2025年人教版八年级数学上册专项复习：作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）含解析

专题12.37作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）

（专项练习）

“截长补短”是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法.当题目中出现三条线段间

的和差关系时（如a=b+c），常考虑用此法解决.所谓"撤”,就是将最长的线段a截成两段，使其

中一段等于较短的一条线段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段

5所谓〃补〃,就是将较短的线段6延长,使延长的线段长度为c,相当于将线段b,c拼成一条

线段,再证明此线段的长等于a.用截长补短法解决问题的关键，是用〃截〃或〃补”的手段去构

造线段.

一、解答题

1.（1）阅读理解：问题：如图1,在四边形A3。中，对角线4。平分448C,

ZA+ZC=180°.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在8c上截取=连接得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长8A到点N,使得BN=BC,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中住羊：牡，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2,在（1）的条件下，连接AC,当/必。=60°时・，探究线段A8,

BC,3。之间的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3,在四边形ABC力中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点。作

DELBC,垂足为点E,请直接写出线段AB、CE、8C之间的数量关系.

2.在△ABC中，人。为△ABC的角平分线，点E是直线8c上的动点.

(1)如图1,当点石在CB的延长线上时，连接AE,若NE=48。，AE=AD=DC,则

NABC的度数为.

(2)如图2,AO48,点〃在线段A。延长线上，比较AC+BP与A8+CP之间的大小

关系，并证明.

(3)连接AE,若ND4E=90。，N84C=24。，且满足A8MC=EC,请求出N4C3的

度数(要求：画图，写思路，求出度数).

3.等边A/WC中，点H、K分别在边BC、4c上，且AK=C“，连接A”、BK交于

点F.

(1)如图1,求N4/3的度数:

⑵连接6若NMC=90。，求就的值;

(3)如图2,若点G为AC边的中点，连接卬，且A尸=2FG,则NBFT；的大小是

G

B

图2

4.如图1,在等访三角形ABC中，于£>,CEJ_/W于与CE相交于点。.

(1)求证：OA=2DO；

(2)如图2,若点G是线段A。上一点，CG平分/8。区/86尸=60。,6尸交CE所在直

线于点求证：GB=GF.

(3)如图3,若点G是线段上一点(不与点。重合)，连接8G,在8G下方作

N3GF=60。,边GF交CE所在直线于点F.猜想：OGQF、OA三条线段之间的数量关系，

并证明.

与BE之间有怎样的等量关系，并证明.

8.如图，在正方形48C。中，点E在射线BC上，连接人E,作所_L4E,且放交正

方形外角的平分线C尸十点尸.

(1)若点E在边BC的中点处时，AEEF(填“>'V"或心”)

(2)若点E为边8C上的任意一点(不含点8,C),探究此时AE与E/的数量关系,

并说明理由.

(3)若点£是边4C延长线上的一点，探究此时AE与E/的数量关系，并说明理由.

9.阅读材料并完成习题:

在数学中，我们会用“截长补短''的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如

图1,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD

的面积.

解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE经△DAC,根据

全等三角形的性质得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,则

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90°,得S四边形

ABCD=SAABC+SAA[X：=SAABC+S&ABE=SAAEC＞这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角

形EAC面积.

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2.

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题.

如图2,己知FG二FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五边形FGHMN的面积.

10.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD,以D为顶点作

ZMD7V,交边AC,BC于点M,N.

（1）如图（1）,若ZACD=30。，NMDN=,当乙WDN绕点D旋转时，AM,MN,

BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）如图（2）,当NACQ+NA〃W=90。时，AM-MN,BN三条线段之间有何数量

关系？证明你的结论；

（3）如图（3）,在（2）的条件下，若将M,N分别改在CA,BC的延长线上，完成

图（3）,其余条件不变，RlJAM,MN,BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）.

il.已知等腰△ABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DE〃BC,交直线AC与点E,

且BD=BC,CH1AB,垂足为H.

(1)当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE：

(2)当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线段AB延长线上时，如图3,

直接写出BH,之间的数量关系，不需要证明.

12.如图，正方形4BC。的对角线相交于点。.点E是线段。。上一点，连接CE.点

产是NOCE的平分线上一点，且尸与CO相交于点M,点G是线段CE上一点，且

CO=CG.

(1)若OF=4,求FG的长;(2)求证：BF=OG+CF.

13.在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：

如图①，在四边形八BCD中，E是边CO的中点，A石是44。的平分线，AD//BC.

求证：AB=AD+BC.

小聪同学发现以卜两种方法：

方法1：如图②，延长AE、BC交于点、F.

方法2：如图③，在A8上取一点G,使AG=AD,连接EG、CG.

(1)请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；

(2)如图④，在四边形A8C。中，AE是ZMZ)的平分线，E是边。。的中点，NWD=60。,

/。+1/8。。=180。，求证：CB=CE.

2

14.如图1,在A4BC中，ZAC8是直角，ZB=60°,AD,CE分别是々AC、NBC4的

平分线，AD.CE相交于点尸.

(1)求出乙的度数；

（2）判断正与尸。之间的数量关系并说明理由.（提示：在AC上截取CG=CQ,连

接尸G.）

（3）如图2,在^A48C中，如果4C3不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判

断线段AF、。。与AC之间的数量关系并说明理由.

15.阅读下面材料，完成⑴•⑶题.

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图I,已知等腰△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左

侧作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F.请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,

并证明.

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现NDFC的度数可以求出来.”

小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系.”

小伟：”通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决.”

老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE,其它条件均不改变，请在图2中补全

图形，探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论.”

（1）求NDFC的度数；

（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；

（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明.

A

16.数学课匕小白遇到这样一个问题：

如图1,在等腰用A4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求证NA8E=NA8；

在此问题的基础匕老师补充：

过点A作A/_L8E于点G交8c于点尸，过广作FP_LC。交距于点P,交CD于点H,

试探究线段切，FP,瓶之间的数量关系，并说明理由.

小白通过研究发现，NA所与/小（有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条宜线上，即“截长补短”，再通过进

一步推理，可以得出结论.

阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证N43E=ZA8：

（2）猜想4所与的数量关系，并证明；

（3）探究线段3P,FP,"之间的数量关系，并证明.

图1图2

17.已知等边AA8c中，点。是边AC,AC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线

AC,8。上且NMON=60°,

（1）如图所示，点M,N分别在边AC,BC上，求证：AM=CN+MN；

AM+CN

(2)如图所示，点M在边人。上，点N在的延长线上，求MN的值.

参考答案

(1)证明见分析；(2)AB+BC=BD；理由见分析；(3)BC-AB=2CE.

【分析】

(I)方法卜在BC上截取=连接ZW,得到全等三角形，进而解决问题;

方法2：延长84到点N,使得BN=BC,连接ON,得到全等三角形，进而解决问题；

(2)延长CB到点P,使连接人P,证明△E4&M4O,可得PC=BD,

即PC=8P+8C=A8+8C

(3)连接B。，过点。作_LAC于尸，证明ADEAgADEC,RtABDF^RtABDE,

进而根据2C=AE+CE=B4+4/+CE=B4+2CE即可得出结论.

解：(1)方法1：在"C上截8M=A4,连接£>例，如图.

3£>平分ZA8C,

ZABD=4CBD.

BD=BD

在AABD和M1BD中，，NABI)=NMBD,

BA=BM

:MBD^MBD、

:.ZA=NBMD,AD=MD.

•・4BMD+/CMD=180，NC+NA=180°.

.-.ZC=ZCMD.

:.DM=DC,

DA=DC.

图1

方法2：延长KA到点N,使得身V=8C,连接。N,如图.

B

D

图1

平分ZABC,

:./NBD=4CBD.

BD=BD

在ANBD和ACBD中，、4NBD=/CBD,

BN=BC

:位Bg&CBD.

:.ZBND=ZC,ND=CD.

N/VA£>+N/MO=180°,

ZC+ZBAD=l8(r.

.•.ZBND=/NAD,

DN=DA,

：.DA=DC.

(2)AR.BC、B。之间的数量关系为：AB+BC=BD.

(或者：BD—CB=AB,BD-AB=CB).

延长C8到点。，使6P=8A，连接”，如图2所示.

D

图2

由（I）可知A£）=C。,

.•ND4C=60.

.•.A/UX;为等边三角形.

AAC=AD,ZADC=60).

•.N8CO+N84O=180，

ZABC=360-180-60'=120’.

NPBA=180-ZABC=60\

•;BP=BA，

.•.AABP为等边三角形.

/.ZPAB=60\AB=AP.

•t-ZDAC=60，

/.ZPAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC,

即N21C=N84。.

PA=BA

在MAC和中，NPAC=N8AD,

AC=AD

.NAggAD.

；.PC=BD,

PC=BP+BC=AB+BC,

：.AB+BC=BD.

(3)AB,CE,8C之间的数量关系为：BC-AB=2CE.

(或者：BC-2CE=AB,AB+2CE=BC)

解：连接过点。作_L4C于尸，如图3所示.

图3

•.ZBAZ)+ZC=180\ZBAD+Z.FAD=M.

ZMD=ZC.

ZDFA=/DEC

在和AOEC中，，NFAD=NC,

DA=DC

/.ADM^ADEC,

:.DF=DE,AF=CE.

在RtABDF和Rt\BDE中，

BD=BD

DF=DE'

/.RtABDF^RtAfiDE.

;.BF=BE,

BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,

BC-BA=2CE.

【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.

2.（I）108°；（2）AC+BP>AB+PC,见分析；（3）44°或104°；详见分析.

【分析】

（1）根据等边对等角，可得“=NAOE,ND4C=NC,再根据三角形外角的性质求

出ZADE=2ZDAC=48°,由此即可解题；

（2）在AC边上取一点“使构造尸.AMP，根据MP+MC>PC即可得

出答案；

（3）画出图形，根据点石的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长C4

到G,使可得GC=EC,可得/G=NGEC,设Z4CB=2r,则NG=/6£€=90。一工；

根据NB4C=24。，4。为AABC的角平分线，可得NB4O=ND4C=12。，TiJiiE

（SAS）,得出ZA8E=NG=90°-x,利用还有ZABE=240+2x,列方程90。一工=24°-2x：

当点E在8。上时，NEADV90。，不成立；当点E在CD上时，ZEAD<90°,不成立；当

点E在3C延长线上，延长C4到G,使AG=43,可得GC=EC,得出NG=NGEC,设

幺CB=2x,则NG=NGEC=R；ZB/1C=24°,根据人。为△人4c的角平分线，得出

ZBAD=ZDAC=\20,证明AAG石三qAB石（SAS）,得出NABE=NGy，利用三角形内角

和列方程工+24。+2工=180。，解方程即可.

解：（1）'：AE=AD=DC,

AZE=ZADE,ADAC=AC,

•••NE=48°,ZADE=ZDAC+ZC,

ZADE=2^DAC=4S°,

1人。为△/WC的角平分线，BPZBAC=2ZDAC,

JNB4C=48。；

ZABC=180°-48°-24°=108°

(2)如图2,

在AC边上取一点M使AM=ABf连接MP,

在"8尸和一AA。中，

AB=AM

ZBAP=ZMAP,

AP=AP

A^ABP^AMP(SAS),

/.BP=MP,

'；MP+MC>PC,MC=AC-AM,

/.AC-AB+BP>PC,

・•・AC+BP>AB+PC,

(3)如图，点E在射线C8延长线上，延长CA至l]G,使AG三48,

*：AB+AC=EC,

：,AG+AC=EC,即GC=EC,

・•・ZG=ZGEC,

设ZACT=2v,则NG=ZGEC=90°-x；

又NBAC=24。，4。为AAAC的角平分线，

・•・ZBAD=ZDAC=\20,

又•・•ZDAE=90°,

・•・NR4E=90°-/BAD=78°,ZGAE=90°-ZDAC=78°，

・•・ZBAE=NGAE,

在△AGE■和△ABE中,

AE=AE

<NGAE=NBAE,

AG=AB

：.^AGEABE(SAS),

・ZABE=ZG=90°-x,

又・*ZABE=ZBAC+ZACB=24°+2x,

.90°-x=24°+2.v,

解得：x=22。,

JZACB=2r=44°；

当点七在BD上时，/E4DV90。，不成立;

当点E在CO上时，ZEAD<90°,不成立;

如图，点E在回延长线上，延长CA到G,使AG二AB,

•・・48+AC=EC,

：.AG+AC=EC,即GC=EC,

・•・NG=4GEC,

设ZAC5=2Y,则NG=NGEC=X；

又・・・N/MC=24。，A。为AA/3C的角平分线，

・•・ZBAD=ZDAC=\20,

又・・・ND4石=90。,

・•・ZI3AE=90°+/BAD=102°,/GAE=90°+ADAC=102°,

・•・NBAE=NGAE,

在..AGE和△ABE中，

AE=AE

，NGAE=NBAE,

AG=AB

A^AGE^ABE(SAS),

JZABE=NG=K,

/.x+24u4-2x=18U",

解得：x=52。，

・•・ZACB=2x=104°.

・•・ZACB的度数为44。或104。.

【点拨】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形

外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和

角的关系是解题关键.

3.(1)120°；(2)2：(3)120°

【分析】

(1)由AA8C是等边三角形，可得出A8=AC=8C,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

再利用AK=C”，可证△A4KgAC4"(SA$'),得出NC4H=N4BK,由

/BFH=ZABK+ZBAF=NCAH+NBAF可求出NBFH，最后由补角定义求出ZAFB.

(2)在M上取点。，使8。=AE,由ZAFB=120°可证ZAFC=150。，再利用AB=AC,

ZABD=ZCAF,B/)=AF可证明AA双注AC4*SAS'),进而求出NADB=NCE4=150。，

再用补角的性质得知ZAFD=120°,在VAFD中利用外角的性质可求出

ZFAD=ZADB-ZAFD=30°,进而证出VA£O为等腰三角形，最后可证出

BF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长肝至E，使AA所为等边三角形，延长死交CE于丁，可得出

^ABF^^ACE(SAS),进而得出NA£C=NA/必=120。，利用角的和差得出

ZFET=60°=ZAFE，则证出AE//EC,进而证出AAFG^AC7U(A4S)，再利用A/=2FG,

AF=所证出MFT为等边三角形，进而证出NBFG=120°.

解：(I)•・•A48C是等边三角形，

AAB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在A4BK和AC4”中,

AB=CA,/BAK=NACH,AK=CH,

・,.MBK^CAH(SAS),

ZCAH=^ABK,

，/BFH=ZABK+NBAF=ZCAH+NBAF=60°,

ZAra=180°-ZBFH=180°-60°=120°.

(2)在8尸I.取点£>,使6D=A尸.

A

BHC

由(1)知NAFB=120。，

又/6bC=90。，

，Z4FC=150°.

在和尸中，

VAB=AC,ZABD=/CAF,BD=AF，

：.AABD^AC4F(SAS),

/.ZADB=NCFA=150°、

：.Z77M=30°,

•・•Z4TO=120°,

・•・ZFAD=ZADB-ZA7D=30。，

；・NFDA=NFAD,

・•・A尸=Z)尸，

,/BD=AF,

BD=DF=AF,

JBF=BD+DF=2AF,

・•・BF:AF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目测即得答案,详细埋由如下:

由（1）知4F8=120。.延长M至E,使A4庄为等边三角形.

延长AG交CE于7.

VZ^F+ZMC=ZMC+ZC4E=60°,

?.NBAF=NCAE,

在△物厂和VC伤中，

AF=AE

ZBAF=ZCAE,

AB=AC

MBF^^ACE(SAS),

ZA£C=ZAra=120°.

・•・NFET=&)o=NAFE、

AF//EC.

/.ZE4G=ZTCG,ZAFE=Z7EF=60°

在「AFG和..C7U中，

4FAG=4TCG

AG=CG,

NFGA=NTGC

・•・MFG^ACTC(AAS),

：.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

EF=FT,

IZ4FE=Z7EF=60°

・•・AEF7为等边三角形，

・•・NEFF=60。

・•・4BFG=180°-NEFT=120°.

【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判

定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

4.(1)见分析；(2)见分析；(3)OF=OG+OA,理由见分析

【分析】

(1)由等边三角形的可求得/。4C=NOA8=/OC4=NOC8=30。，理由含30。角的直角

三角形的性质可得0c=20。，进而可证明结论；

(2)理由ASA证明△CGB0ZXCG厂即可证明结论；

(3)连接OB,在OF上截取OM=OG,连接GM,可证得△0MG是等边三角形，进而

可利用ASA证明△GMaAGOB,得到MF=OB=OA,由0F=0M+M/可说明猜想的正确性.

解：(1)证明：:△ABC为等边三角形，

：.AB=BC=AC,/8AC二/AC8=60。，

*：ADLBC,CELAB,

・・・4。平分N/MC,CE平分NAC8,

.•・ZOAC=ZOAB=ZOCA=ZOCB=30°,

：,OA=OC,

在心AOCO中，ZODC=90°,ZOCZ>30°,

二.00=200,

：,OA=2ODt

(2)证明：\*AB=AC=BC,ADLBC,

:・BD二CD,

・•・BG=CG,

・•・/GCB=NGBC，

•・・CG平分26CE,

・•・/FCG=/BCG=gZBCF=\50,

AZBGC=150°,

,/ZBGF=60°,

・•・ZFGC=360°-ZBGC-ZBGF=150°,

:./BGC=/FGC,

在^CGBCG尸中,

ZGCB=ZGCF

•CG=CG,

NBGC=NFGC

・•・△CGBW△CGFCASA),

:,GB=GF；

(3)解：OF=OG+OA.理由如下：

连接08,在。尸上截取0M=0G,连接GM,

：,AE=BE,

・・・0A=0B,

・・・NOAB=NO8A=30。，

・・・NAO8=120。，NAOM=N8OM=60。，

Y0M=0G,

•••△OMG是等边三角形，

・•・GM=GO=OM,ZMGO=ZaWG=60°,

•・•ZBGF=60°,

・•・/BGF=/MGO,

・•・/MGF=/OGB,

•・・/GM广=120°,

・•・/GMF=/GOB,

在^GO8中，

NMGF=NOGB

<GM=GO,

NGMF=/GOB

MGMFWAGOB(ASA),

：.MF=OB,

：.MF=OA,

•.•OF=OM+MFt

：,OF=OG+OA.

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30。

角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角

形全等是解题的关键.

5.2

【分析】

延长AC至点P,使CP=BE,连接PO,证明△BDEACOP(SAS)推出。E=OP

/BDE=NCDP,进而得到N£D/=NPZ*=60。，从而证明△。“^△。夕尸(加S),推出

EF=CP,由此求出二A所的周K=AB+AC得到答案.

解：如图，延长4c至点P，使。尸=8£：,连接PO.

•・•ABC是等边三角形，

・•・Z4BC=ZAC3=60°.

VBD=CD,ZBDC=\20°,

・•・NDBC=/DCB=3。。,

・•・NEBD=NDCF=9QP,

・•・NDCP=NDBE=900.

BD=CD

在BDE和ACDP中，，NDBE=NDCP,

BE=CP

・•・△BDEACDP(SAS),

:.DE=DP,Z.BDE=Z.CDP.

VZ^/>C=120°.ZEDF=60%

・•・/BDE+NCDF="。,

ZCZ)P+ZCDF=60°,

JZEDF=ZPDF=60°.

在4•。所和..OAF中，

DE=DP

<NEDF=4PDF,

DF=DF

△DEFdDPF(SAS),

:・EF=FP,

JEF=FC+BE,

・・・cAM的周长=AE+b+AE=A8+AC=2.

【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等

角的性质，题中辅助线的引出是解题的关键.

6.（1）A3+CD=8C,见分析；（2）成立，见分析

【分析】

（1）先写出数量关系，过E作印_LAC于/，然后证明ACDE二△CPE和

便可得结论了.

（2）成立，在AC上截取B=CD证明ACDE三ACFE和AABE3NBE,便可得到结论.

解：（1）48+CO=8C

理由是：过£作所_L8C于尸

CE为角平分线

:"DCE=/FCE

.•AB//DC,ABJ.AD

ZD=90

YEF工BC

:.ZD=ZCFE

CE=CE

ACOE二ACFE(AAS)

:.CD=CF

同理可证:WBE三^FBE(AAS)

:.AB=BF

CF+BF=AB

AB+CD=BC

(2)成立

理由：在BC上截取b=cr>

CE为角平分线

:.ZDCE=ZFCE

:CE=CE

ACDE^ACFE(SAS)

:.CD=CFZD=ZCFE

TAB//DC

ZD+ZA=180

又•.ZCFE+EFB=\S0

:.ZA=NEFB

又一把是角平分线

:.ZABE=AFBE

BE=BE

^BAE=^BFE(AAS)

..AB=FB

CF+BF=AB

AB+CD=BC

7.AB=AD+2BE,证明见分析

【分析】在AB上截取EF,使EF=BE,联结CF.证明BC哈ECF(SAS),得到

4B=/BFC,又证明4A尸&..AZ)C,得到八尸=4。，最后结论可证L

解：在AB上截取EF,使EF=BE,联结CF.

CELAB

:"BEC=4FEC=3)。

在二6CE和AEb

BE=EF

<NBEC=NFEC

CE=CE

.;BCEqECF(SAS)

ZB=ZBFC

zd?+ZD=180°

又.ZBFC+ZAFC=180°

ZD=ZAFC

AC平分/BAD

:,ZFAC=ZDAC

在△AFC和LADC中

ZAFC=ZD

<ZFAC=ZDAC

AC=AC

.^AFC^^ADC[AAS)

AF=AD

AB=AF+BE+EF

AB=AD+2BE

【点拨】本题考查三弟形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅

助线加以证明.

8.(1)=；(2)AE=EF,见分析；(3)，见分析

【分析】

(1)作辅助线,AH=EC,ZI=Z2,ZAHE=ZECF=180°-45°=135°,则△AHEgAECF；

(2)作辅助线，仍然证明△AMEgZXECF得出结论：

(3)做辅助线，仍然证明AWE四△£€尸得出结论.

解：⑴

证明：取AB的中点H,连接EH；

•••ABCD是正方形，

AEXEF；

AZ1+ZAEB=9OU,

Z2+ZAEB=90°

AZ1=Z2,

VBH=BE,ZBHE=45°,

且/FCG=45°,

.\ZAHE=ZECF=135°,AH=CE,

AAAHE^AECF,

AAE=EF；

(2)在A4上取一点M,使得AM=EC,连接ME

・•・N8ME=45。

，ZAME=135°

・・・CT是正方形外角平分线

・•・/DCF=45。

/.NEC户=135。

・•・ZAME=/ECF

•・•ZAEI3+NBAE=90°.ZAEB+NCEF=90°

・•・ZBAE=^CEF

J△AME四△反尸

・•・AE=EF

(3)在6A的延长线上取点N,使/W=CE,连接NE

・•・BN=NE

/.Z^=Z/VLC'=45V

•・•C厂是正方形外角平分线

:.NFEC=45。

:.d=4FEC

•・•四边形A8CD是正方形

ADBE

・•・NDAE=/BE\

即？。4£9077BEA90?

・•・ANAE=ZCEF

・•・/XANE^^ECF

：.AE=EF

【点拨】本题是四边形的综合题，综合考杳了正方形、全等三角形的性质和判定，解决

此类撅的双路为：构造两个三角形全等：熟练掌握正方形的性质是本撅的关键.

9.(1)2；(2)4

【分析】

(I)根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,由(I)易证人/

则有FK=FH,因为HM=GH+MN易证二EW”，故可求解.

故答案为2：

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,如图所示:

FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,

ZFNK=ZFGH=90°,:.LFGH沿.FNK,

•••FH;FK,

又「FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

.•JMKaFMH,

MK=FN=2cm,

=

•t,S五边形朽〃附,=S、FGH+SHFM+S_MFN2s,期、=2x—MK-FN=4.

【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面

积的运用.

10.(1)AM+BN=MN；证明见分析：(2)AA1+BN=MN；证明见分析；(3)

补图见分析；8N—AM=MN；证明见分析.

【分析】

(1)延长CB至l」E,使BE=AM,iiEADAM^ADBE,推出NBDE=NMDA,DM=DE,

证4MDN^AEDN,推出MN=NE即可；

(2)延长CB至IJE,使BE=AM,证△DAMgADBE,推出NBDE=NMDA,DM=DE,

证4MDN^AEDN,推用MN=NE即可；

(3)在CB截取BE=AM,连接DE"iUDAMgZ\DBE,推出NBDE二NMDA,DM=DE,

证4MDN^AEDN,推出MN=NE即可.

解：(1)AM+BN=MN.证明如下：

如图，延长CB到E,使做=AM,连接DE.

.ZA=ZCBD=90°,

;.ZA=NEBD=90。.

ADCCDC,

：.AD=BD.

在△DAM和一DRE中,

AM=BE

</A=Z.DBE,

AD=BD

DAMDBE(SAS),

:.ZBDE="DA,DM=DE.

ZMDN=ZADC=/BDC,

:.ZADM=/NDC=/BDE,NMDC=NNDB,

:.^MDN=ANDE.

在△MZW和△££>%中，

DM=DE

-NMDN=NEDN,

DN=DN

:./\MDN乌△EfW(SAS'),

:.MN=NE.

NE=BE+BN=AM+BN,

：.AM+BN=MN；

(2)AM+BN=MN.证明如下：

如图，延长CB到E,使连接DE.

VZA=ZCBD=9O°.

:.ZA=ZDI3E=9O°.

.ADC-BDC,

.•.40=4。，ZADC=NCDB.

在和../»汨中，

AM=BE

<ZA=NDBE,

AD=BD

:.ADAMmADBE(SAS),

:.ZBDE=ZMDA,DM=DE.

vZMDN+ZACD=90°,ZACD+ZADC=90c,ZADC=NCDB,

：."DM=ZADC=乙3B,

:."DM=NCDN=NBDE,ZCDM=NNDB,

:.^MDN=ANDE.

在△MDV和△EOV中，

DM=DE

ZMDN=NEON,

DN=DN

「.△MONm△EDN(SAS),

:.MN=NE.

NE=BE+BN=AM+BN,

：.AM+BN=MN：

(3)补充完成题图，如图所示.

BN—AA4=MN.证明如下：

如上图，在CB上截取BE二AM,连接DE.

vZCm+Z4CD=90°,/MDN+ZACD=9(r,

:.4MDN=4CDA,

:.ZMDA=NCDN.

-ZB=ZCAD=90°,

/.Zfi=ZZMM=90n.

在△£>■川和..DBE中,

AM=BE

、NOAM=ZDBE,

AD=BD

DAMADBE(SAS),

：.4BDE=ZADM=乙CDN,DM=DE.

ZADC=NBDC=/MDN，

;.^ADN=NCDE,

:.^MDN=AEDN.

在△MDV和AEDN中,

DM=DE

<NMDN=ZEDN,

DN=DN

:./\MDN咨AEDN(SAS),

:.MN=NE.

NE=BN-BE=BN-AM,

:.BN-AM=MN.

【点拨】本撅考杳了牛等三角形的性质和判定的应月，作出辅助线构造全等三角形星解

题的关键.

11.(1)见详解；(2)图2：DH=BH-DE,图3：DE=DH+BH

【分析】

(1)在线段A"上截取=连接CM,CO,证明△OMC且△£>/,可得到

DE=DM,即可求解.

(2)当点。在线段见延长线上时，在即的延长线上截取MH=8”,连接CW,DC,

由题意可证△8"CgZ\C〃M,可得N8=NCM8,由题意可得N8=NAED，即可证

4DMCHDEC,可得。E=DW,则可得£归=瓦/一。石：当点O在线段A8延长线上时,

在线段A4上截取3〃=〃仞，连接CM,CD,由题意可证△8“。丝△C”M,可得

NB=NCMB,由题意可得NB=NAH>即可证△£>MC0Z\£>£C,可得DE=DM,则可得

DE=DH+BH.

解：(1)证明：在线段A“上截取连接CM，CD

VCHLAB,HM=BH

JCM=BC

，4B=4CMB

IAB=AC

・•・ZB=ZACB

•・•DEHBC

ZADE=NB=ZAED=ZACB,ZCDE=/BCD

・•・ZAED=ZBMC

ADEC=/DMC

•・•BD=BC

/BDC=ZI3CD="DC

'：CD=CD

・•・ACDMdCDE

・•・DM=DE

・•・BH+DE=DM+HM=DH

（2）当点。在线段朋延长线上时，DH=BH-DE

如图2：在84的延长线上截取=8"，连接CM,DC

•・•AB=AC

・•・ZABC=ZACB

BD=BC

JNBDC=NDCB

•・•DEI/BC

JZE=/ACB=/B=/EDB

・•CH=CH，BH=MH,4BHC=/CHM

・•・/XBHC^ACHM

・•・ZB=ZM

・•・NE=NM

•・•ZMDC=NB+ZDCB,ZEDC=ZBDC+ZEDB

JZMDC=ZEDC

又•・,/E=NM,DC=CD

；・ADEgADMC

，DE=DM

,/DH=MH-DM

・•・DH=BH-DE

当点。在线段4B延长线上时，DE=DH+BH

如图3：当点7)在线段A月延长线上时，在线段上截取=,连接CM,CD

•；BH=HM,CH=CH,NCHB=/MHC=90。

・・・ZABC=ZBMC

•・•AB=AC

/.NABC=ZACB

•・•BD=BC

・•・/BDC=NBCD

•・•BC//DE

：,/BCD=ZCDE,ZACB=ZAED

:・ZBDC=NCDE,NBMC=/AED,且CD=C£)

/.MDMdCDE

:・DE=DM

,/DM=DH+HM

・•・DE=DH+BH

【点拨】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定,

合理添加辅助线证全等是解题的关键.

12.(1)4；(2)见分析

【分析】

(1)根据条件证明△0。”0△GCR由全等的性质就可以得出而得出结论；

(2)在4尸上截取切上CF,连接。〃，通过条件可以得出△08”且△OCR可以得出

OH=OF,从而得出OG〃F〃，OH//FG,进而可以得出四边形0，/7G是平行四边形，就可

以得出结论.

解：(1);C尸平分/OCE,

••・ZOCF=ZECF.

•：OC=CG,CF=CF,

•・•在△0。尸和4GCF中，

OC=GC

・20CF=4ECF

CF=CF

:.△OCF@tGCF(SAS),

:,FG=OF=4

即/G的长为4.

(2)证明：在B/上截取BH=CE连接0”.

•・•四边形ABC。为正方形,

.\ACLBD,OB=OC.

・•・NBOC=900,

'：BFVCF,

Z«FC=90°.

•・•ZOBH=90°-ZOMB,ZOCF=90°-ZFMC,且ZOMB=/FMC,

・•・/OBH=/OCF.

•・•在△。8”和40c尸中

OB=OC

<NOBH=NOCF,

BH=CF

:•△OBH/2OCF(SAS).

：.OH=OF,ZBOH=ZCOF.

,/ZBOH+ZHOM=ZBOC=90°,

・•・NCOF+/HOM=90。,即ZHOF=90°.

・•・ZOHF=Z.OFH=-(l80°-NHOF)=45°

2

・•・ZOFC=ZOFH+ZBFC=135°.

VAOCF^AGCF,

AZGFC=ZOFC=135°,

・•・ZOFG=360°-ZGFC-ZOFC=90°.

AZFGO=Z?W=-(180o-ZOFG)=45°,

2

：・NGOF=NOFH,ZHOF=ZOFG.

：.OG〃FH,OH//FG,

・•・四边形O”FG是平行四边形.

：.OG=FH.

°：BF=FH+BH,

：.I3F=OG+CF.

【点拨