内蒙古名校2026届高三上学期开学教学质量检测数学试题（含解析）

内蒙古名校2026届高三上学期开学教学质量检测数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）....2.双曲线的离心率为（）....3.若复数，则（）....4.已知，则“”是“”的（）.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件5.小张去零件专卖店购买一种正四棱台形状的零件（每个零件的上、下底面的边长分别为、，高为），该零件的密度为，且他共购买了这种零件，则他购买的这种零件的个数为（）....6.某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（）....7.若锐角满足，则（）....8.设定义在上的函数满足，则的最小值是（）....二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）.若，则.数据1,1,2,3,4,5,6，6的第80百分位数是6.若，则.数据的中位数不可能是10.已知求（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（）.线段的长为.直线与球相切.的面积为.直线与底面所成角的正弦值为11.已知抛物线的交点为，都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（）.当为的重心时，轴.当时，的最大值为5.当时，的最小值为5.当时，直线的倾斜角为或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的最小正周期为，则，的值域为.13.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为.14.蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个原子分别记为，如图2所示，设，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列，分别是等差、等比数列，且，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.16.（15分）如图，在四面体中，平面平面，为正三角形，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的正弦值.17.（15分）某校为了选拔篮球运动员参加暑期篮球比赛，设置了按照运球、投篮、折返跑的顺序进行的3个项目考核测试，已知甲通过运球、投篮、折返跑考核的概率分别为，，，乙通过运球、投篮、折返跑考核的概率均为，且每人每个项目是否通过考核相互独立.已知通过运球、投篮、折返跑考核分别为1分、2分、3分，每个项目未通过考核均得0分，这3个项目甲和乙各做一次测试，参赛选手累计得分超过3分就通过测试.（1）求甲通过测试的概率；（2）若根据通过测试的概率大小，你觉得该校应该从甲、乙这两人中选谁参加暑期篮球比赛？（3）记为甲在测试结束后的累积得分，求的分布列与数学期望.18.（17分）已知椭圆的短轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与圆相切，且直线与交于两点.①求的取值范围；②求（用含的式子表示）.19.（17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设恰有两个零点.①求的取值范围；②证明：.答案解析一、选择题1.A解析：∵，，∴.2.D解析：双曲线的离心率为.3.A解析：∵，∴.4.B解析：∵，∴，即，∴“”是“”的必要不充分条件.5.B解析：∵一个零件的体积为：，∴一个零件的质量为，∴他购买的这种零件的个数为.6.C解析：由间接法可得所求不同的选法种数为.7.C解析：∵，∴，则，∵为锐角，∴，∴.8.B解析：对于，以代替，得，则，得，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25.二、选择题9.AB解析：若，则，故A正确；∵，∴数据1,1,2,3,4,5,6，6的第80百分位数是6，故B正确；若，则，故C错误；当时，数据的中位数是，故D错误.10.BCD解析：对于A，∵球的表面积为，∴球的半径为，得，则，故A错误；对于B，设线段的中点为，则球与平面切于点，∴直线与球相切，故B正确；对于C，∵，，∴的面积为，故C正确；对于D，直线与底面所成的角即直线与底面所成的角，即，∴直线与底面所成角的正弦值为，故D正确.11.ACD解析：设，的焦点为，当为的重心时，由重心坐标得，得，则两点关于轴对称，∴轴，故A正确；分别过点作准线的垂线，垂足分别为，当时，，则，∴的最小值为5，故B错误，C正确；当，且点在第一象限时，设，则，，，过点作，垂足为，则，，则，则，从而直线额倾斜角为.当，且点在第一象限时，同理可得直线的倾斜角为，故D正确.三、填空题12.2；解析：∵，∴，∴的值域为.13.解析：设切点为，，则，则，解得.14.解析：以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，则，，∴.四、解答题15.解：（1）设的公差为，的公比为，则，∴，可得，则，∴.（2）.16.解：（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵为正三角形，为棱的中点，∴，又，∴平面.（2）取的中点，连接，则，取的中点，连接，易证两两垂直.由为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.设平面的法向量为，则，即，取，得.由（1）知，为平面的一个法向量，∵，∴.由，得二面角的正弦值为.17.解：（1）设事件A=甲通过运球考核，事件B=甲通过投篮考核，事件C=甲通过折返跑考核，事件D=甲通过测试，则.（2）设事件E=乙通过测试，则与（1）同理可得，∵，∴该校应该选乙参加暑期篮球比赛.（3）由题意可知的可能取值为0,1,2,3,4,5,6，；；；；；；；则的分布列为：故.18.解：（1）由题意可知，解得，∴椭圆的方程为.（2）①依题意可得直线的斜率存在且不为0，设，由直线与圆相切，得，整理得.联立，得，，即，将代入得，∵，∴的取值范围为.②设，，则，，则，将代入上式整理得：.19.解：（1）的定义域为，，若，则，在上单调递增.若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.若，则当时，，单调递减；当时