浙江省杭州2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷(含部分答案)

2025年8月杭州高三开学考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，.若、、三点共线，则（）A. B. C. D.3.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知方程x2+3ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（）.A.或 B.或 C. D.6.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（）A.2280 B.2120 C.1440 D.7207.已知椭圆与双曲线有相同焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴与点，且平分，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，且点B和点D到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（）A.圆O与直线l相离 B.存在最小值C.存在最大值 D.存在点P使得为直角三角形10.已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（）A. B.C.为极大值点 D.11.已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（）A.是递增数列 B.是递减数列C.存在最大项 D.存在最小项三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为______．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若服从正态分布,则)13.在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______．14.如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数（，），的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为．（1）求的最小正周期及的值；（2）若点R的坐标为，，求A的值．16.已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下：A组11121314151617B组131416171815a假设所有病人康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果，求甲康复时间比乙的康复时间长的概率；（3）写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）17.如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，．（1）求证：平面平面．（2）设．①直线与平面所成的角为，求线段的长；②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由．18.已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积．19.已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距．（1）用和表示；（2）求对所有都有成立的的最小值；（3）当时，比较与的大小，并说明理由．

2025年8月杭州高三开学考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】1587【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）最小正周期，；（2）.【16题答案】【答案】（1）