《第1章综合测试》一课一练

13/14第1章二次函数综合测试卷I（选择题）一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选．均不给分）1.（2017•普陀区一模）下列函数中，y关于x的二次函数是（B）A.B.C.D.2.如图是二次函数的部分图象，由图象可知该二次函数的对称轴是（C）A．直线x=-1 B．直线x=5 C．直线x=2 D．直线x=03.如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（D）A．0≤x≤2 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤0或x≥24.已知二次函数的图象上有一点P（1，2）．若将该抛物线平移后所得的二次函数表达式为，则点P经过该次平移后的坐标为（B）A．（2，1） B．（2，-1） C．（1，-2） D．（0，5）5.已知函数（是常数，且≠0），下列结论正确的是（C）A．当m=-2时，函数图象与x轴没有交点B．当m=1时，函数图象过点（-1，1）C．若m＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大D．若m＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小6.在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且k≠0）的图象可能是（D）A.B.C.D.7.二次函数的图象如图所示：若点A()，B()在此函数图象上，且，则与的大小关系是（）A.B.C.D.B解析：由图象可知抛物线的对称轴为直线x＝1.∵点A()，B()在抛物线上，且，∴点A，B都在对称轴的左侧.∵抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴.8.对于抛物线y=－(x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(－1,3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4C解析：∵a＜0，∴开口向下，①正确；y=－(x+1)2+3的对称轴为直线x=-1，∴②错误；顶点坐标为(－1,3)，③正确；开口向下，x>1时指对称轴右侧，图象是下降趋势，y随x的增大而减小，④正确．9.如图，抛物线()过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设P＝a－b＋c，则P的取值范围是()A．－4＜P＜0B．－4＜P＜－2C．－2＜P＜0D．－1＜P＜0A解析:∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点（1，0）和点（0，－2），∴a＋b＋c＝0．∵c＝－2，∴a＋b＝2．∴b＝2－a．∴P＝a－b＋c＝a－(2－a)－2＝2a－4．∵抛物线开口向上，∴a＞0．①∵抛物线的顶点在第三象限，∴－＜0．∴－＜0．∴－(2－a)＜0．∴a＜2．②由①②得0＜a＜2．∴－4＜2a－4＜0．即－4＜P＜0．故选A．10.如图，Rt△OAB的顶点A（-2,4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A.（，）B.（2,2）C.（，2）D.（2，）C解析：将A（-2,4）代入y=ax2解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2.∵A（-2,4），∴OB=2，AB=4.又∵旋转前后的图形为全等形，∴OD=OB=2，CD=AB=4，∴D点坐标为（0,2）.∵CD∥x轴，∴P点的纵坐标与D点纵坐标相同，即P点的纵坐标为2.∵点P在抛物线y=x2上，∴2=x2解得x=±.又∵点P在第一象限，所以x=，∴P点的坐标为（，2），故选C.卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y＝__________．答案不惟一，如x2＋112.二次函数y=x2+4x-3中，当x=-1时，y的值是______．-613.若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．1或0解析：分两种情况：（1）当m＝0时，题目中的函数即为一次函数y＝2x＋1，该函数的图象与x轴只有一个公共点；（2）当m≠0时，由抛物线y＝mx2＋2x＋1与x轴只有一个公共点，得△＝22－4×m×1＝0，解得m＝1．综上所述，常数m的值是1或0．14.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m.4815.若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝______．9解析：抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，则关于x的方程x2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，△=b2－4ac=0，a=1，b2－4c=0，c=，因此方程抛物线解析式为y＝x2＋bx＋=（x＋）2，抛物线经过点A(m，n)，B(m＋6，n)，由于这两点的纵坐标相同，因此抛物线的对称轴是直线x=m＋3，由于抛物线对称轴是x=－，则b=－2m－6，所以抛物线为y=（x－m－3）2，把点A(m，n)坐标代入解析式，则n=9.16.若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2－2k的交点在第象限．一、二、三解析：∵根式有意义，∴2－2k＞0，k＜1．y=x2+2x+2－2k=(x+1)2+1－2k，则其顶点坐标为(－1，1－2k)．当x=－1时，y==1－2k，故抛物线的顶点一定在双曲线y=上．又抛物线的对称轴为直线x=－1，由k＜1，知1－2k＞0，或1－2k＜0(由双曲线解析式可知1－2k≠0，同理，2k－1＞0，或2k－1＜0，即双曲线可在任意象限内)，故抛物线的顶点可在第二象限与第三象限，又抛物线开口向上，有：当抛物线的顶点在第二象限时，它们的交点只能在第二象限；当抛物线的顶点在第三象限时，它们的交点在第三象限与第一象限．综上可知，双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2－2k的交点可在第一、二、三象限．三、解答题（本大题有8小题．第17-2O小题每小题8分，第21小题10分，第22,23小题每小题12分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）根据一次函数的定义，得：m2-m=0

解得m=0或m=1

又∵m-1≠0即m≠1；

∴当m=0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0

解得m1≠0，m2≠1

∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．18.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：…-2-102……-3-4-35…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标．解：(1)由题意，得c=-3.将点（2，5），（-1，-4）代入，得解得∴.顶点坐标为（-1，-4）.(2)（-3，0），（1，0）.19.(2017·山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度是多少？解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数解析式为y＝a(x－1)2＋h(0≤x≤3)．抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式可得解得所以，抛物线解析式为y＝(0≤x≤3)．化为一般式为y＝x2＋x＋2(0≤x≤3)．(2)由(1)抛物线解析式为y＝(0≤x≤3)．当x＝1时，y＝．所以抛物线水柱的最大高度为m．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（-2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积．解：（1）由题意得，解得，∴抛物线解析式为.（2）∵=，∴顶点坐标为（1，）∵直线BC为y=-x+4，∴对称轴与BC的交点H的坐标为（1，3），∴.21.已知二次函数．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0.∴m＞-1.（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=-9+6+m.∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：，∵抛物线，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．22.（2016·甘肃天水中考）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系．（1）（3分）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）（7分）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）第24题图第24题图解：（1）将y＝260代入y＝32x，得260＝32x，解得x＝．此时，x值不满足0≤x≤5，故这种情况不存在．∴5＜x≤19时，则有20x＋60＝260，解得x＝10．∴李红第10天生产的粽子数量为260只．（2）由图可知p1＝2(0≤x≤9)．设p2＝kx＋b(9≤x≤19)，将(9，2)，(19，3)代入，得，解得．∴p2＝0.1x＋1.1(9≤x≤19)．当0≤x≤5时，w＝(4－2)×32x＝64x，由一次函数的性质，知当x＝5时，w最大＝320．当5＜x≤9时，w＝(4－2)×(20x＋60)＝40x＋120，由一次函数的性质，知当x＝9时，w最大＝480．当9＜x≤19时，w＝[4－(0.1x＋1.1)]×(20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，由二次函数的性质，知当x＝13时，w最大＝512．∴w与x之间的函数表达式为，由320＜480＜512，知第13天时利润最大，最大利润是512元．23.在平面直角坐标系中，抛物线：经过点.（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；（3）将抛物线沿直线翻折，得到的图象记为，设与围成的封闭图形为，在图形上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行.求的值.解：（1）∵抛物线：经过点，∴.∴.∴抛物线的表达式为.（2）抛物线：的顶点为，如图1.点关于直线的对称点为.∴抛物线的顶点坐标为.（3）解法一：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为，∴正方形的顶点的坐标为，如图2.∴.∴.解法二：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为，∴设正方形的顶点的坐标为，如图2.∵点在抛物线上，∴.24.(2017青海西宁中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3．若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为(3，0)，(0，1)求抛物线的解析式；猜想△EDB的形状并加以证明；点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可知矩形OABC中，OC＝3，OA＝4，∴A(4，0)，C(0，3)，B(4，3)∴点O，A在怕抛物线上且关于直线x＝2成轴对称，直线x＝2交CB于点H，H(2，3)是抛物线的顶点，设抛物线解析式为，当x＝4时，y＝0，∴4a+3＝0，∴a＝∴抛物线的解析式为△EDB为等腰直角三角形，证明如下：∵D，E两点坐标分别为(3，0)和(0，1)∴OE＝AD＝1，OD＝AB＝3又∵∠EOD＝∠DAB＝90°，在△EOD和△DAB中∴△EOD≌△DAB(SAS)∴∠EDO＝∠DBAED＝DB∵∠BDA+∠DBA＝90°，∴∠EDO+∠BDA＝90°∴∠EDB＝90°，∴△EDB为等腰