2024-2025学年江西省九江市九江一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省九江一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集I={0,1,2,3}，集合M={0,1,2}，N={0,2,3}，则M∩(∁IN)=A.{1} B.{2,3} C.{0,1,2} D.⌀2.下列四个条件中，使a>b成立的充要条件是(

)A.|a|>b B.a13>b133.命题“∀x∈R，x+|x|>0”的否定是(

)A.∃x∉R，x+|x|≥0 B.∃x∈R，x+|x|≤0

C.∀x∈R，x+|x|≤0 D.∀x∈R，x+|x|<04.已知Sn为等比数列{an}前n项和，若a4A.10 B.9 C.6 D.45.已知各项为正的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+A.5 B.4 C.3 D.56.设0<m<1，若1m+41−m≥kA.9 B.8 C.−1 D.−27.已知函数f(x)=xcosx−sinx，若存在实数x∈(0,2π)，使得f(x)≤t成立，则实数t的最小值是(

)A.−π B.2π C.−1 D.18.已知函数f(x)=lnxx，若x0∈(1.5,2)A.f(x0)>f(5−x0) B.f(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x>y>0，xy=1，则(

)A.xy>yx B.x−y<110.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=cos2nπ3，A.S15=0

B.n=1101bnbn+1=11.已知函数f(x)满足：对任意x，y∈R，xf(y)+yf(x)=f(xy)，且当0<x<1时，f(x)>0.下列说法正确的是(

)A.f(0)+f(1)=0 B.f(x)为偶函数

C.当|x|>1时，xf(x)<0 D.f(x)在(1,+∞)上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.log2213.已知数列{an}满足a1=8，an+1−a14.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)=4x+a，则f(101.5)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S10=65．

(1)求数列{an}16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x−a)ex+b．

(1)直线y=2x+1在x=0处与函数f(x)相切，求实数a，b的值；

(2)若f(x)在(0,4)上单调，求实数17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB=1，BC=CC1=2，A1B=5．

(1)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx，a∈R．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)若函数g(x)=e19.(本小题17分)

如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：x2=2py(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足xA⋅xB=−4．

(1)求p的值；

(2)已知点T(0,3)，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N.抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G．

(ⅰ)求证：点P为定点；

(ⅱ)记△ENK，△GNK的面积分别为S1，

参考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.A

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.5313.4

14.1

15.(1)设等差数列{an}的公差为d，

由a1=2，S10=65，可得20+12×10×9d=65，

解得d=1，

则a16.(1)因为函数f(x)=(x−a)ex+b，因此f′(x)=ex(x−a+1)．

因此f′(0)=e0×(−a+1)=−a+1，

因此函数f(x)在x=0处的切线的斜率为−a+1，

y=2x+1就是函数在x=0处的切线方程．因此−a+1=2，因此a=−1，

又切线y=2x+1过点(0,f(0))，因此f(0)=1，即−a+b=1，因此b=0，

因此a=−1，b=0；

(2)因为f(x)在(0,4)上单调，f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,4)上恒成立，

因为f′(x)=ex(x−a+1)，且ex>0恒成立，因此x−a+1≥0或x−a+1≤0在(0,4)上恒成立，

因此a≤x+1或17.(1)证明：由题可知AB=1，BC=CC1=2，A1B=5，

在△ABA1中，AB2+AA12=A1B2，

所以AA1⊥AB，

在三棱柱ABC−A1B1C1中AA1//BB1，所以BB1⊥AB，

因为平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，

所以BB1⊥平面ABC．

(2)因为AB⊥BC，所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

由题意，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0,1,2)，C1(2,0,2)，且D18.(1)由题意，x>0，a∈R，

在f(x)=ax2+(a−2)x−lnx中，f′(x)=2ax+(a−2)−1x=(ax−1)(2x+1)x，

①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减，

②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=1a，

当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，

当a>0时，函数f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．

(2)由题意及(1)得，x>0，a∈R，

在f(x)=ax2+(a−2)x−lnx中，f′(x)=2ax+(a−2)−1x=(ax−1)(2x+1)x，

因为f(x)有两个零点，

因此a>0，函数f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，

当x=1a时，f(x)取得最小值，最小值为f(1a)=1−1a+lna，

因为当x→+∞时，f(x)→+∞；x→0+时，f(x)→+∞，

因此要函数f(x)有两个零点，当且仅当f(1a)<0．

在ℎ(a)=lna−1a+1中，ℎ′(a)=1a+1a2+1>0，

因此函数ℎ(a)在(0,+∞)单调递增．

因为ℎ(1)=0，

因此当ℎ(a)<0时，0<a<1，

因此a的取值范围是(0,1)．

(3)证明：由题意，(1)及(2)证明如下，x>0，a∈R，

在f(x)=ax2+(a−2)x−lnx中，f′(x)=2ax+(a−2)−1x=(ax−1)(2x+1)19.(1)由题意，直线AB斜率必存在，设AB：y=kx+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+p2x2=2py，得x2−2pkx−p2=0，

所以Δ=4p2(k2+1)>0，

所以x1+x2=2pk，x1x2=−p2=−4，解得p=2>0或p=−2(舍)，

所以p=2．

(2)(ⅰ)证明：直线AC斜率必存在，设AC的方程为y=k1x+3，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

联立x2=4yy=k1x+3，得x2−4k1x−12=0，

Δ1=16k12+48>0，

所