形的性质可得O4=A8=2,AP=1,再利用勾股定理即可

得.

360°

【详解】解:这个正六边形的中心角为k=6。。,

如图，过圆心。作OP_LA8于点P,

OA=QR,ZAOB=60。，

.•.△AO5是等边三角形，

:.OA=AB=2,AP=-A13=\,

2

：.0P=yj0A2-AP1=x/3»

即这个正六边形的边心距为G，

故选：c.

【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心

角和边心距的概念是解题关键.

D

【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接OC、O。、0E,如图所示：

正六边形ABCDEF内接于00,

/.ZC0D=等=60。，则/COE=120°,

6

/.ZCME=；/COE=60°,

故选：D.

【点睛】本题考查正多边形的中心角'圆周角定理，熟练掌握正〃多边形的中心角为厚是解答的关键.

3.B

【分析】连接。C,先求出NAOB的度数，然后利用正多边形外角和等于360。，即可求出答案.

【详解】解：连接OC,如图:

根据题意，正六边形和正方形的中心都是点。,

AZBOC=90°,ZAOC=6()°,

JZA0B=90°-60°=30o；

•・•N408是某正〃边形的一个外角,

.360。..

••〃=------=12；

30°

故选：B.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出/AOB

的度数.

4.C

【分析】根据中心角的度数=360。+边数，列式计算分别求出N/U用，NBOC的度数，可得NAOG15。，然后根据边

数〃=360。♦中心角即可求得答案.

【详解】解:连接OC,

VAB是。O内接正六边形的一边，

，NA08=3600+6=60°,

•・・8C是。O内接正八边形的一边，

・・・N8OC=360°—8=45°,

・•・ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-45°=15°

・・・〃=360。+15。=24.

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度

数是解题的关键.

5.D

【分析】连接AC。。。“，先根据圆内接正多边形的性质可得点。在AC上，且4C是44D和NEAF的角平分线,

从而可得/。4。=3/84。=45。,/。^=3/£4尸=30。，再根据角的和差可得ND4b=15。，然后根据圆周角定理

可得/次m=2/"/=30。，最后根据正多边形的性质即可得.

【详解】解:如图，连接AC8,。尸,

A

•••四边形ABC。为。。的内接正四边形，△AEE为0。的内接正三角形，

.••点。在AC上，且AC是4AD和NE4厂的角平分线，ZBAD=90°,ZE4F=60%

ZCAD=-ABAD=45。,ZCAF=-/EAF=30°,

22

ZDAF=ZCAD-ZCAF=15°,

:.ZDOF=2ZDAF=300,

•.•O尸恰好是圆。的一个内接正〃边形的一边,

360°360。…

n=--------=------=12,

ZDOF30°

故选：D.

【点睛】本题考查了园内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键.

6.D

【详解】在△QAB即，OA=OB,OA=AB,工△O/W为等边之扇形，工乙408=60。，

・,•弦AB的长等于园内接正方形的边长，故A对；

\,OC1AB,为等边之扇形，，OC平分/AOB,JNAOC=/8OC=30。，

•••AC的长为园内接正十二边形的边长，故B对；

,/ZAOC=ZBOC,J弧AC=弧8C,故C对：

,?NBAC=ZBOC=x30°=150°,故D错；

故选D.

点睛：本题考查了圆周角定理，及多边形内角的关系，要注意的知识结构即掌握能够根据选项所给的内容进行判断

是解颍的关键.

7.C

【分析】连接BO、GO,则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：连接BEGO,则BE经过。点，且。是BE的中点，

;六边形48COE尸是正六边形，

NEOG」NEOB=90。，

2

八(6-2)x180°2°

ZEDC=------』-------=120°,

6

•：DE;EC,

/."EC=30。，

36()。

,?NEOO=^-=6()。，

6

/.ZOED=60°,

・••ZGEO=30°,

设EG的长为心则OG的长为

.•闾+3』，

解得：.1=2百.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点,并能结合图形熟练运

用各知识点.

8.B

【分析】连接OA、OB,证明△O4B是等边三角形，得出4B=OA=1,由垂径定理求出4M,再白勾股定理求出

OM即可.

【详解】解：连接OA、08,如图所示：

•・•六边形A8COEF为正六边形,

26()。

NAOB=二—=60°,

6

•・Q=0B,

•••△OA8是等边三角形，

：.AB=OA=\,

工AB,

.\AM=BM=^AB=y,

故选：B.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握

正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键.

9.C

【分析】过点。作OGJLA用垂足为G,根据边心距得到。7=百，证明aOAB是等边三角形，利用勾股定理求出

AB,从而可得周长.

【详解】解：如图，过点。作OGL48,垂足为G,

由题意可得：OG=G，

在正六边形/WC。所中，/408=等=60。，OA=OB,

•••△0A8是等边三角形，

OG-

••人B=。4=x2=2,

・••正六边形488£r的周长为2x6=12,

故选：C.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△。46是等边三角形是解答此题的关键.

10.见解析

【分析】先作直径AC,再过。点作AC的垂线交。O于。、B,然后连接AB、AD.CD、C8即可.

【详解】解：如图，四边形ABC。为所作.

【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解

成基本作图，逐步操作.

II.（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）如图，在。O上依次截取六段弦，使它们都等于OA,从而得到正六边形ABCDEF；

（2）连接BE,如图，利用正K边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA»A4=BC=CD=DE=EF=AF，则判断

BE为直径，所以NBFE=NBCE=90。，同理可得NFBC二NCEF=90。，然后判断四边形BCEF为矩形.

【详解】解：（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；

（2）四边形BCEF为矩形.理由如下：

连接BE,如图，

•・•六边形ABCDEF为正六边形，

AAB=BC=CD=DE=EF=FA,

,AB=BC=CD=DE=EF=AF，

••BC+CD+DE=EF+AF4-AB，

,BAE=BCE，

・・・BE为直径，

.,.ZBFE=ZBCE=90°,

同理可得NFBC=ZCEF=90°,

・•・四边形BCEF为矩形.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质

和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基

本作图，逐步操作.也考查了矩形的判定与正六边形的性质.

12.（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到。。的一个内接矩形；

（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到。O

的内接正方形.

【详解】解：（1）如图所示，过。作©0的直径AC与BD,连接AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD即为所求；

国①

(2)如图所示，延长AC,BD交于点E,连接AD,BC交于点F,连接EF并延长交。O于G,H,连接AH,HB,

BG,GA,则四边形AHBG即为所求.

E

H

图②

【点睛】本题主要考杳了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几

何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

13.(I)见解析：(2)?

4

【分析】⑴连接。8、0C,可得A8=AC,利用垂直平分线的判定可得AO_L8C;

(2)连接A/并延长交8c于点凡过点/分别作/G_LAC于点G,/H上ABF点H,通过AB=AC,/为aABC的内

心，可知A/_LBC,利用勾股定理可求A尸=8,设"/==/G=，•，由Sv"。=SVA8/+Sv80+SVAC/，可得：r=3,再

设CT•二CG=a,贝ijAH=AG=10—a,3/=8"=12-々再求解〃=6证明N1=N2=N3,所以设/£)=DC=x,

DG=6-x,利用勾股定理可得答案.

【详解】(1)证明：连接OB、OC,'：AB=AC,

・・・A在BC的垂直平分线上

又.：OB=OC,JO也在8c的垂直平分线上

••・AO1BC

图1

(2)连接A/并延长交8c于点F,过点/分别作/G_LAC于点G,IH上AB于点H

VAI3=AC,/为的内心，AAFA.BC,BF=CF=6,

,AF=>lAB2-BF1=8

设IH=IF=IG=r,~SVABI+SVBCI+SVA

可得：l(10+l0+12)T=ixl2x8

r=3

设则A〃=AG=10—a,BF=I3H=\2-a

10-^+12-47=10

解得：a=6即CG=6

VID//BC,c/平分4C8,

・•・Z1=Z2=Z3

・•・设〃)=DC=x,DG=6-x

在RtzVG。中，IG2+GD2=ID2

115

，32+(6-力-=Y解得：x=—

・m15

4

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的内心和外心，以及勾股定理，掌握圆的内心和外心的性质是解题的关键.

14.(I)120°；(2)=,=；(3)能，/APB=-

fl

【分析】3)由题意可得8M=CN，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得NBV例二NCNB，在利用二角形外角的

性质即可求解

(2)根据(1)的求解过程，即可求解

(3)结合(1),(2)的推理过程，即可得出结论

【详解】(1)N4PB=120。(如图①)

•・•点M、N分别从点8、C开始以相同的速度在。。上逆时针运动,

:.NBAM二NCBN,

又,:NAPN=NBPM,

/.ZAPN=ZBPM=NABN+ZBAM=NABN+ZCBN=ZABC=600,

.•・NAP8=120°；

(2)同理可得：图②中NAPA=90。；图③中N4P8=72。.

(3)由(1),(2)可知，NAP8=所在多边形的外角度数，故在图〃中，ZAPB=—.

n

【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外

角的性质是解题关键.

160°

15.(1)120°；(2)90°,72°；(3)--

H

【分析】(1)根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出NAPN=/48C=60。，即可求出答案；

(2)与(1)同理，可求4PN=Z/$C,根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；

(3)与(1)(2)同理，/APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案.

【详解】解：(1)•・•△,(：是正三角形，

，ZABC=60。，

丁点”、N分别从点8、C开始以相同的速度在上逆时针运动，

/.ZBAM=NCBN,

/.ZAPN=ZABN+ZBAM=ZABN+/CBN=ZABC=60°,

・•・=180°-=180°-60°=120°；

(2)由图②，四边形ABC。是正方形，则与(1)同理，

ZAPN=ZABC=90。,

・••乙4F3=180。—//WW=90°；

由图③，正五边形43CQE中，与(1)同理，

/.ZAPN=ZABC=]0S°,

/.ZAPB=1800—ZAPN=72。；

故答案为：90°；72°；

460°

(3)由(1)可知，N4/为为所在正多边形的外角度数，故在图〃中，有NAPB二工；

n

360°

故答案为：—;

n

【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角/4PN的度数，然

后得出〃边形的N4PN的度数.

16.C

【分析】连接08、04根据正六边形的性质得到N8Q4=60。，OB=OA,根据等腰三角形的性质得到AH=B〃，

ZAOH=^NACM=30。，根据直角三角形的性质得到结论.

【详解】解：如下图，连接。8、OA,

•・•六边形/WCDEF是正六边形，

・・・NBOA=60。，08=0A,

9：OH1AB,

:.AH;BH,ZAOH=^ZAOB=30°,

*：0H=6

3

，4B=2,

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等腰三

角形的判定与性质是解题的关键.

17.C

【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，

然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积.

【详解】解：如图1，a/lBC为。。的内接正三角形，作。M_L8C于M,连接0B,

•・・NO3C=；NABC=30。，

；・0M=；0B=2；

如图2,四边形ABC。为。。的内接正方形，作ON_LOC于N,连接0Q,

•••/OOC=；NADC=45°,

・•・ON=DN=-0D=2y/2；

2

如图3,六边形48CQE/为。。的内接正六边形，作OH_L。石于从连接0E,

•・・/OED=；NFED=60。,

:・EH=g0E=2,0H=»EH=2B

••・半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2,2夜，25

V22+(2&)』(273)2,

・•・以三条边心距所作的三角形为直角三角形，

，该三角形的面积=；x2乂2人=2血.

【点睛】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，会利用勾股定理解直用三角形

是解题的关键.

18.C

【分析】如图，连接AQ利用正多边形的性质求出/40M,ZAO8,可得结论.

【详解】解：如图，连接A0.

A4MN是等边三角形，

：.^ANM=60°,

ZAOM=2/ANM=120°,

/WCDE是正五边形，

/AOB=M=72。，

NBOM=120°-72°=48°.

故选：C.

【点睛】本题考查止多边形与惧I,等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握止多边形的性质,

属于中考常考题型.

19.A

【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出N8,46的度数即可解决问题.

【详解】解：在正五边形A8COE中，

ZB=ZBCD=-x(5-2)x180=108。，AB=BC,

5

：,ZBCA=ZBAC=^(180°-108°)=36°,

/.ZACD=ZBCD-ZACB=108°-36°=72°.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此

题基础题，比较简单.

20.C

【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可.

【详解】解：如图所示，

•・•正六边形的中心角为60。，

・•・每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，

/.AO=OB=AB=\,=ODNAO「AD，=与，

因此每个正六边形的面积为：6XLABOD=6XLXIX®=更,

2222

图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：16xm=246.

2

整个图形是一个矩形，长为12,宽为4公，

矩形的面积为：12X4G=48>5，

因此图中阴影部分的面积是：486-246=246，

故选C.

【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键.

21.540

【分析】连接08,OG_LC8于G,证明△CO8是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R,然后由勾股定

理求得边心距，又由S正六边影=65公0/3。求得答案.

【详解】解：如下图所示，连接08,设OG_LCB于G,

•/六边形ABCDEF^OO的内接正六边形，

，NC08=6()°,OC=OB,

...△roA是等边二角形，

/.OC=OB=6cm,

即O。的半径R=6cm,

•••"=08=6,OGLCB,

CG=BG=—CB=—x6=3cm,

22

在Rtz^COG中，i1=OG=>JOC2-CG2=373(cm),

2

AS6=6S=6xlx6x3V3=54>/3(cm).

【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握正六边形的相关

知识.

22.36°

【分析】如图所示，连接0C、0。，由正五边形的性质可得的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等

网中同孤所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案.

如图所示，连接0C、0。，

•/五边形A3CDE是正五边形,

\1C0D学=72?,

ZCFD=-ZCOD=36°.

2

【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CQ所对的圆心角.

23.B

【分析】根据正六边形的性质判定即可.

【详解】解：A、正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形，假命题，故此选项不符合题意；

B、正六边形的每一个外角都等于中心角，真命题，故此选项符合题意；

C、正六边形每条对角线都相等，假命题，故此选项不符合题意；

D、正六边形的边心距等于边长的一半，假命题，故此选项不符合题意：

故选：B.

【点睛】本题考查判定命题真假，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.

24.B

【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2025次旋转后，点A的坐标即可.

【详解】解：正六边形边长为2,中心与原点。重合，轴，

：,AP=\,AO=2,ZOPA=90°,

,OP=\IAO2-AP2=G，

（I,6），

第1次旋转结束时，点4的坐标为（6，-1）;

第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1,-G）；

第3次旋转结束时，点A的坐标为（-百，1）；

第4次旋转结束时，点A的坐标为（1,&）；

•••将△OAP绕点、。顺时针旋转，每次旋转90°,

・・・4次一个循环，

720254-4=505.......2,

・•・经过第2025次旋转后，点A的坐标为（-1,-旧）,

故诜：B

【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法,

属于中考常考题型.

25.D

【分析】设正六边形的边长为想办法求出APMM△尸8M的面积即可.

【详解】解：设正六边形的边长为4则SzsPCO=2x立*=立〃2,Sa形BCDE=3又是02=巫,

4244

由题意MN是ZiPC。的中位线,

，S〉PMN=-S^PCD=巴a2,

48

・••S四边/MNDC=去a2-手a2=乎a2,

:・S>BMC=SADNE二宗巫a?-巫a2):逆。2,

24816

,:PM=CM,

••・SAPBM=S2BMC=—a2,

16

:・S〉PMN：S^PBM=—a2：地f：3=],

8163

故选：D.

【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解

题的关健是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

26.D

【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径0Q,进而得出小正六边形M产

的长，再根据正六边形的性质求出半径GF,即边长即可.

【详解】解：如图，连接人。交PM于O,则点。是圆心，过点。作ON_LOE于M连接M尸，取M尸的中点G,

连接GH,GQ,

由对称性可知，OM=OP=EN=I：>N=1,

由正六边形的性质可得0N=26

,0D=]DM+ON2=713=OF,

由止六边形的性质可知，△GF”、△GHQ.△GQM都是正三角形，

：,FH=-MF=^~X,

22

故选：D.

A____B

E'D

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键.

27.D

【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可.

【详解】解.：A.•・,根据正八边形的性质，四边形A4CH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形A8C”与四边

形石尸G〃全等

，四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，

故选项正确，不符合题意；

B.连接。”，如图1,

•••正八边形是轴对称图形，直线〃。是对称轴，

/.HD平分NCHE

故选项正确，不符合题意；

C.整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意;

D.,・•八边形ABCOEFG”是正八边形，

/.B=BC=CD=DE=EF=FG=GH,CH=EH,

设正八边形的中心是O,连接£0、DH,如图2,

图2

360。

ZDOE==45°

•••OE=OH

J/OEH=/OHE=；NOOE=22.5。

NCHE=2NOHE=45。

：,/HCE=/HEC=g(1800-ZCHE)=67.5°

・•・△(?£〃不是等边三角形，

故选项错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键.

28.A

【分析】先计算出正八边形的内角/A8c=135。，再利用旋转的性质得乙48。=/460=90。，NB4'D'=NBAD=90°,

所以/八用三135。-90。=45。，则延长8H过点D,然后利用正方形48CD与正方形力5c9重叠部分的面积

=SABOGS△。力E进行计算.

【详解】解：正八边形的一个内角为：ZABC=(8-2)Xl8°=135\

8

•・•正方形48C。绕点3顺时针旋转，使4c与正八边形的另一边3。重合，

/.ZABC=ZAI3C=90。,=/BAD=90°,

.­.ZAB/¥=135°-90°=45o,

延长8r至点。，OC与AD相交于点E,如图所示：

八B=l,

.•.A8=AB=1,80=75，

A7)=应-1，

，正方形A8CD与正方形A3C。重叠部分的面积为：

5=5R^-S^£=lxlxl-lx(>/2-l)x(x/2-l)=x/2-l,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，把一个圆分成〃等份，依次连接各点所得的多边形是这个圆的内接正多边

形，也考查了正方形和正八边形的性质.

29.C

【分析】根据A8COE尸是边长为4的止六边形，川得。:DE=OF,NCDE=NDEF=12O。,根据三角形内角和定理

nJZCED=ZECD=ZEDF=ZEFD=30°,所以NF£G=90。，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而

可以解决问题.

【详解】解：•・Y8CQ石尸是边长为4的正六边形，

:・CD=DE=DF,^CDE=^DEF=\2QQ,

/.ZCED=ZECD=ZEDF=ZEFZ>30°,

•••ZFEG=90°,

VEF=4,

;.£G=—EF=—,

33

J△GEF的面积二?xEF・GE=1x4x地=迪，

2233

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质.

30.C

【分析】设正六边形A8CDE尸的中心为点O,正六边形。GHMM的中心为点。，连接。4,OF,OF,ON,

过点。作OPIAF交于点P,过点。'作O'Q^FN交于点Q,过点E作欣_LFD交于点儿设正六边形AACQ忖尸的

边长为2x»即AF=DE=EF=2x,由正六边形的性质求出^ABCDEF=^^AOF»DF以及S^DEF»由

得出，

=SABCDEF—SgEF=5£2=[,由SEDGHMNF=DCHMNF~~DEF=—,代入即可得出答案.

如图，设正六边形人BC7)E尸的中心为点。，正六边形Z)G”MN/的中心为点O',连接。4,OF,O'F,ON，过

点。作OP_LA产交于点夕，过点。'作O'Q^FN交于点Q,过点、E作ER工FD交于点R,设正六边形A8CDE/的边

长为2.x,BPAF=DE=EF=2x.

六边形ABCOE厂是正六边形，

：.OA=OF=AF=2x,Z4OF=60°,ZDEF=120°,

♦,SABCDEF=6S.AOF，NAOP=30。，NEER=60°，

,.OP=8x,ER=x,FD=2瓜,

=2x=

,*S,\耽诋=6S&AOF6--2x-\/3x=6\i3x,SA阻~5'2也*'»

•c-<

•QABCDF~J»

•・6后一后2=5,

、\/3x2=1»

••六边形DGHMNF是正六边形,

'.O'F=O'N=FN=FD=2®,N〃O'Q=3()。，

•.O'Q=3x,

=6---25/3x-3x=18>/3x2,

••°DGHMNF_2

222

S

EFJlX£jHM\NNFr=1S▼A/SX—▼Gx=17▼>/3x=17x1=17.

故选：c.

【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形相关性质是解题的关键.

31.A

【分析】阴影部分为等边三角形，要求三角形的面积就要先求它的边长，根据正多边形与圆的关系即可求出.

【详解】解：连接。田、OC,过点。作OH_LCE千H

在六边形A8COQ中

AF=FE=DE=DC=CB=AB

AF=EF=AB=CB

AE=AC

：.AE=AC

同理，AE=CE

：.MEC是等边三角形

:.ZOEH=30°

-OE=2

:.OH=-OE=\

2

：.EH=>JOE2-OH2=V3

:.CE=2EH=2退

：£0EC=；CE