第四章《三角形》单元整体教案-北师大版数学七年级下册

第四章三角形

4.1认识三角形

第1课时三角形的定义和内角和

教学目标

1.理解三角形的概念，掌握三角形内角和定理.，并能利用三角形内角和定理解决一些

简单问题；

2.会根据三角形的内角将三角形分类，并掌握直隹三角形的相关性质.

、.重点难点J

重点

掌握三角形内角和定理和直角三角形性质.

难点

探求三角形内角和等于180°.

二.教学过程

一、导入新课

(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时他们非常团结，有一天，

老三不高兴了，对老大说“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不

可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？"老二、老三纳闷起

来……

同学们，你们知道其中的道理吗？

二、探究新知

探究点一：三角形的内角和

观察下面两个实物图，回答下列问题：

(I)你能从图中找出儿个不同的三角形？

(2)这些三角形有什么共同的特点？

三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫作三角形.

1.三角形的表示方法

教师：刚才的结构图中那么多三角形，你是怎么区分的？

用符号“△”表示，如图记作：△ABC,注意：三个大写字母可以颠倒顺序.

2.三角形的三要素

教师：构成三角形的元素有哪些？

三角形的边：组成三角形的线段.

三角形的顶点：相邻两边的公共端点.

三角形的内角：相邻两边组成的角.

我们把它们称之为三角形的三要素.

小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他是这样做的：

如图①，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为/I,N2和N3.撕下N1,按图②所

示进行摆放，其中N1的顶点与N2的顶点重合，它的一条边与N2的一条边重合.

/\£>

图①图②

利用图②，小明说明了三角形三个内角的和为180。.你知道他是如何说明的吗？说说你

的想法，并与同伴进行交流

归纳：三角形三个内侑的和等于180.

【例I】在△A8C中，点D,E分别在人8,BC边上,KDE//AC,NBED=48°,N

A=54°,求的度数.

A

心

BEC

解：因为。E〃AC,ZA=54°,所以/8QE=NA=54°,在△8DE中，NBDE=t4°,

NBED=48°,所以/B=I8O°—54°-48°=78°.

探究点二：直角三角形的两个锐角互余

(I)图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.

礴

(2)图中小亮三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与(1)的结果进行比

较.

(3)根据三角形内角的大小，我们可以把三角形分为哪几类呢？

3.三角形按角分类：

锐角三角形(有三个角都是锐角的三角形)

钝角三角形(有一个隹是钝角的三角形)

直角三角形(有一个集是直角的三角形)

“直角三角形A8C”常用符号“RtZkABC”来表示.把直角所对的边称为直角三角形的

斜边，夹直角的两条边称为直角边.直角三角形的两个锐角之间有什么关系？

归纳：直角三角形的两个锐角互余.

【例2]一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3,这个三角形一定是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.无法判定

三、课堂练习

1.在△A3C中，ZA=38°,N3=45°,则NC=.

2.在△ABC中，NA：NB：ZC=2：3：4,则△ABC是_______三角形.

3.在△ABC中，NA=N8+10°，/。=/8—40°，则/A=，/B=

ZC=.

4.请给下面的三角形分类:

四、课堂小结

1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.

2.三角形内角和定理的证明.

3.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发学生获取知识的求知欲，充分调动学生

学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率.然后让学生自主

探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想.在教学中，教师通过必要的

提示指明学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学

生上台演示自己的操作过程和说明自己的想法，这样芍助于学生接受三角形的内角和是

180°这一结论.

第2课时三角形三边的关系

教学目标

1.掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；

2.探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决有关问题.

重点难点

重点

三角形三边关系的探究和归纳.

难点

运用三角形的三边关系解决有关问题.

'.教学过程J

一、导入新课

数学来源于生活，生活中处处有数学.观察下面的图片，你发现了什么？

猜想：AC+CB>AB

,方法一：测量法

证明：画不同类别的三角形，用直尺分别测量两条路线的长度.方法二：几何推导

因为两点之间，线段最短.所以及

同理：ACA-AB>BCy

AB^BOAC.

教师引导学生归纳：

结论1三角形两边的和大于第三边.

做一做

1.分别量出图中三个三角形的三边长度，并填入空格内.

计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角

形试一试.

结论2三角形任意两边之差小于第三边.

教师追问：你可以验证一下吗？

2.如图，在aABC中，以点8为圆心，以84的长为半径作弧，与边8c交于点。，

图中是否有线段长度等于BC—AB呢？能用圆规直观说明BC-AB与AC之间的大小关系

吗？改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论？

【类型二】判定三条线段能否组成三角形

【例2】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.2cm,3cm,5cmB.5cm,6cm,10cm

C.1cm,1cm,3cmD.3cm,4cm,9cm

方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三

条线段的长度即可.

【类型三】判断三角形边的取值范围

【例3】一个三角形的三边长分别为4,7,x,那么x的取值范围是（）

A.3<x<llB.4<x<7

C.-3<x<llD.x>3

方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边.

三、课堂练习

1.判断正误：

（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（）

(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.()

(3)等腰三角形的腰和底一定不相等.()

(4)等边三角形是锐角三角形.()

(5)直角三角形一定不是等腰三角形.()

2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线段为边长可以

构成个三角形.

3.若等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为

_______cm.

4.若等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为

_______cm.

四、课堂小结

1.三角形按边分类：

有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边一角形，一边互不相等

的三角形是不等边三角形.

2.三角形中三边之间的关系：

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

'‘教学反思

本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三

角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不

能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点

研究”能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”.通过观察、验证、再操作，最终发现

三角形任意两边之和大于第三边这•结论.这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴

趣，又增强了学生的动手能力.

第3课时三角形的高、中线、角平分线

教学目标

1.理解三角形的高、中线、角平分线的概念；

2.能够准确地画出三角形的高、中线、角平分线，并能够进行简单的应用.

'.重点难点

重点

理解三角形的高、中线、角平分线的概念，并能准确地画出三角形的高、中线、角平分

线.

难点

画钝角三角形夹钝角两边的高和三角形的高、中线、角平分线的应用.

'.教学过程」

一、导入新课

这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起

来解决这个问题.

.一.;二

二、探究新知

探究点一：三角形的高

如图，在△ABC中，点。是8C边上的动点,连接AD,在点£）的运动过程中，观察点

D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法,并与同伴进行交流.

当点。运动到如图所示的位置时，/1DXBC,人。是△A8C高.

归纳：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三

角形的高线，简称三角形的高.

【类型一】三角形高的画法

【例1】作△A8C的边A8上的高，下列作法中，正确的是（）

AB

【类型二】根据三角形的面积求高

【例2】如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AO_LBC于点。，且AD=4,若点

。在边AC上移动，则80的最小值为.

探究点二：三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.

如图，AE是△A8C的8C边上的中线.

议一议

（1）在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它

们有怎样的位置关系？

三角形有三条中线，并且它们相交于一点.这点称为三角形的重心.

(2)如图，在△/WC中，人。是△回(；的中线.试判断和△*/)的面积有什么关

系？为什么?

RI)C

归纳：三角形的中线能将三角形的面积平分.

【类型三】根据三角形的中线求线段的长

【例3】在△ABC中，AC=5cm,A。是△48C的中线，若△AB。的周长比△AOC的

周长大2cm,则BA=.

aD

【类型四】利用中线解决三角形的面积问题

°F,c

【例4】如图,在△ABC中，£是8C上的一点,EC=2BE,点。是AC的中点,设△ALC,

△A。尸和△8石尸的面积分别为S/.ABCfSAAQF和SABEF，且SMBC=12,则S^.ADF—S.\BEF=

探究点三：三角形的角平分线

三角形的角平分线的定义：

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫

作三角形的角平分线.

请你探究三角形的三条角平分线是否相交于一点.三角形的三条高呢？你是怎么做的？

与同伴进行交流.

三角形的三条角平分线交于一点.

三角形的三条高所在的直线交于一点.

【类型五】利用三角形的角平分线求角度

【例5】如图，已知4。是△A8C的角平分线，CE是△A8C的高，ZBAC=60°,NBCE

=40。，求N/1D8的度数.

E,

三、课堂练习

1.下列说法错误的是（）

A.三角形的三条角平分线都在三角形内部

B.三角形的重心是三角形三条中线的交点

C.三角形的中线、角分级都是射线

D.三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分

2.如图，在AABC中，分别为的中点，且以酒=4加2,则5艘=cm2.

3.在△A4C中，ZX=1ZACH,CO是AABC的高，CE是NAC6的角平分

线，求NDCK的度数.

四、课堂小结

1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线

段叫作三角形的高.

2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中

线.

3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶

点与交点的线段叫作三角形的角平分线.

五、课后作业

完成小节课对应练习.

教学反思

本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联

系，明确数学来源于生活又服务于生活，学习用数学方法解决实际问题.在教学中通过同学

们画图来理解三角形的窗、中线和角平分线的概念，进而得出三角形的三条中线、三条角平

分线和三条高所在的直线分别相交于一点.然后通过例题和练习促使同学们更好地掌握所学

的知识点.画钝角三角形的高时，同学们感到有困难，教师应加以指导.

4.2全等三角形

♦■教学目标

1.了解全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；

2.能用符号正确地表示两个三角形全等，掌握全等三角形的性质；

3.能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边.

'.重点难点

重点

能用符号正确地表示两个三角形全等，掌握全等三用形的性质.

难点

能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边.

•，教学过程

一、导入新课

在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特

殊的意义.观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形.

你能再举出一些例子吗？

二、探究新知

探究点一：全等三角形的定义

例如，在图中，与尸能够完全重合，它们是全等三角形.

能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.

全等的表示方法

“全等”用符号“名”表示，读作“全等于”.

♦IIill

△ABC与ADEF全法,记

探究点二：全等三角形的性质

议一议

⑴全等三角形的对应边相等吗？对应角相等吗？

教师引导总结：全等三角形对应边相等，对应角相等.

⑵全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？还有哪些相等的线段？举例说

明.

学生画出一组全等三角形及其高和中线并测量，小组讨论，学生得出：全等三角形对应

边的高、中线相等.

教师引导总结：全等三角形的对应线段都相等.

(3)如图，已知△A80ZW夕C,你如何在△4'B'C中画出与线段QE相对应的线

段？

【例1】如图，若△BODWACOE,指出这两个全等三角形的对应边；若△40。gZUEO,

指出这两个二角形的对应用.

解：丛BOD与△COE的对应边为B0与CO,0D与OE,BD与CE；/\ADO与AAEO

的对应角为ND4O与NEAO,NAOO与NAEO,NAOD与NAOE.

【类型二】运用全等三角形的性质求三角形的角或边

【例2］如图，△ABCg/\DEF,ZA=70°,N8=50°,BF=4,£尸=7,求NDEF

的度数和Cf的长.

解：:△ABC也△£>£凡NA=70°,ZB=50°,BF=4,EF=7,；・NDEF=NB=SO0,

BC=EF=7,：,CF=BC-BF=l-4=3.

三、课堂练习

1.如图，点石在4c上，6cg△DAE,BC=3,DE=J,则C£的长为（）

A.2B.35

2.如图，将AA3c绕点4顺时针旋转，得到点£落在4c上，猜想NZMO和

N8E。之间的数量关系，并说明理由.

四、课堂小结

1.全等三角形的概念：能够完全重合的三角形叫作全等三角形.

2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应线段相等.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

'.教学反思

首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念.然后

总结全等三角形的性质，最后通过实例和练习让同学们熟悉运用全等三角形的性质解决一些

简单的问题.本节课知识浅显易懂，同学们掌握的较好.

4.3探索三角形全等的条件

第1课时利用“边边边”判定三角形全等

♦■教学目标

1.经历探索“边边边”判定三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的

过程；

2.会应用“边边边”判定两个三角形全等，了解三角形的稳定性.

、.重点难点

重点

三角形全等条件的探索过程和利用“边边边”判定两个三角形全等.

难点

利川“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程.

•.教学过程

一、导入新课

要画一个三角形与小明画的三角形全等，你会怎么画

(1)要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要几个与边或角的大小有关的条件？

(2)只给一个条件(一条边或一个角)可以吗？

(3)给出两个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？每种情况下画出的三角形一定全

等吗？请你试一试，并与同伴进行交流.

二、探究新知

探究点一：全等三角形判定定理“SSS”

两个三角形有三个条件相等时，可以分几种情况？

如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？

下面我们来逐一探索.

做一做：

⑴已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°,80°.你能画出这个三角形吗？把你

画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

(2)已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm,你能画出这个三角形吗？把你

画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

(3)小组合作，选择三条线段作为三角形的三条边，并用尺规作出这个三角形.把你作

的三角形与同伴作的进行比较，它们一定全等吗？

通过作图我们知道：已知三角形的三条边画三角形，则画出的所有三角形全等.这样就

得到了三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.

【类型一】利用“SSS”判定两个三角形全等

D

［例1］如图，AB=DE,AC=O尸，点E,C在直线BF上，且8E=C/.试说明：

△ABC/ADEF.

解析：已知△A8C与△£）£尸两边相等，通过8E=C/可得8。=£/，即可根据“SSS”

判定AA8cg△£）££

BC=EF,

解：；BE=CF,；,BE+EC=EC+CF,即BC=EF.在AABC和△£>£：〃中，・.1A8=OE,

_AC=DF,

：,△/^C^ADEF（SSS）.

【类型二】“sss”与全等三角形的性质综合进行证明

【例2】如图所示，△AZJC是一个风筝架，AD=AC,A。是连接点A与"。中点。的

支架.试说明：ADVBC.

解析：要使AO_LBC,根据垂直的定义，需使N1=N2,而N1=N2可由△4B/5gZS4CO

求得.

AB=AC,

解：•・•。是8C的中点，，8O=CD在△A8。和△ACO中，「BO=C。，.'△ABOg

AD=AD,

△ACZXSSS）,，N1=N2（全等三角形的对应角相等）.・・・/1+/2=180",AZ1=Z2=

90°,.•・AO_L8C（垂直的定义）.

探究点二：已知三边作三角形

已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定“SSS”，三角形的形状和大小也就确定

了.作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置.因此可先确定三角形的一条边（即两个顶

点），再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一

个顶点.

【类型三】根据三角形的三边作图

【例3】已知三条线段a、b、c,用尺规作出△ABC,使AC=b,AB=c.

b

解：作法：1.作线段BC=〃；

2.以点C为圆心，以。为半径画弧，再以8为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点

A；

4

3.连接AC和AB,则△ABC即

为所求作的三角形，如图所示.

探究点三：三角形的稳定性

取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定

吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？

图⑴是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个

性质叫作三角形的稳定性.图（2）的形状是可以改变的，它不具有稳定性.

在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑.就是用到了它的稳定性.同学们能举出

一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗？

【类型四】三角形稳定性的应用

【例4】要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使

五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木

条固定……那么要使一个〃边形木架不变形，至少需要几根木条固定？

解析：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变

了.根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律.

解:过〃边形的一个顶点可以作（〃-3）条对角线，把多边形分成（〃一2）个三角形，所以,

要使一个〃边形木架不变形，至少需要（〃-3）根木条固定.

三、课堂练习

1.如图，AB=CD,AC=BD,/XABC和aOCB是否全等？试说明理由.

2.如图，D,尸是线段上的两点，AB=CE,AF=DE,要使AAB产父还需

要条件.

3.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（）

A.节省材料，节约成本

B.保持对称

C.利用三角形的稳定性

D美观漂亮

四、课堂小结

I.边边边：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.

2.三角形的稳定性

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂

的教学效率,促进了学生对新知识的理解和掌握.从课堂教学的情况来看，学生用“边边边”

判定两个三角形全等掌握较好，达到了教学预期的目的.

第2课时利用“角边角”和“角角边”判定三角形全等

'‘教学目标

1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边隹”和“角角边”；

2.能运用“角边角”和“角角边”的判定方法进行简单的说理.

重点难点

重点

理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”和“角角边”.

难点

能运用“角边角”和“角角边”的判定方法进行有条理的思考和简单的说理.

教学过程

一、导入新课

如图所示，某同学把一块二角形的玻璃不小心打碎成了二块，现在要到玻璃店去配一块

完全•样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？

学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流.

教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什

么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法.

二、探究新知

探究点一：全等三角形判定定理“ASA”

由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都

是全等的.如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到

的三角形都全等吗？

尝试•思考

如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边.情况会怎样呢？

小组合作

选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形.你

作的三角形与同伴作的一定全等吗？

归纳：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”.

几何语言:

NA=/A,

在△ABC和△A'B'C中，JAB=/V4',•••△ABC也B'C'(ASA).

回顾上述作图过程，请你总结已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方

法和步骤.

如图，已知Na,N6,线段c,用尺规作△ABC,使NA=Na,AB=c.

//L，:

请按照给出的作法作出相应的图形：

【类型一】利用“ASA”判定两个三角形全等

【例I】如图，C。〃八8,CO=CB,点E在上，ZD=ZACB.

⑴试说明：CE=AB；

(2)若NA=125°,贝LNBEQ的度数是55°.

ZD=ZACB,

解：因为CD//AB,所以NDCE=NB.在ADEC和NCA8中，•CD=BC,所以

、/DCE=NB,

△QECg△CA倒ASA),所以CE=AA

探究点二：全等三角形判定定理“AAS”

如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎么样呢？你能将它转化为

“尝试•思考”中的条件吗？与同伴进行交流.

归纳：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”

或“AAS”.

AD

CE-^——F

几何语言：

ZA=ZD,

在△4AC和△£>£：〃中，、NR=NE.

BC=EF,

：.A/WC^AD£F(AAS)

【类型二】利用“AAS”判定两个三角形全等

【例2】如图，在△ABC中，NAC4=90°,点E在AC的延长线上，于点。,

且8C=ED试说明：DB=CE.

解：因为EDLAB,所以ZADE=NACB=90°.在1ABC和/XAEO中，

NA=NA,

ZACB=ZADE,所以△A8Cg/\AEO(AAS).所以AB=AE,AC=AD所以DB=CE.

BC=ED,

三、课堂练习

1.如图，AD//BC,BE//DF,AE=CF,试说明：XADF出XCBE.

RD

第1题图第2题图

2.如图，在中，AD工BC于悬D,BE工AC于E.AD与DE交于F,若BF=AC,

试说明：△ADCW4BDF.

3.如图，AB与CO相交于点。，。是A8的中点，NA=/8,△AOC与△80。全等

吗？为什么？

四、课堂小结

1.角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.

2.角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角

角边”或“AAS”.

五、课后作业

完成本节课对应练习.

''教学反思

本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法.在寻找判定

方法说明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去

寻找所缺少的条件.从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预

期目的.存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后

的教学中进一步加强巩固和训练.

第3课时利用“边角边”判定三角形全等

教学目标

1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”；

2.能运用“边角边”的判定方法进行简单的说理.

、.重点难点J

重点

理解并掌握三角形全等的判定方法一“边角边”.

难点

能运用“边角边”的判定方法进行简单的说理.

''教学过程

一、导入新课

当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况：

三角

三边V

两边一角?

两角一边V

二、探究新知

探究点：全等三角形判定定理“SAS”

如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？小组合作选择两条线段

和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形.你作的三角形与同伴作的

一定全等吗？

归纳：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”

AB=DE,

几何语言：在△ABC和AOE/中，"NA=/。,所以△ABCgZkOEF.(SAS)

AC=DF,

回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的

方法和步骤.如图，已知线段a,c,N用尺规作△A8C,使8C=a,AB=c,ZABC=

Na.

尝试•交流

如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？

如图，已知△ABC的A8边和边长为/的AC边，以及AC边的对角N8,你能用尺规确

定顶点C的位置吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进

行交流.

【例】如图，4,D,F,B在同一直线上，AD=BF,AE=BC,且AE〃8C.试说明：

△AEF出4BCD.

分析：由艰据平行线的性质，可得N4=NA由八。=BF,可得人户=B。.由

AE=BC,根据“SAS”，即可得AAE尸丝△8CD

解：,:AE"BC,：.ZA=ZB/：AD=BF,JAF=BQ.在△AE/7和△BCQ中，：

AE=BC,

'NA=NB，工△AEFgABCD(SAS).

AF=BD,

三、课堂练习

1.下列条件中，不能判定△ABC丝△7)£尸的是()

A.AB=DE,ZB=^E,BC=EF

B.AB=DE,NA=/D,AC=DF

C.BC=EF,NB=/E,AC=DF

D.BC=EF,NC=",AC=DF

2.如图，已知A8=AE,ZBAD=ZCAE,要使△ABCg/XAED,还需添加一个条件,

这个条件可以是.

3.如图，点B，C,F,石在同一条直线上，AB=DE,BF=CE,N8=NE试说明：

AC//DF.

四、课堂小结

1.边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.两

边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.全等三角形判定与性质的综合运用

五、课后作业

完成本节课对应练习.

教学反思

本节课首先复习巩固，设置问题，然后通过作图，自主探究，交流展示，得出结论，最

后通过练习巩固提高.虽然学生在探究两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全

等出现了困难，但通过教师的引导也得到了解决，整个课堂同学们的积极性较高，达到了预

期的效果.

4.4利用三角形全等测距离

''教学目标

会利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.

♦.重点难点

重点

利用三角形全等解决实际问题.

难点

在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.

•.教学过程

一、导入新课

一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉售隔河

相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测

量工具的情况下，一个战士想出了一个办法，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通

过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，俣持刚才的姿态，这时视线落在了自

己所在岸的某一点上，接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与

碉堡间的距离.

二、探究新知

探究点：利用三角形全等测量距离

(1)按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验

证.

⑵你能解释其中的道理吗?

观察•思考

如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量4,8间的距离，但绳

子不够长.他叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达4点和B点的点C,

连接AC并延长到。，使CQ=4C.连接4c并延长到&使CK=CA连接。七并测量出它的

长度，

你知道其中的道理吗？

小丽是这样想的：

在△A4C和△QEC中，

因为AC=OC,NACB=/DCE,BC=EC,

所以

所以

你能说出小丽每一步的理由吗？

三、课堂练习

【类型一】利用三角形全等测量物体的高度

【例1】小强为了测量一幢楼高AB,在旗杆CO与楼之间选定一点P.测得视线PC与地

面夹角N/)PC=36°,视线小与地面夹角NAPB=54°,量得P到楼底距离PA与旗杆高

度相等，等于1。米，量得旗杆与楼之间距离为。8=36米，小强计算出的楼高48是多少

米？

解析：根据题意可得ACPOg△必B(ASA),进而利用48=DP=QB一尸8求出即可.

解：•.•NCPQ=36°,ZAPB=54°,NCDP=NABP=90°,：.ZDCP=ZAP8=54°.

在△CP。和△物B中，"：/CDP=NABP,DC=PB.NDCP=/APB,

附8(ASA),・・.OP=A8.・・・08=36米，户8=10米，.・・48=36—10=26(米).

答：小强计算出的楼高/IB是26米.

【类型二】利用三角形全等测量物体的内径

【例2】要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点0为卡钳两柄交

点，且有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则此工件的外径必是CD

的长，其中的依据是全等三角形的判定条件()

A.SSS

B.SAS

C.ASA

D.AAS

解析：如图，连接AB,CD.在△ABO和△OCO中，OA=OD,/AOB=/DOC,OB=

OC,•••△A8OdOCO(SAS),：.AB=CD.^)&B.

【类型三】利用三角形全等测量距离的方案设计问题

【例3】如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A,8的距离，请用构造全等三角形的

方法，设计一个测量方案］画出图形)，并说明测量步骤和依据.

解析•：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法