广东省八校联盟2025-2026学年高三质量检测（一）数学试题（答案完整）

广东省八校联盟2025-2026学年高三质量检测（一）数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则（）A. B.1 C.3 D.252.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4.已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.5若，，则（）A. B. C. D.6.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（）A. B.2 C. D.47.是圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.如图，在外接球体积为的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，且交于点F，当截得的较小部分的几何体的体积为时，（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量服从正态分布，下列结论中错误的是（）A.B.当时，C.D.随机变量落在与落在概率相等10.已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（）A.C的实轴长小于2B.C的渐近线方程可能为C.C的离心率大于D.C的焦距不可能为411.已知函数的定义域为，对于，都有，则（）A.B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则，则________．13.从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为________．14.已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知数列的前n项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前n项和为，求证：．16.如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上．（1）若点是的中点，证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．17.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302（1）当a=25时，（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值．18.如图，，是椭圆：两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：面积等于的面积.（3）在（2）的条件下证明：为定值.19.已知函数的导函数为．（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围；（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．参考答案1-8【答案】A【答案】D【答案】C【答案】B【答案】D【答案】B【答案】C【答案】B9.【答案】ABC10.【答案】AC11.【答案】ACD12.【答案】##13.【答案】18014.【答案】15.【小问1】由，则（n≥2），两式左右分别相减得，即．得，则，，…，，，将以上个式子相乘得．上式对仍成立，所以．【小问2】，∴．故命题得证．16.【小问1】证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点，所以，又因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2】如图，连接，易知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，．由，得，所以，进而．设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为．易知平面的一个法向量为，设二面角S-AC-P的平面角为θ，则，故二面角的余弦值为．17.【小问1】（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.35．（ii）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，X的所有可能值为6，7，8，，，，所以X的数学期望.【小问2】由表知，，则，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要使恒成立，当且仅当，显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此，则，解得，所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7．18.（1）∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，由，，得，又，解得，，∴椭圆的方程为；（2）证明：直线的方程为，即，将其代入，消去，整理得.设，.∴，.记的面积是，的面积是.由题意，，∵，∴，∵，.∴的面积等于的面积；（3）证明：由（2）知，，，，∴，，，.19.【小问1】当时，，则，所以，则，所以的图象在点处的切线方程为，即．【小问2】由题知，，因为有三个不同的零点，所以方程有三个不等实根，化简可得方程有三个不等实根，即可看成直线与曲线有三个不同的交点，，所以当或时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，有极小值为，当时，有极大值为，当时，，且当时，，所以作出函数的图象如图1所示，所以数形结合可知，即实数的取值范围为．【小问3】由题知，，其定义域为，则，令，得或，设，则，当时，，所以单调递增；当时，，