高三一轮复习练习试题（标准版）数学第六章6.4数列中的构造问题

§6.4数列中的构造问题分值：70分一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3an+1sinx+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2025等于()A.220232024 B.220242025C.220252026 D.2202620272.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于()A.17 B.18 C.19 D.203.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2023a2025a20242等于(A.1B.B.1 C.2 D.24.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an2n1(n∈N*)，记cn=3n2×(1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为()A.-32，1C.(1，1) D.(0，1)二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2(n∈N*)，则下列说法正确的有()A.a1=1B.S4=190C.{an}是等比数列D.Sn6.(2024·邢台模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则()A.a2=24B.anC.S10=29×D.log2(4a1003S100+1)=200三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+15an+4an1=0(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公式为.

8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为.四、解答题(共28分)9.(13分)(2025·湖北云学重点高中联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(6分)(2)设数列{bn}满足bn=log2(an+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求1T2+1T3+1T4+…10.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=3a(1)证明：数列1-1an为等比数列；(2)求{an}的通项公式；(4分)(3)令bn=an+1an，证明：bn<bn+1<1答案精析1.D2.C3.B[依题意，an=an1+an2(n≥3)，a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3，当n≥2时，anan+2an+12=an(an+1+an)an+12=anan+1+an2an+12=an2+an+1(anan+1)=an2ana1a3a22=所以数列{anan+2an+12}是首项为1所以a2023a2025a20242=(1)×(1)20231=14.A[由an+1=3an2n1，得an+12n+1即an+12而a12112=0，则即an=2n1，则cn=3n2×(1)nλ·2n1=3n(2)nλ，由数列{cn}为递增数列，得∀n∈N*，cn+1>cn恒成立，则∀n∈N*，3n+1(2)n+1λ>3n(2)nλ，即3n1>(2)n1λ恒成立，当n为奇数时，λ<32n-1恒成立，数列32n-1为递增数列，当n为偶数时，λ>32n-1恒成立，数列-32n-1为递减数列，32n-1的最大值为35.ABD[由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2，则a2=3S1+2=3a1+2，所以a1=13，故因为an+1=3Sn+2， ①所以当n≥2时，an=3Sn1+2， ②①②得an+1an=3an，即an+1=4an，当n=1时，a1=13，不满足a2=4a故数列{an}不是等比数列，故C错误；当n≥2时，an+1=4an，则a3=4a2=12，a4=4a3=48，故S4=13+3+12+48=1903，由an+1=3Sn+2，得Sn+1Sn=3Sn+2，所以Sn+1=4Sn+2，令Sn+1+λ=4(Sn+λ)，则Sn+1=4Sn+3λ，所以3λ=2，即λ=2所以Sn+1+23=4即Sn+1+23Sn+23=4，故Sn+公比为4的等比数列，故D正确.]6.ACD[选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确；选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1，得an+14n即an+14则an4n是首项为a14=3选项C，由an4n=34+34(n1得an=3n×4n1，所以Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n1， ①则4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n， ②①②得，3Sn=3+3×(4+42+43+…+4n1)3n×4n=3+3×4(1-4n-1)1-43n×4n=(3n1)即Sn=(3则S10=29×410选项D，因为4an3Sn+1=4×3n×4n13×(3n-1)×4所以log2(4a1003S100+1)=log24100=log22200=200，D正确.]7.an=48.an=1解析在数列{an}中，a1=1，2an+1an+anan+1=0，显然an≠0，则有1an+1=2·即1an而1a1因此数列1an+1是以2所以1an+1=2n，即an=9.解(1)由Sn+1=2Sn+n，可得an+1=Sn+n，令n=1，可得a2=S1+1=1，即S1=a1=0，由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，且S1+1+1=2≠0，可知数列{Sn+n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则Sn+n+1=2×2n1=2n，可得Sn+n=2n1，即an+1=2n1，则an=2n11，n≥2，且a1=0符合上式，所以an=2n11.(2)由(1)可得bn=log2(an+1)=log22n1=n1，则bn+1bn=n(n1)=1，可知{bn}是首项b1=0，公差为1的等差数列，可得Tn=n(0+n当n≥2时，则1Tn=2所以1T2+1T3+1=21-=21-110.(1)证明∵an+1=3∴