同步培优：圆的对称性：垂径定理（解析版）

27.1.3圆的对称性：垂径定理姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，是的弦，半径于点，若的半径为，，则的长是A． B． C． D．【分析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再求出答案即可．【解析】连接，则，，过，，，，在中，由勾股定理得：，，，故选：．2．（2021春•海门市期中）如图，以为直径的中，弦于．，．则的长为A．4 B．6 C．8 D．10【分析】连接，如图，设的半径为，则，，根据垂径定理得到，再根据勾股定理得到，解方程求出，然后计算即可．【解析】连接，如图，设的半径为，则，，，，在中，，解得，．故选：．3．（2021•红桥区模拟）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为A．8 B．12 C．16 D．【分析】连接，如图，根据垂径定理得到，再计算出的长，然后根据勾股定理计算出的长，从而得到的长．【解析】连接，如图，，，，，，，在中，，．故选：．4．（2021•滨江区一模）已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的长度为A． B． C． D．5【分析】连接，设的半径为，由垂径定理得，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】连接，如图所示：设的半径为，弦于点．，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长为，故选：．5．（2021•许昌二模）在中，直径，弦于点，若，则的周长为A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】，，，，在中，，，，的周长，故选：．6．（2021•永德县模拟）如图，的直径为10，弦的长为6，为弦上的动点，则线段长的取值范围是A． B． C． D．【分析】连接，过点作于，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据垂线段最短解答即可．【解析】连接，过点作于，则，由勾股定理得，，当点与点（或点重合时，最大，当点与点重合时，最小，线段长的取值范围是，故选：．7．（2021•成都模拟）如图，在半径为5的中，半径弦于点，连接并延长交于点，连接、．若，则的长为A． B．8 C． D．【分析】由垂径定理和勾股定理得，再证是的中位线，得，然后由勾股定理求解即可．【解析】的半径为5，，，，，，，是的中位线，，，故选：．8．（2021•郧西县模拟）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的长度是A． B． C． D．【分析】连接、，根据垂径定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．【解析】连接、，，，，，，，，，由勾股定理得：，在中，，即，解得：，，故选：．9．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．米 C．2米 D．米【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．【解析】连接交于，连接，点为运行轨道的最低点，，（米，在中，（米，点到弦所在直线的距离米，故选：．10．（2021•盐都区三模）的直径为20，圆上两点、距离为16，上一动点到直线距离的最大值为A．16 B．18 C．24 D．32【分析】如图，过点作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求得，即可求得点到直线距离的最大值．【解析】如图，过点作于，连接，，，，，，点到直线距离的最大值为，故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•南平期末）如图，是的直径，弦于点，且，则的半径为．【分析】根据垂径定理得出，再由勾股定理得出，代入求解即可．【解析】，，，，，，在中，由勾股定理可得：，即：，解得：，的半径为：，故答案为：．12．（2021•如皋市二模）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，，则的半径长为13．【分析】连接，如图，设的半径为，则，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解析】连接，如图，设的半径为，则，，，在中，，解得，即的半径长为13．故答案为13．13．（2021春•兴化市期末）如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为24．【分析】连接，由题意得，，再由垂径定理得，，然后由勾股定理求出，即可求解．【解析】连接，如图所示：直径，，，，，弦，，，，，故答案为：24．14．（2021•薛城区模拟）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为5．【分析】由垂径定理可知，设，则，在中，再利用勾股定理即可求出的值．【解析】由题意得：，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即输水管的半径为，故答案为：5．15．如图，是一个油罐的截面图．已知的直径为，油的最大深度，则油面宽度为4．【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．【解析】连接，由题意得，，，，，，故答案为：4．16．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端，量的弧的中心到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为4．【分析】先根据垂径定理的推论得到过圆心，，设圆心为，连接，如图，设的半径为，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解析】点是的中点，，过圆心，，设圆心为，连接，如图，设的半径为，则，在中，，解得，所以圆形瓦片所在圆的半径为．故答案为4．17．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，的半径为，点固定在上，连杆定长，点随着的转动在射线上运动．在一个停止状态时，与交于点，测得，，此时长为．【分析】作于，连接，根据垂径定理得到，即可得到，利用勾股定理即可求得结果．【解析】作于，连接，，，，；故答案为．方法二：解：延长交圆于；，，；由割线定理，得：；设点到圆心的距离是，则有：，解得．故长为．故答案为．18．（2021•永嘉县模拟）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽，；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是．【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得，进而求得，根据勾股定理求得，从而以及垂径定理求得，利用勾股定理求得，通过证得求得，进一步即可求得．【解析】作的垂直平分线，交于，交于，则是圆心，连接，，，圆的半径为，，，连接、交于，作于，于，，，，，，是的中点，垂直平分，，，，，在和中，，，，，故答案为，．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•防城港期末）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．截面圆的直径为，若油面的宽，求油槽中油的最大深度．【分析】连接，过点作交于点交于，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．【解析】过点作于点，交于点，连接．中，，，，油槽中油的最大深度．20．（2021•商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为，下雨前水面宽为．一场大雨过后，水面宽为，求水面上升多少？【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【解析】作半径交于，连接，如图所示，由垂径定理得：，在中，，当水位上升到圆心以下时水面宽时，则，水面上升的高度为：；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，综上可得，水面上升的高度为或．21．（2021秋•安宁市校级期中）如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为多少米？【分析】延长到，使得，则为圆心，由垂径定理得（米，设圆弧所在圆的半径为米，则米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】延长到，使得，如图所示：则为圆心，为拱高，，（米，设圆弧所在圆的半径为米，则米，在中，由勾股定理得：，即，解得：，答：圆弧所在圆的半径为13米．22．（2021•和平区一模）如图一面墙上有一个矩形门现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门，在圆内接矩形中，，．（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少？（2）求要打掉墙体的面积是多少？，，结果精确到【分析】（1）先证得是直径，利用勾股定理求出的长，即可求得半径；（2）打掉墙体的面积，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．【解析】（1）连接，如图所示：四边形是矩形，，，是直径，，圆弧形门所在圆的半径为；（2）取圆心，连接，由（1）可知，，是正三角形，，，，要打掉墙体的面积，要打掉墙体的面积约为．23．（2020秋•环江县期末）如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．【分析】过点作半径于，如图，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．【解析】过点作半径于，，在中，，．答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为．24．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥