2025年人教A版新高二数学暑假预习：直线的两点式方程（3知识点+4大题型+思维导图+过关检测）

专题13直线的两点式方程

塞内容导航一预习三步曲

第一步：学

析教材学知识教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识4大核心考点精准练

第二步：记

思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

知识点01：直线的两点式方程

1、两点式方程的推导

如果直线/经过两点片（％,K）,心（九2，%）（玉W％），则直线/的斜率左=上&.由直线的点斜式方程

得y—%=上&（%一七）・当/工％时，方程可以写成上二工=二二•

x

x2一国y2-%%2一i

设直线/经过两点片（石,%）,与（%,%）&片羽,切片叫），则方程上二上=三二叫作直线/的两点式

%fx2-x1

方程，简称两点式.

3、直线的两点式方程

已知条件（使用前提）

直线/上的两点,P2（x2,y2）（石片々,%/必）（已知两点）

y

图示睡依,为）

।"""

癌2㈤

点斜式方程形式y一%%一%,,一、

=（百。%）

%一%入2一七一一

适用条件斜率存在且不为0；

当直线没有斜率（西=4）或斜率为0（%=为）时，不能用两点式求出它的方程

注：（1）当过两点6（西,丹）,鸟（々，%）的直线斜率不存在（再=%2）或斜率为。（（必=为）时，不能用两点

式方程表示.

（2）在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即看，%是同一个点的坐标乙，%是另一个点的

坐标.

知识点02：直线的截距式方程

1、截距式方程的推导

如图，已知直线/经过两点A（a,0）,其中a/0,bw0,有直线的两点式方程得，2a=士处

2、直线的截距式方程的定义

设直线/在x轴的截距为。，在y轴的截距为6,且aw0/w0,则方程二+上=1叫作直线的截距式方程,

ab

简称截距式.

点斜式方程形式3=1

ab

适用条件〃w0,bwO

注：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y

轴上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.

知识点03：中点坐标公式

-2

若点％鸟的坐标分别为(西,％),(%,%)，且线段《鸟的中点〃的坐标为(x,y),则此公

-2

式为线段的中点坐标公式.

【题型01：直线的两点式和截距式方程辨析】

一、单选题

1.(23-24高二上•河北邢台・月考)下列直线方程是两点式方程的是()

A.y=kx+bB.y-y0=k(x-2x0)

C.2+上=1D.

xx

a2by2-yi2-!

【答案】D

【分析】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可.

【详解】对于选项A：>=丘+6是斜截式方程，故A错误;

对于选项B：'-%=左（天-2%）是点斜式方程，故B错误；

对于选项C：土+5=1是截距式方程，故C错误；

a2b

对于选项D：上二、•=土当（%。％2，%。%）是两点式方程，故D正确；

%一%%2一%

故选：D.

2.（24-25高二上•全国•课后作业）直线工-上=1与=根在同一平面直角坐标系中的图象可能

mnnm

【答案】B

【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项；

【详解】易知直线上-2=1的斜率为二，直线二一上=1的斜率为3，

mnmnmn

于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1,一个小于1,

检验4个选项，知只有B选项满足题意.

故选：B.

3.（24-25高二上•全国•课后作业）经过两点（%,另）,（马，％）的直线方程可以表示为（）

,A%„X-%y-%

A.一B.一

%2一玉为一口%一九2%一为

C.（y一%）（%—五）=（x—再）（为一%）D.yf=

【答案】C

【分析】根据直线两点式方程可得答案.

【详解】当经过（4%）,（%，必）的直线不与X轴、y轴平行时,

x-x,y-y

所有直线均可以用一-=一次o表示，

X1~X2%-%

由于%,马可能相等，%,丫2也可能相等，

所以只有选项c满足包括与x轴、y轴平行的直线.

故选：c.

4.（24-25高二上•河北邢台•月考）已知直线/的两点式为'=丁二，则（）

5—92—8

311

A.直线/经过点（5,2）B,直线/的斜截式为无=

2

C.直线/的倾斜角为锐角D.直线/的点斜式为y-2=］（尤-5）

【答案】C

【分析】根据两点式方程可得直线,经过两点（8,9）,（2,5）,进而判断AD,再将两点式化为斜截式：

211o

y=———,即可判断B,得到直线/的斜率为］＞0,即可判断C.

33°

【详解】由题意，直线/经过两点（8,9）,（2,5）,故AD错误，

211

将两点式化为斜截式：y=—x+—,故B错误，

直线/的斜率为］＞。，所以直线/的倾斜角为锐角，故C正确.

故选：C.

5.（24-25高二上•广东江门•月考）下列说法正确的是（）

A.方程2二&=%表示过点［（%,乂）且斜率为左的直线

X—X］

B.直线y=Ax+b与y轴的交点为8（0力），其中截距匕=|（四

C.在x轴、y轴上的截距分别为。、方的直线方程为2+；=1

ab

D.方程优-王）（,一%）=（%-%）（％-不）表示过任意不同两点耳（西，乂），6（9，%）的直线

【答案】D

【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核

对，即可求解.

【详解】对于A中，由三?=发表示过点或&,%）且斜率存在，且不含点尸（3％）的直线，所以A不正确；

对于B中，直线丫=丘+6与y轴交于一点以02），其中截距不是距离，截距为点B的坐标，其值可正可负

可为0,所以B不正确；

对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是0,不能表示为二+；=1,所以C不正确；

ab

对于D中，方程仁一切（kyj=（%-石）为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，（4%）,

£（%，%）的直线，所以D正确.

故选：D.

【题型02：直线的两点式方程】

一、单选题

1.（23-24高二上•甘肃金昌・月考）已知直线/经过点（-3,-2）,（1,2）,则下列不在直线/上的点是（）

A.(-2,-1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(2,1)

【答案】D

【分析】由已知的两点求出直线/的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.

y-(-2)X

【详解】由直线的两点式方程，得直线/的方程为1r甘，即xr+l=。,

2-(-2)

将各个选项中的坐标代入直线方程,

可知点（-2,-1）,（-1,0）,（0,1）都在直线/上，点（2,1）不在直线/上.

故选：D.

2.（24-25高二上•全国•课后作业）已知点A（7%5）,3（3,〃），若AB的中点坐标为（2,1）,则直线的方程

为（）

A.x+4y-9=0B.x+4y+9=0

C.4x+y+9=0D.4x+y-9=0

【答案】D

【分析】由AB的中点为（2,1）列方程组解“〃，然后根据两点式方程计算即可.

m+3.

-------=2

7

【详解】由题可得,，解得m=1,〃=-3,

5+n1

------=1

[2

即4（1,5）,B（3,-3）.

将点A3坐标代入两点式方程可得与言=14，

即4元+y—9=0.

故选：D.

3.（23-24高二上.贵州•开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（kg）之间的关

系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（）

A.20kgB.25kgC.30kgD.35kg

【答案】A

【分析】根据题意，由直线的两点式方程可得到直线方程的表达式，再令y=o,即可得到结果.

【详解】由图像可得，直线过点(60,10),(80,15),由直线方程的两点式可得《胃=京粤，

化简可得y=Jx-5,令y=0,解得x=20,即乘客最多可免费携带行李的质量为20kg.

4

故选：A

4.(23-24高二上.吉林・月考)一条光线从P(6,4)射出与1轴相交于点Q(2,0),经x轴反射，求反射光线所

在直线的方程()

A.x-y+l=0B.x+y—5=0C.x-y-2=0D.x+y-2=0

【答案】D

【分析】求出点P(6,4)关于x轴的对称点P,由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可.

【详解】尸(6,4)关于x轴的对称点P'(6,-4),

光线从尸(6,4)射出与x轴相交于点。(2,0),则反射光线经过点,

由两点式方程可知，

所求直线方程为与之=三，化简得x+y-2=0.

-4-06-2

故选：D.

二、解答题

5.(23-24高二上・河南・月考)已知VABC的三个顶点分别满足：点A在无轴上，点3在〉轴上，C(-2,l),

直线AC的斜率为9，直线AC与直线8C垂直.

(1)求点A,8的坐标；

(2)求边BC上的中线所在直线的方程.

【答案】⑴4(-4,。)，8(0,-3)

⑵x+3y+4=0.

【分析】(D结合直线垂直时斜率的关系、两点求斜率的公式求得A8的坐标；

(2)根据边BC上的中线所过点求得中线所在直线的方程.

【详解】(D因为直线AC的斜率为《，直线4c与直线3c垂直，

所以直线BC的斜率为-2.

设A（a,O）,8（0,6）,贝蛛解得a=-4；

—2—ci2

i_卜

粒=*；=一2,解得匕=一3.所以A（-4,0）,8（0,—3）.

（2）因为5c的中点坐标为（T-l）,且中线过点A（TO）,

所以边3c上的中线所在直线方程为善=芸，即x+3y+4=0.

0+1-4+1

6.（23-24高二上•福建漳州・月考）己知三角形ABC的顶点坐标为A（-1,5）,B（-2,-l）,C（4,3）,M是BC

边上的中点.

（1）求A3边所在的直线方程；

⑵求中线AM的方程.

【答案】（l）6x-y+ll=0

（2）2x+y-3=0

【分析】（1）法一：由两点式直接写出方程；法二：通过两点计算斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）

由中点坐标公式求出中点坐标，再计算两点斜率，利用点斜式写出直线方程.

【详解】（1）解：法一：由两点式写方程得三="，即6x-y+ll=0；

-1-5-2+1

一1-5

法二：直线A3的斜率为上=6,

-2-(-1)

直线A5的方程为y-5=6（x+l）,即6x-y+ll=0；

（2）解：设M的坐标为（为,%）,则由中点坐标公式可得

xo--—=1，%=—2—=1）故"（U）'

所以七^=4=一2

-1—1

所以，直线AM方程为2x+y-3=0.

【题型03:直线的截距式方程】

一、单选题

1.（24-25高二上•重庆・期末）过4（2,0）、3（0,3）两点的直线方程是（）

A,用=1B.1+^=1

23

2c3

C.>=一%D.y=­x

32

【答案】A

【分析】由截距式得到直线方程.

【详解】由截距式可得直线方程为］+。=1,A正确，BCD错误.

故选：A

2.（24-25高二上•黑龙江牡丹江•月考）在尤轴与y轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）

A.150°B.135°C.90°D.45°

【答案】B

【分析】由截距式确定直线方程即可求解.

【详解】由题意可得直线方程为尹叁=1,

化简可得：y=—x+29

所以左=-1,即倾斜角为135°.

故选:B

【答案】A

【分析】根据直线的截距式方程，可得直线4的横、纵截距分别为。，6,直线4的横、纵截距分别为儿

-a,逐项根据截距的正负判断即可.

【详解】由截距式方程可得直线4的横、纵截距分别为a,步,直线4的横、纵截距分别为方，-a,

选项A,由人的图象可得。<0.6>0,可得直线4的截距均为正数，故正确；

选项B,由4的图象可得a<0.6>0,可得直线4的截距均为正数，由图象不对应，故错误；

选项C,由4的图象可得。<0力<0,可得直线"的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错

误；

选项D,由4的图象可得“>0/>0,可得直线4的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误.

故选：A.

4.（24-25高二上•全国•课后作业）过点作直线/,则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线/的条数

为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】设直线/的方程为?+a=1("0),将点(用代入直线/的方程，然后由判别式判断即可.

【详解】设直线/的方程为:+三=1("0),

将点D代入，可得：+$1("0),

\JJJCC乙

即3/-6。+2=0,

由于A=36-4x3x2=12>0,

所以方程3a2-6a+2=0有两个根，

故满足题意的直线/的条数为2.

故选：B.

5.(24-25高二上•全国•课后作业)已知直线/过点(3,5),且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为

()

A.x+y+8=0B.5x-3y=0

C.5x—3y=0或X+y-8=0D.5%-3>=0或x+y+8=0

【答案】C

【分析】当直线/经过原点时，直线方程为5x-3y=0；当直线/不经过原点时，设直线方程为2+上=1,把

aa

点(3,5)的坐标代入即可得出.

【详解】由题得当直线/在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为y=即5x-3y=0；

当直线/在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为二+义=1,

aa

将(3,5)代入可得a=8,此时直线方程为x+y-8=0.

综上，直线/的方程为5x-3y=0或x+y-8=0.

故选：C.

二、解答题

6.(24-25高二上•吉林・月考)求符合下列条件的直线方程:

⑴直线过点引-1,-3),且斜率为一：；

(2)直线过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍.

【答案】⑴x+4y+13=0

(2)x+2y-4=0^x-2y=0.

【分析】(1)由直线的点斜式方程求解即可.

(2)分截距为0和不为0两种情况求解.

【详解】（1）因为直线过点A（T-3）,且斜率为-；,

所以y+3=-：（x+l）,化简可得：尤+4y+13=0.

（2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为〉=H.

•.•直线过点（2,1）,

；.l=2knk=；,即直线的方程为无一2y=0.

当截距均不为0时，设直线的方程为白+工=1.

2aa

•.•直线过点（2,1）,

21

A—+-=1,解得〃=2,即直线方程为x+2y—4=0.

2aa

综上，所求直线方程为x+2y—4=0或尤_2y=0.

【题型04:直线与坐标轴围成的图形面积问题】

一、单选题

1.（24-25高二上・甘肃白银・期末）过点（-1,3）且斜率为2的直线/与坐标轴围成的三角形的面积为（）

25「25「5

A.—B.—C.—D.一

2424

【答案】B

【分析】利用点斜式求得直线/的方程，求得直线/与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积.

【详解】依题意得直线/的方程为y-3=2（x+l）,即y=2x+5,

则直线/与坐标轴的交点分别为8（0,5）,

所以=

故选：B

2.（24-25高二下•湖南•月考）已知直线,经过点P。,2）,与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，。为

坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【分析】不妨设直线/分别交X、》轴于点A（。,。）、3（0力），则。>0,b>0,可得出直线/的截距式方程

为二+§=1,结合已知条件可得出工+工=1,利用基本不等式可求得VA03面积的最小值.

abab

【详解】不妨设直线/分别交X、y轴于点4（。,0）、3（0力），则a>0,b>0,

故VA03的面积的最小值为4.

故选：C.

3.（23-24高二上.江苏徐州•月考）若过点尸（3,2）的直线/与坐标轴交于A,2两点，围成三角形AO2的面积

为16,则符合条件的直线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

32,

---1---=1

【分析】由题意可设直线/的方程为：二+；=1,贝！I。力满足关系式;b，化简得3廿一32弧-2|=0,

ab即4=16

对方进行分类讨论即可求解.

【详解】由题意直线/显然不过原点，所以不妨设直线/：-+t=l,A（«,O）,B（O,0,

ab

又点尸⑶2）在直线,上，所以r/i,

又三角形的面积为16,所以三必1=16，,卜普，

所以整理得助2-32也-2|=0；

b32

Q

当622时，方程3k一32也一2|=0变为3〃一32"64=0,解得用或a=822满足题意,

QO9

将4=：和4=8分别代入-+f=l,解得对应的。分别为4=12,g=4；

3ab

当6＜2时，方程笫-32忸-2|=。变为%2+326-64=0,解得&=士子也＜2或仇=匚等也＜2满足题

意，

将以=-16-877和々=-16+8＞/7分别代入|+|=1,解得对应的a分别为为=-8+477,4=-8-4万；

综上所述：满足题意的直线为：二+春=1,他{1,2,3,4},共有4条.

6a

故选：D.

二、解答题

4.(24-25高二上•甘肃庆阳・月考)直线/过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.

(1)求直线/的方程

(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积.

【答案】(l)x+3y-9=0或4x-y+16=0

⑵号27或32

【分析】(D设直线/的方程为土+；=1,将点(-3,4)代入，进一步求出。和6的值，从而求出答案;

ab

(2)借助(1)中求出的。和6,结合面积公式即可求.

【详解】(D由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,

因此直线/在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，

故可设直线方程为：-+^=1,且a+6=12,①

ab

又因为直线/过点(-3,4),

所以---—19②

ab

a=9a=-4

由①②解得6=3或

b=16

所以直线/的方程为：＞宗।或£+尚=1，

即x+3y-9=0或4%-y+16=0.

(2)由(1)可知，当直线/的方程为％+3y-9=0时,

1177

S=^\a\\b\=^x9x3=—

当直线/的方程为4x-y+16=0时,

|Z)|=lx4xl6=32,

所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为机或32.

5.(24-25高二上•广东东莞•期中)直线/的方程为(a+l)x—y-3a-l=0,aeR.

(1)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；

⑵若直线/分别交x轴、)轴的正半轴于点A、2,点0是坐标原点.若VAOB的面积为16,求。的值.

【答案】⑴x+y-5=0或2x-3y=0

(2)a=—3或a=-----

【分析】(D根据直线截距的概念，分别令％=0、尸。列式求解即可；

(2)分别求出直线在X轴、y轴的截距，代入三角形面积公式可得5=-学?，直接解一元二次方程求

解.

【详解】(1)当。+1=0即。=-1时，直线/的方程为y=2,不满足题意；

当a+1/O,即。力-1时，令x=0得y=-3。-1,令y=0,得力="+1,

由截距相等得”解得。=-2或。=-〈，

a+13

当a=-2时，直线/的方程为x+y-5=0,当。=一；时，直线/的方程为2x-3y=0,

故综上所述，所求直线/的方程为x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由题意知，4+1H0,-3。-1W0,且/在x轴、y轴上的截距分别为"、-30-1,

所以<a+l，解得av-l,

-3a-l>0

（3a+l）

所以VA03的面积s=5

2（Q+1）

由题意知-学2=16,化简得9/+38a+ll=0,解得。=-3或。=-?，均满足条件,

所以。=一3或。=-心

串知识识框架

方程的推导

Jf_X一甬

一、直线的两点式方程

必一M巧一再

当斜率为或者

使用条件0

斜率不存在不能使用

方程的推导

xy,

直线的两点式方程二、直线的截距式方程-+-=1

ab

使用条件Q,b#0

丫=心

2

三、中点坐标公式

V=M+为

2

8过关测稳提升

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课后作业）已知直线/：］=1,则直线/在＞轴上的截距为（）

A.-5B.5C.-2D.2

【答案】C

【分析】利用截距式及截距的定义即可得出.

【详解】直线/的方程为W=l,即三+3=1,

故直线/在y轴上的截距为-2.

故选：c.

2.（24-25高二上•全国•随堂练习）过点（1,2）,（5,3）的直线方程是（）

Ay-2_x-ly-2_x-l

5-13-13-25-1

C.2Z1"D.±=士

5-12-35-21-3

【答案】B

【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.

【详解】因为直线过点（L2）,（5,3）,所以直线方程为y[=

3—25—1

故选：B.

3.（24-25高二上•江苏镇江・月考）过点4（2,1）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.尤-y=lB.x+y=3

C.尤-2y=0或x+y=3D.x-2y=0或x-y=l

【答案】D

【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0,截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方

程后带点即可.

【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：a,b,则。+6=0

①。=6=0,则直线过原点，则直线方程为：无-2y=0

②。*0,力力0贝=则设直线方程为：二+上=1,即2+工=1,则。=1,・•.直线方程为：x-y=l

a-aa-a

综上所述：该直线方程为x-2y=0或x-y=l

故选：D

4.（23-24高二上•四川成都•期中）直线/过点A（2,3）,则直线/与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积

最小值为（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】利用截距式设直线/的方程得到26+3a=/，然后利用基本不等式求最值即可.

【详解】设直线/：二+；=1,

ab

因为直线/过点A（2,3）,所以—+；=1,即力+3°=必，

ab

所以2Z?+3a=2212b.3a,解得〃匕之24,当且仅当2Z?=3〃，即〃=4,人=6时等号成立，

则直线/与X轴、y轴的正半轴围城的三角形面积S=：a6N12.

故选：B.

二、多选题

5.（23-24高二上・安徽•期中）已知直线/：y=-x,其中4，4，/的图象如图所示，直线4，4的斜率分别

为k、,k2,纵截距分别为仿，b2,则下列说法正确的是（）

A.一12<0B.K<k2<-1

2>0

C.b>bD.

x2包

【答案】AC

【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断.

【详解】解：由图可知，左＜-1＜右＜0,b2＜o＜blt

故选：AC.

6.（24-25高二上•吉林・月考）已知直线/过点（0,2）,（也,1）,则（）

A.直线/的倾斜角为150。

B.直线/的两点式方程为黑=匕?

2—10—v3

c.直线/的一个方向向量为（1,-

D.直线I的截距式方程为总+楙=1

【答案】ABD

【分析】先求出直线/的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A,C；由直线的

两点式、截距式可判断B,D.

1-2_

【详解】因为直线/过点（0,2）,（百」）,所以直线/的斜率为,倾斜角为150。，故A正确,

省-0一3

C不正确;

直线/的两点式方程为上口=土金，整理易得截距式方程为义+。=1,所以B,D正确.

2-10-62V32

故选：ABD.

7.（23-24高二上•广东广州•期中）下列说法不氐随的有（）

A.直线的倾斜角越大，斜率越大

B.过点网者,另）,。（々，%）的直线方程是:上=上二2k

再一冗2%一必

C.经过点（1,1）且在X轴和y轴上截距相等的直线有2条

D.直线］-1=1在y轴上的截距是3

【答案】ABD

【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论

即可判断C；根据直线的截距式即可判断D.

【详解】对于A,当倾斜角为60。时，斜率为G，

当倾斜角为120。时，斜率为-若，故A错误；

对于B,当玉=%时，斜率不存在，故B错误；

对于C,当直线过原点时，直线方程为了=彳，

当直线不过原点时，设直线方程为2+上=1,

aa

则,+工=1,解得4=2,

aa

所以直线方程为］+±=l,

综上所述，经过点(U)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故c正确；

对于D,直线WY=1,即1+==1,

232-3

故直线直线］-1=1在y轴上的截距是-3,故D错误.

故选：ABD.

8.(2024高二上•全国•专题练习)下列说法不正确的是()

A.过任意两点Aa,%),川无。,力)的直线方程可以写成之二人=七三

%一%%2一玉

B.若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为-1

C.若直线的斜率为1,则直线在x轴和y轴上的截距之和为0

D.若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1

【答案】ABD

【分析】根据直线的各种位置判断A,由截距的概念、斜率的概率判断BCD.

【详解】当芯=%或%=%时，直线方程不能写成"=二』，故A错误；

%一乂％2—玉

当直线过原点时，在上轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为-1,故B错误；

设直线在y轴上的截距为心则直线方程为丁=尤+氏令y=o,

得直线在x轴上的截距为-弧于是6+(-6)=0,故C正确；

若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1,故D错误.

故选：ABD.

三、填空题

9.（24-25高二上•全国・课后作业）己知直线/的两点式方程为达=与二，贝心的斜率为.

2+3-3-0

【答案】

【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案.

【详解】原方程即为三=-$,此即y=-x-3,所以/的斜率为

故答案为：-g.

10.（2024高二.全国.专题练习）（1）若直线/经过点42,-1）1（2,7）,则直线/的方程为；

（2）若点尸（3,帆）在过点A（2,-l）,B（—3,4）的直线上，贝卜〃=.

【答案】尤=2-2

【分析】（D由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程；

（2）利用斜率两点式列方程求参数.

【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线,没有两点式方程，所求的直线方程为x=2.

（2）由斜率两点式即生厂^=-1,可得利=-2.

故答案为：x=2；-2.

11.（23-24高二上.北京・月考）直线:-三=1与坐标轴围成的图形面积为_______.

23

【答案】3

【分析】结合截距式的含义直接求解即可.

【详解】直线故x轴上的截距为2,y轴上的截距为-3,

所以面积为：・21-31=3.

故答案为：3

12.（23-24高二上•北京顺义•期中）平面直角坐标系中，已知直线/过点（0,4）,与两坐标轴围成的三角形

的面积为4,则直线/的方程为.

【答案】y=±2x+4

【分析】

根据题意假设直线/的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解.

【详解】

依题意，直线/的两个截距都不为0,故设直线/为二+哲=1,

ab

*=1

aba=±2

则,解得

加例=4Z?=4

所以直线/为W+==l,即尸±2犬+4.

±24

故答案为：y=±2x+4.

13.(23-24高二・全国•假期作业)若A(2,5),3(4,1),则直线AB的方程为；设直线48与两坐标

轴的交点为A，8且点尸(X,y)在线段AB1.,则孙的最大值为.

【答案】2尤+了-9=0号

O

【详解】由两点式得言=2,整理为2x+y-9=0.又尸(x,y)在A8上，

x>0,y>0,...孙=；(2x).ywg产？=gx[||=y99

，当且仅当2『，即等号成立.

所以孙的最大值为M.

O

14.(23-24高二上•广东广州•期末)已知直线/过点尸(1,2)且与x轴、y轴分别交于430),8(0,b)(a>0,/