单元检测卷（七）立体几何与空间向量（含解析）-2026届高中数学一轮复习

单元检测卷（七）立体几何与空间向量

（分值：150分）

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.[2024.佛山二模]某圆锥高为小，母线与底面所成的角为?则该圆锥的表面积为

（）

A.3兀B.4兀

（2.5兀D.6TI

2.[2025•成都模拟]已知6是两条不同的直线，a是平面，若〃〃a,buQ,贝lj

b不可能（）

A.平行B.垂直

C.相交D.异面

3.[2025•枣庄模拟]已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在

同一个球的球面上，则该球的表面积为（）

A.4TIB.6兀

C.8兀D.10兀

4.[2024•长沙二模]在空间中，已知I,m,n为不同的直线，a,0,y为不同的

平面，则下列判断正确的是（）

A.若mua,m//n,贝!Jn//a

B.若l//a,l//p,则a//p

C.若1邛,mLl,则ct_Ly?

D.若a_Ly,贝Up//y

5.[2024.泉州模拟]《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积

近似计算的注释:将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，

将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相

加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”ABC。一ERGH,其上、下底面均

为正方形，若EF=2AB=4,且每条侧棱与底面所成角的正切值均为2衣则按

《九章算术》的注释，该“刍童”的体积为（）

A.8

C与D.112

6.[2025•梅州模拟]直三棱柱ABC—43C1中，NS4c=120。，AB=AC=AAi,则

异面直线BAi与AG所成角的余弦值为（）

B--4

c.半

7.[2025•荷泽模拟]如图，在正方体A3CD—ALBCIDI中，AtDnADi=E,CDinCiD

=F,则下列结论中正确的是（）

A.BBi〃平面ACDi

B.平面BDCi,平面ACDi

C.EfU平面BDDiBi

D.平面ABBiAi内存在与ER平行的直线

8.[2025•福州模拟]已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，PA=PB=

2jr

PC=AB=y[6,ZACB=~^,则球0的体积为（）

27

A.3JI

C.^TC

D.9TI

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.[2025•长沙模拟]如图，在三棱柱ABC—AICi中，E,F,G,H分别为331,

CC1,A1B1,4cl的中点，则下列说法正确的是（）

A.E,F,G,"四点共面

B.EF//GH

C.ZEGBi=ZFHCi

D.EG,FH,AAi三线共点

10.［2025•长沙调研］某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台

0102,在轴截面A3CD中，AB=AD=BC=2cm,且CD=2A3,则（）

A.该圆台的高为1cm

B.该圆台的轴截面面积为35cm2

C.该圆台的体积为毕cm3

D.一只小虫从点。沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5

cm

11J2025•湖北七市联考］如图，棱长为2的正方体ABCD—ALBCLDI中,E为棱

的中点，F为正方形CiCDDi内一个动点（包括边界），且〃平面AiBE,则下

列说法正确的有（）

A.动点R轨迹的长度为吸

B.三棱锥囱一。1所体积的最小值为:

C.3LF与ALB不可能垂直

25

D.当三棱锥Bi—DiDF的体积最大时，其外接球的表面积为？

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12J2025•成都模拟］在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有个.

13.［2025•惠州模拟］如图，在四棱锥尸一A3CD中，出，底面A3CD,且底面各边

都相等，ACDBD=O,M是PC上的一动点，则当点〃满足时，平面

M3。，平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）

14J2025•天津南开区模拟］在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方

形，AAi,BG,CCi,均与底面ABCD垂直，且AAi=CCi=DDi=23G=W§,

点E,R分别为线段3C,CQ的中点，记该几何体的体积为V,平面ARE将该几

何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.（13分）［2025•安康模拟］如图，在圆锥P。中，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面

的圆心，四边形ABCD是底面的内接正方形，E,F分别为PD,必的中点，过

点、E,F,。的平面为a.

B

（1）证明：平面a〃平面P3C；

⑵若圆锥的底面圆半径为2,高为小，设点M在线段ER上运动，求三棱锥P—

MBC的体积.

16.（15分）［2025•青岛模拟］如图所示，多面体A3CDEE底面A3CD是正方形，点

O为底面的中心，点”为ER的中点，侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形,

EF=4,其余棱长均为2.

（1）证明：平面A3CD；

⑵若点P在棱CE上，直线与平面所成角的正弦值为哼，求EP.

17.（15分）［2025・济宁模拟］图1是由正方形A3CD和两个正三角形△ADE,ACDF

组成的一个平面图形，其中AB=2,现将△ADE沿AD折起使得平面ADE,平面

ABCD,将△CDR沿CD折起使得平面平面A3CD,连接EEBE,BF,

如图2.

F

(1)求证：EE〃平面ABC。；(2)求平面ADE与平面3cb夹角的大小.

18.（17分）［2025•日照模拟］如图，在直三棱柱ABC—ALBCI中，AB±BC,AB=BC

=3,CCi=6点D,E,R分别在线段331,CCi,AAi上，且3D=CE,AF>BD.

(1)证明：DE±BF；

(2)若DF=35且平面DEF将直三棱柱ABC-AiBiCi的体积平分，求二面角B

-EF-D的余弦值.

19.(17分)[2025•武汉模拟]如图，A3是圆0的直径，点C是圆。上异于A,B的

.jr

点，PC，平面ABC,NB4c=4,PC=AB=2,E,R分别为RI,PC的中点，平

面BEF与平面ABC的交线为I.

(1)证明：平面P3C；

⑵直线/与圆。的交点为3,D,求三棱锥D—A3E的体积；

(3)点Q在直线/上，直线PQ与直线ER的夹角为a,直线PQ与平面3ER的夹

JT

角为川，是否存在点Q,使得a+£=i?如果存在，请求出30；如果不存在，请

说明理由.

单元检测卷(七)立体几何与空间向量

1.A[由圆锥高为小，母线与底面所成的角为争得圆锥底面圆半径r=£=1,

tan3

母线I=A/12+2=2,所以圆锥的表面积5=71户+兀〃=3兀.故选A.]

2.C[因为。〃a,bua,则a与6可能平行，异面和垂直，若a与6相交，a^b

=A,则A©a,A©。，所以A©a,即直线a与平面a有公共点，这与a〃。矛盾，

故不可能相交.故选C.]

3.C[由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为厂,

则『弋V+(1)2=y[2,故该球的表面积为4兀3=8兀.故选C.]

4.C[若mua,m//n,则n//a或nua,故A错误；

由长方体可知两个平面可相交，故B错；

若m±a,则直线m,/对应向量分别是平面a,4的法向量，由m±Z知

向量夹角为90°,所以,即C正确；

若a_L.,a±y,则.，y平行或相交，故D错误.]

5.C[连接HF,EG交于点Oi,连接AC,DB交于点。2,连接。1。2,过C作

CQ//O1O2,如图，因为“刍童”ABC。一ERGH上、下底面均为正方形，且每条

侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以。1。2,底面EFGH,又所

以CQ,底面EFGH,

所以ZCGQ是“刍董”ABCD—EFGH其中一条侧棱与底面所成的角，则

tanNCGQ=2吸，因为ER=2AB=4,所以EG=4巾,AC=2小,

易知四边形ACGE是等腰梯形，则QG=g(EG—A0=di,所以在Rt^CQG中，

tanNCGQ=*=26，则CQ=2吸QG=4,即“刍童”ABCD—EFGH的高为4,

小'、A、心人华4X[(2X2+4)X2+(2X4+2)X4]112…

则该刍童的体积V=—!----------------------------------------------L=-y.故选C.]

6.A[以A为原点，在平面A3C中过A作AC的垂线交3C于。，以AD所在直

线为x轴，AC所在直线为y轴，AAi所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如

图，因为直三棱柱ABC—ALBICI中，NB4c=120。，AB=AC=AAi=l,所以

3(岑，一10),Ai(0,0,1),A(0,0,0),Ci(0,1,1),或i=(一乎,1),ACi

=(0,1,1),设异面直线34与ACi所成角为仇则cosg=।威「二一=(■

|BAi|-|ACi|仔

3所以异面直线B4i与AG所成角的余弦值为3:•故选A.]

7.C[因为A3CD—ALBICLDI为正方体，设正方体边长为2,

以为原点，D14所在直线为x轴，DiG所在直线为y轴，DiD所在直线为z

轴建立空间直角坐标系(图略)，则£>1(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,

2,2),Bi(2,2,0),E(l,0,1),F(0,1,1),DtA=(2,0,2),ZZC=(0,2,

2).

n-DiA=0,2x+2z=0,

设平面ACDi的法向量为n=(x,y,z),则，_即令x=l,

[2y+2z=0,

n-D\C=0,

则n=(l,1,—1),

同理可得平面BDCi的法向量m=(—1,1,1),丽i=(0,0,-2),BBin=2^0,

故A不正确；

mn=-17^0,故B不正确；

因为辞=(—1,1,0),ZhD=(0,0,2),91=(2,2,0),EFZhD=0,EFD}B\

=0,所以EF±DiD,EFLDiBi,又DiDCDiBi=Di,DiD,DLBIU平面BDDiBi,

所以EE,平面BDDLBI,C正确；

平面ABBiAi的一个法向量为p=(l,0,0),律•「=—1W0,故D不正确；故选

C.]

8.C[如图所示，记△ABC的外接圆的圆心为。1,

连接尸。1,AOi,

因为PA=PB=PC=y[6,

所以P01，平面ABC,

且点。在直线尸。1上，

连接0A,

则OA=OP.

因为AB=M&ZACB=-^-,

所以由正弦定理得，2A0i=^r,

sm至

解得AOi=啦,

所以POi=^//?42—AOT=2.

设三棱锥P—ABC外接球的半径为R,

则OA=OP=R,00x=2-R或00i=R—2.

因为OA2=OOT+OIA2,

所以R2=(R—2)2+(也)2,

3

解得“方则。在线段。1P上，

49

所以外接球0的体积丫=铲火3=］兀，

故选C.］

9.ABD［对于AB,如图，连接ER,GH,

因为GH是△ALBCI的中位线，所以GH〃3Ci,因为3归〃。凡且

所以四边形B1ERC是平行四边形，所以取〃31。，所以EF〃GH,所以E,F,

G,H四点共面，故AB正确；

对于C,因为EBi=RCi,当GSiWHCi时，

JT

tanZEGBi^tanZFHCi,又0<NEG3i,/FHC%,则NEGBWNfWCi,故C

错误；

对于D,如图，延长EG,FH相交于点P,因为P©EG,EGu平面ABBAi,所

以尸©平面A3B1A1,因为PCRH,EHu平面ACCiAi,所以尸©平面ACCiAi,因

为平面ABBAA平面ACCi4=A4i,所以P^AAx,所以EG,三线共点，

故D正确.］

10.BCD［对于A,如图1,过点3作5ELCD于点E,则。石=型3殁=1,所

以郎=、3。2—CE2K22T2=5,即圆台的高为小cm,故A不正确;

对于B,圆台的轴截面面积为

|x（2+4）xV3=3V3（cm2）,故B正确；

对于C,圆台的体积为

1

§><、/§><（兀+4兀+、兀4兀）=3（cm3）,故C正确；

对于D,将该圆台侧面的一半展开，得到如图2所示的扇环A5CD,再将其补成

JT

扇形尸CD,则弧CD长为2兀，半径PC长为4,所以圆心角NCPD=].取A。的

中点为连接CM,则从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点〃的最短路

径即扇环中线段CM的长，。〃=封尸。2+P〃2="42+32=5（011）,故D正确.综上

所述，选BCD.]

11.ABD[如图，对于A,分别取CDi,CiC的中点M,N,连接BiM,BiN,

MN,则由正方体的性质可得

B1N//A1E,MN〃AiB.因为MN,BiMt平面AiBE,AiB,AiEu平面AiBE,所以

MN〃平面ALBE,BIN〃平面AIBE.又MN,BNu平面BMN,MNCBiN=N,所

以平面BiMN〃平面AiBE,所以点R的运动轨迹为线段MN,即动点R轨迹的长

葭为MN=地,故A正确.对于B,VBi-DiEF=1x2SAD1EF,易知当R与〃重

合时，SAD1ER取得最小值，即（SADlEF）min=；XlXl=；,所以（VBi—Dgmin

211.

=3X2=3?故B正确.对于C,当厂为线段MN的中点时，因为AfB=N3i,所

以BiFLMN.又MN〃AiB,所以故C不正确.对于D,VBi-DiDF=1

2

XSADiDFXBCi=]SADiDF,易知当R与N重合时，取得最大值，

连接BLDI,DiN,DN,B\D,所以（VBLDLD尸max=VBi—DiDN.由正方体的性质

知瓦DILDLD,所以△BLDLD为直角三角形，易知点N在平面BLDLD上的投影为

RtABiDiD的斜边51。的中点，设为G,连接NG,则三棱锥囱一DDN,即三棱

锥N—BLDLD的外接球的球心。在直线NG上，设球。的半径为R,易知3LD=

2小，NG=y[2,则由（也土或2+（小）2=夫2,得R=乎，所以球0的表面积S=47rR2

=~pt,故D正确.综上所述，选ABD.]

12.4[在长方体ABCD—中，四棱锥。一ABCD的四个侧面中，直角三角

形的个数最多是4个，即△ZX4B,/\D'AD,AD'BC,△〃CD]

13.DMLPC（答案不唯一）[由题意知，四边形ABCD为菱形，故ACL3D

,.•必，底面A3CD,又BDu平面ABCD,

：.PALBD,

XPA^AC=A,PA,ACu平面RIC,

.•.3D，平面PAC,又PCu平面PAC,

：.BD±PC.

:平面PCD为固定平面，平面MB。为运动平面，且运动平面中的固定直

线BD垂直PC,.•.只需在运动平面MBD中找到一条与3。相交且垂直于PC的

直线即可满足平面MB。，平面PCD,则DMLPC,或等都满足要求.]

7

14.五V[由题意可知，如图所示，连接AD,DiF,则EfWADi,所以平面EMDi

即为平面AER截几何体的截面.因为A4i=CCi=DD=23G=4/，AB=BC=CD

=D4=4,所以几何体的体积V=4X4X4-\/3—1-x|x4X4X2^3=^y^,被截

棱台的体积

56s

弯底，则较大部分体积为敷=4即，且所以较小部

3

7

分的体积为VECF-ADDi=^V.]

15.(1)证明因为E,F分别为PD,出的中点，所以ER〃AD,

因为四边形ABCD为正方形，所以AD〃5C,从而EF〃BC,

又EFG平面PBC,BCu平面P3C,所以ER〃平面PBC,

连接3D,0E,则。为3。的中点，又E为PD的中点，所以。E〃P3,

又OEG平面PBC,P3u平面P3C,

所以0E〃平面P3C,又OECEF=E,OE,ERu平面OER,

所以平面OER〃平面P3C,即平面a〃平面PBC.

(2)解由题知，尸。,平面ABCD连接。C,则。3=。。=2,2。=小.因为由(1)

的证明可知平面a〃平面PBC,

所以点M到平面PBC的距离等于点。到平面PBC的距离，

所以三棱锥尸一的体积为芈.

16.⑴证明取A3,CD中点K,Q,连接RK,KQ,QE,则。为KQ的中点,

因为侧面ADER是等腰梯形，所以EF〃AD,又KQ〃AD,所以KQ〃EF,

△A3R和△DCE都是边长为2的等边三角形，得FK=EQ,所以四边形RKQE为

等腰梯形，

因为点M为ER的中点，。为KQ的中点，所以

因为△ABR是等边三角形，所以A5LRK,又A3LKQ,KQ,FKu平面FKQE,

KQHFK=K,所以A3,平面FKQE,ABu平面ABCD,所以平面RKQE,平面

ABCD,

平面FKQEC平面ABCD=KQ,MOu平面FKQE,MOLKQ,故平面ABCD.

(2)解在梯形RKQE中，EF=4,KQ=2,FK=EQ=y[3,等腰梯形中由勾股定

理得“。=6，取BC中点N,由(1)知，OK,ON,0M两两垂直，以。为原点，

分别以OK,ON,0M所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，

0(0,0,0),M(0,0,6),K(l,0,0),c(-l,1,0),A(l,-1,0),B(l,1,

0),E(~2,0,乖,设平面ABM的法向量为〃=(x,y,z),AB=(O,2,0),AM

=(-l,1,g)，

n-AB=2y=Q,

则_

n-AM=—x+y+啦z=0,

令z=l,则x=陋，y=0,得〃=(陋，0,1),

设欲=4前(OW丸Wl),BP=BC+CP=BC+2CE=(-2-2,一九小入),

设直线3尸与平面A3M所成角为0,

所以sin6=|cos〈〃，BP)|=阳'2^22^42

^/3^4A2+4A+421

\BP\-\n\

解得丸=；(负值舍去)，所以点P为棱CE的中点，所以EP的长为1.

17.⑴证明分别取棱CD,AD的中点。，P,连接。忆PE,0P,

由△CDR是边长为2的正三角形，得OfUCD,0F=yf3,

又平面CDfU平面A3CD,平面CORA平面ABCD=DC,ORu平面CDR

则OfU平面ABCD,同理PE,平面ABCD,PE=小,

于是OR〃PE,OF=PE,即四边形OPER为平行四边形，所以OP〃EE

而。Pu平面A3CD,ERI平面A3CD,所以ER〃平面ABCD.

(2)解取棱A3的中点Q,连接。。，由四边形A3CD为正方形，得。QLCD,

以。为坐标原点，OQ,OC,改的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直

角坐标系,如图所示,则8(2,1,0),C(0,1,0),F(0,0,小)，D(0,-1,0),

CB=(2,0,0),CF=(0,-1,也

n-CB=2x=0,

设平面BC厂的一个法向量为〃=(%,y,z),则j_令z=l,得

n-CF=—y+小z=0,

n=(0,小,1),

由CCA。，平面ADE,平面ABC。，平面ADEA平面A5CD=AD,CDu平面

ABCD,

得CD,平面ADE,则比=(0,2,0)为平面ADE的一个法向量，设平面ADE与

平面BCR的夹角为仇则cos6=|cos{DC,n)|=匹©=沼=坐，而。©(0,

\DC\\n\22

71M八兀

]],解传。=不

7T

所以平面ADE与平面3CF的夹角的大小为4.

18.(1)证明在直三棱柱ABC—ALBICI中，BClBBi,AB±BC,BBiHAB=B,

BBi,A3u平面A3BA1,则3S平面ABBAi,

入BD=CE,BD//CE,即四边形BCED是平行四边形，故DE〃:BC,于是

平面ABBiAi,而BRu平面ABBiAi,

所以DELBF.

(2)解在A4i上取点G,使AG=3D,连接DG,EG,则DG//AB,而

AAiLAB,则有AA」DE,AAi±DG,

火DGCDE=D,DG,DEu平面DEG,则AAi,平面DEG,而AAi,平面ABC,

因此平面DEG〃平面ABC.显然DGLRG,

FG=y]DF2-GD2=3,

由平面DEF将直三棱柱ABC-A\B\C\的体积平分知：

VF-DEG-\~VABC-GDE=^VABC—AIBICI,

Kp|x|x3X3X3+yX3X3XEC=|xyX3X3X6,

解得EC=2,

则AF