广东省广州市2024-2025学年高二年级下册期末联考 数学试卷（含解析）

一、单选题

1.设等差数列｛""｝的前〃项和为若%=7,$9=90,则出=（）

A.20B.18C.16D.15

弘AInx

2.已知函数,，曲线N=/（x）在点（IJ。））处的切线与直线2尤一'=°平行，则实数。的值为

（）

A.2B.4C.2D.1

3.下列说法不正确的是（）

A.对具有线性相关关系的变量x,且回归方程为y=03x-机，若样本点的中心为（-4,加），则实

数比的值是-66

B.若随机变量X服从正态分布N（l，〃），且尸（X42）=0.7,则尸（1<XV2）=O.2

C.若线性相关系数”越接近1,则两个变量的线性相关程度越高

D.一组数据10,10,11,12,12,14,16,19,21,21的第80百分位数为19

4.已知“Be是边长为1的正三角形，£为2c中点，且丽=2友，则荏.而=（）

3333

A.2B.2C.4D.4

5.牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的

T-T=

c,其中是环境温度，〃为常

初始温度为4,则经过一定时间t分钟后的温度T满足4

数.现有一个105T的物体，放在室温15冤的环境中，该物体温度降至75T大约用时1分钟，那么再经过

加分钟后，该物体的温度降至30。&则仅的值约为（）（参考数据：植2"0.3010,lg3"0.4771）

A.2.9B.3.4C.3.9D.4.4

6.在三棱锥「一NBC中，△NBC和△P3C均是边长为2g的等边三角形，若「则三棱锥

产一/BC的体积为（）

A.2gB,4C.26D.2&

~?—=l（a〉0,6〉0）「口

7.已知双曲线C。b2,的左、右焦点分别为片，3，直线/经过且与。交于4,B

两点，若'，斗伍=。,则C的离心率为（）

Vio_

A.2B.^5C.&D.^2

8.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若

第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（）

31112123

A.%B.32C.64D.64

二、多选题

9,已知0>0,6>0,且0+6=4,贝|］（）

A.28B.20+2*>8

149

—+—>—

Clog2a+log2b>2D.ab4

10.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1,2,白球3,4,从中不放回的依次取

出两个球，事件/="第一次取出的是红球“，事件2="第二次取出的是红球“，事件C="取出的两球同色”,

事件。="取出的两球不同色”，则（）

A.A与3互斥B.C与。互为对立事件

尸。忸）=；

C.A与C相互独立D.

11.已知x=T是函数"xAg+a〉”的极大值点，则（）

A.函数/（*）的极小值为0

B,若T＜x＜。，则/（/）＞/（x）

C,若°＜加＜/,则y=/«）-加有3个相异的零点

D.若/（再）=）（X2）（其中％2＞为＞-1）,贝

三、填空题

.(兀)1.2吟

sina+—=—sin2a——二

12.若I6J4,贝uI6).

13.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，

每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种.

14.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分

壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数

学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每

条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程

①

若第1个图中的三角形的周长为1,则第〃个图形的周长为.若第1个图中的三角形的面积为

1,则第〃个图形的面积为.

四、解答题

15.S"为数列"J的前〃项和，已知%>°，片+%，=2S“+2.

⑴求的通项公式；

bn=—^—

⑵设“,求数列出｝的前"项和1.

f(%)=-----4x+ah\x(aGR)

16.已知函数2有两个极值点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)记两个极值点分别为毛，％,证明：/@)+/卜2)+10>叫

2

17.甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为乙获胜的

]_

概率为3.

⑴若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)如果比赛采用五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)进行比赛，求比赛的局数X

的分布列和期望；

(3)如果每局比赛甲获胜的概率为。(°<P<1),乙获胜的概率为q(q="p),比赛的赛制有五局三胜制和三

局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得

出什么结论.

C:\+t=l(a>6>0)—

18.已知椭圆a，b2的短轴长为2,离心率为2.

⑴求C的方程；

⑵若4,4分别是c的左、右顶点，不与无轴垂直的动直线/与c交于尸，。两点(不同于4,4),且直

线40的斜率等于直线4°的斜率的2倍，求证：直线/经过定点.

19.如图，在平面四边形”8。中，△/BC为等腰直角三角形，A/CD为正三角形，

ABC=90°,AB=2,现将△O4c沿NC翻折至AS/C,形成三棱锥S-NBC,其中S为动点.

(1)证明：ACA.SB.

(2)若SCL8C,三棱锥S-/8c的各个顶点都在球。的球面上，求球心0到平面"C的距离;

(3)求平面"C与平面S8C夹角余弦值的最小值.

参考答案

题号12345678910

答案CADDBDACABDBC

题号11

答案ACD

1.C

【详解】因为｛""｝是等差数列，由等差数列通项公式和前n项和公式可得,

[+3d=7

[邑=9q+36d=90,解得%=_2,d=3,

以%=%+6d——2+18=16

故选：C

2.A

—(x+Q)—Inx1H-----Inx

/_lux=----------------=~~—

【详解】由)3A-不可得(X+4(尤+。)一，

因为曲线，=/(")在点0J⑴)处的切线与直线=。平行，

1c1

-----2CL-

且直线2x-y=°的斜率为2,即1+。，解得2.

故选：A

3.D

【详解】对于选项A,线性相关的回归方程对应的直线过点(-4即)，即加=0.3X(-4)-〃7,解得加=一0.6,

选项A正确；

对于选项B,根据正态分布的性质，P(X>l)=0.5,P(X>2)=1-尸(X42)=1-0.7=0.3,则

P(l<X42)=0.5-0.3=0.2,选项B正确;

对于选项C,相关系数的绝对值⑺越接近1,则两个变量的线性相关程度越高，选项C正确；

对于选项D,共有1。个按从小到大排列的数据，10x0.8=8,根据定义第80百分位数为第8项和第9项的

19+21=20

平均数2,选项D错误.

故D

4.D

【详解】由E为8C中点，A/8C为正三角形，所以/E,BC,如图所示:

所以赤而二而力+而）=|珂+0=|珂

AB=1,BE=—AE—.11—=-^―

因为边长2,所以根据勾股定理可得V42

AE-AD=

所以

故选：D.

5.B

75-15=2]”(105-15)f-V'=-

【详解】由12)，有[2)3,

-lg4

«lgf=lg1w=a3.4

则34,解得Ig2-lg3Ig3-lg2

故选：B.

6.D

【详解】取8c中点°,连接尸°，4°,如图

P

由*BC和△尸8c均是边长为26的等边三角形,

PO^AO=—x2>/3=3

可知2,

22

由尸可知，PA=y]PB+AB=V12+12=276；

在等腰三角形P/。中，

SAPAO=3尸月/。//-=gxxJ9-6=3V2

9

因为尸O,8C,ZO,8C,POn/O=O,PO,N0u平面尸O4

所以8CL平面尸O/,

由1“VP-ABC=18C-S△？/o=：X2A/JX3c=2&

所以33,

故选：D

7.A

【详解】由题意知“口盟，3|阻=|尸刮，且48都在双曲线的右支上.

设以闾=x,则|"；|=2a+x,阳却=3尤"耳即=2a+3x

在Rt△耳AS中，（3x+2a）~=（4x）-+（x+2a）；得彳=.,

则M玛1=。，|四|=3。

在Rt△/4月中，闺£「=|/用/周[

0/、2rCV10

即4c=（3a）+a,得，/十.

VTo

所以双曲线。的离心率为2.

故选：A.

8.C

【详解】设事件4="第〃次球在甲手中”，名="第”次球在乙手中“，G="第”次球在丙手中”,

那么由题意可知可知：/即）十⑷+聂仁）,又尸⑷+尸（4）+尸（。）=1,

P（4+I）=;-±P（4）。（4+1）-1尸（4）-；=-；卜⑷-；1

所以22v7,构造等比数列32233

因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即尸（4）=1,

所以「⑷一雪是以，（4讨1为首项，公比为T的等比数列,

P(4)-；="（4）=；

故+K1

因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，所以乙、丙地位对称,

即P（8.）=P（Q）,所以经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为“线）=5。一'（4））=石.

故选：c.

9.ABD

［详解】对于A选项：因为〃〉0,b>0,〃+6=4,则

2

22（Q+6）24门

a+b>----------=—=8

即22,当且仅当〃=6=2时等号成立，所以A选项正确；

对于B选项：因为2">0,2">0,则2"+2呛2也'2"=2声=2应=8,

当且仅当“=6=2时等号成立，所以B选项正确；

对于C选项：当°=1且6=3时，Iog2a+bg26=log21+log23=log23<log24=2,

所以C选项错误；

141f14^,、ba5[b~a59

—+—=—x—+—(Q+6)=——+—+—>2J—x—+—=—

对于D选项：ab41ab)'4ab4\4ab44

b_a

当且仅当4。一了，即6=2。时等号成立，所以D选项正确，

故选：ABD.

10.BC

【详解】基本事件有⑵13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12种,

事件/="12,13,14,21,23,24"；事件8=“12,21,31,41,32,42”；

事件C="12,21,34,43"；事件C="13,14,23,24,31,41,32,42”.

...“口2*0,...A与8不是互斥事件，故A错误；

CUD=。，CcD=0,...C与。互为对立事件，故B正确；

事件/C="12,21",尸⑷"AC,尸（。”对,尸（"）=W,尸（"）=尸⑷尸（C）,.A与

C相互独立，故C正确；

P（B、=LP（\±L尸（。忸）=^^=2

事件AD=“31,41,32,42",2,BD=12=3,...P（B）3,故D错误.

故选：BC.

11.ACD

【详解】对于A中,由函数/。）=。2+。封，可得/'卜）=2（?+—卜2；

因为x=T是/（X）的极大值点，所以f'（T）=°,解得。=0,

所以/（x）=x%:可得/'（》）=2》卜+1户”,

当x<T时，/"x）单调递增；当T<x<0时，/'（x）<0J（x）单调递减；

当x>0时，/'（x）>°J（x）单调递增，

所以函数/（X）的极大值点为T,极小值点为0,所以A正确；

对于B中，当T<x<0时，*T3=X（1-X2）<0,则T<X<X3<0,

因为/（x）在区间（T，°）上单调递减，所以/（x3）</（x）,所以B错误；

对于C中，由且当x--00时，/（X）一°,当xf+8时，/（X）—+”,

可得/（x）的图象，如图所示，

当°<时，丁=/（，）一机有3个相异零点，所以C正确;

对于D中，因为一要证再+%<0,只需证明.<一再,

由/(x)在(0,+°0)上单调递增，需证明/&)</(一玉),

即当-1<%<0时，证明/(再)</(-*)，

构造函数g(x)=/O/(f)(其中-1<X<。)，

贝1Jg'(x)=f(x)+/'(_%)=(2%2+2x》2x+(2——2X》-2X=2x(e2x-e~2x)+2x2(e2x+e~2x)

当-1vx<0时,g'(x)>。，则gG)在(T°)上单调递增，

所以g(x)=/(x)-/(f)<g(0)=0,即当-1<%<0时，/@)</(一W)，

所以/(9)</(一再)，所以马<一占,再+忆<0,所以口正确.

故选：ACD.

_7

12.8

.(c兀).兀、71

sin2a—=sin21

【详解】〔6>LIOLH—6)—2」

(兀)

=-cosL2I。+一6JJ

=一l-2sin2^+^

T-

_7

--8.

7

故一口

13.30

【详解】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，

则将4人按2/，1分组，

若不考虑限制条件，

=36

则此时不同的安排方式有A]一种，

当甲和乙去同一个地方时，有人；=6种不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有36-6=30种.

故30

n-\n-\

4834

——x

14.3559

【详解】记第〃个图形为月，三角形边长为凡，边数"，周长为4,面积为S

2

11

a

耳有4条边，边长\《有条边，边长电一非；月有4=4%条边，边长的3x

11

a~~a-\an

nn1

分析可知3即3；b"=4bf即6“=*4"T

当第1个图中的三角形的周长为1时，即4=1,4=3

14M-l

L〃-a〃b〃=X3X4"T

所以33

nDS=S„,+b,X—a2

由图形可知《是在每条边上生成一个小三角形，即4

S“一S〃T=gx.b〃_[S〃T-S“_2=gX,b〃_2

即4,44

工1m电上,,S〃一耳二丁（a/年+Q；2+…+%2也）

利用累加法可得4,7

J_24

■1}

数列｛%｝是以§为公比的等比数列，数列也｝是以4为公比的等比数列，故包2也

是以9为公比的等比

数列,

4A/34A/3

2=1

当第个图中的三角形的面积为时，即

11E=l,4%,止匕时3F,[有4=3条边,

an'bn-\+an-\

5

则

n-\

34、

S“-『x1-

9s,

所以J,所以

n-1

4r1834

।5-5X

故

15.⑴%=〃+l

n

⑵"2«+4

［详解］(1)由其+%=2S.+2,①

可得«ii+%=2S.+I+2.②

22

由②①得%+1—"〃=an+\+an

:＞0J。〃=1

又当〃=1时，得d+q=2S］+2

解得4=2吗=-1（舍去）

可得数列｛”」是首项为2,公差为1的等差数列

即%=H+1,MGN,

1

bn=

（2）由（1）知(几+1)(几+2),

止」一—L

可得〃n+\n+2

11111111n

因此"2334n+\n+22n+22〃+4.

n

T=

可得"2〃+4

16.⑴（°M）；

（2）证明见解析.

.ax1-Ax+a

/'(x)=x_4+—=--------------

xG(0,+x)

【详解】（1）由题意得,xx

因为/（x）有两个极值点，所以方程/-4无+。=°有两个不相等的正根,

△=(-4)--4。〉0

所以卬：2=a>0,解得0<“<4

检验：当0＜。＜4时，由/''G)=°得x=2-"^或x=2+"^

所以/(X)在(°’2一上单调递增，在(2一2+上单调递减,

在@+"^'+8)上单调递增，满足题意.

所以实数。的取值范围为(°'4).

(2)证明：由(1)知再+Z=4,再々=°,

所以“xj+/（z）=g6+¥）-4（再+/）+aln（网％2）-olna-tz-8

所以/（/）+/（"2）+10_m4=（4_1）加4_〃+2

令g(x)=(x-l)lnx-x+2(0<x<4),贝/卜”11n'一五

"x)=g<x)=l』：如)=?5>0

V人，则人人,

所以8'00在(°，4)上单调递增.

因为g'o)=T<°,g,(2)=ln24>0,

所以函数g'(x)存在唯一零点“。e°Z,即幽一X。，

且当“€(°，/)时，g'(x)<。，g(x)单调递减；当xe(%,4)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

（1、

(g(x0)=(x0-l)lnx0-XQ+2=3—XQH-------

所以当x=%时，g(x)存在最小值，即、xo>

因为x°e(l，2),所以2<、。+与<5,所以

所以/(国)+/(々)+10>1皿

20

17.(1)27

107

(2)分布列见解析，方

(3)答案见解析

【详解】⑴设事件”“比赛采用三局两胜制甲胜”，则'⑷=0+《0'号

(2)比赛的局数为X的所有可能取值为3,4,5,

9_110

P（X=3）=p（X=4）=C；

27~3

可得1淮此27

所以随机变量X的分布列为：

X345

£108

P

32727

W=3xl+4xl2+5xA=12Z

所以期望为3272727.

（3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率/5）=/+Cp2（1-。）=。2（3-2。），

采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：

g（p）=/+《/（1一p）+c%3（1_p）2=/（6p2-15。+10）.

令g⑺-"P）=3P2（2/-5P2+4。-1）=3Plp7）2（2。-1）,

因为所以MCPT）2>0.

P--1

当2时，gO）=/（〃）；

当2时，g（，）</5）；

11

当2时，g（p）>f（p）.

八

0<p<—1—1<?<11

所以当2时，选择三局两胜制对甲有利；当2时，选择五局三胜对甲有利;

1

p=一

当2时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响.

由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

—+/=1

18.(1)4；

(2)证明见解析.

【详解】(1)由题意得：26=2=6=1=〃2一02=1,

C6232

-=—nc=-a242o

a24,所以解得成=4,c-=3,

即椭圆方程4-；

(2)

.—\-y=1

设直线/方程为夕=履+加，与椭圆4联立，消歹得：

2

（4左2+1）%2+8kmx+4m-4=0

222

甘a1A=16（4k0n4k+1>m

其中v7,

-Skm_4m2-4

设尸0（%,%）,贝广+苫2=^4p*x2=而百，

M2%=必为2¥=（一+加）（丘2+加）4一只

由已知得.芯+2/―2再+2x2-2演+22（x2-2）

2

再化筒彳氏（2，2+1）叫％2+（2痴+2）（再+x2）+2m+4=0

（2k2+］严：-4+（2+2）-8km+2机2+4=0

代入得：1，4犷+1'km々后？+1

整理得：磔-3加加）=0,

因为直线/不经过点4（一2，°）,所以2人-机'0,

2

2k-3m=G=m=—k

即3,

2,_,r2）

y=KXH—K=K\XH—

所以直线/的方程为‘3I34

因此直线,经过定点I3A

19.（1）证明见解析

V3

⑵3

V3

（3）3

【详解】（1）取/C的中点E,连接SE,BE,

因为/2=2C,S/=SC,且NC的中点E,所以SEL/C,BELAC

又SEcBE=E,SE,BEu平面SBE,故NC_L平面S2E,

由于S2u平面S8£,故NCLSB,

A

(2)当SC_L8C时，由ACHS则5/_LR4,

取BS的中点°,连接04℃,

故。到45,CS四点的距离相等，故。为三棱锥S-48C外接球的球心,

因为=8C=24s=CS=2V2,故SE=®SB=2#,,EB=血,

设S到平面ABC的距离为4,B到平面ABC的距离为必，

X

.%-AB