二次函数 章节（11知识点回顾+40题型练习）原卷版-2025年新九年级数学暑期预习（浙教版）

二次函数（11知识点回顾+40题型练习）

Q题型梳理

题型一列二次函数关系式题型二十一求抛物线与X轴的交点坐标

题型二二次函数的识别题型二十二求抛物线与y轴的交点坐标

题型三根据二次函数的定义求参数题型二十三已知二次函数的函数值求自变量的值

题型四y=ax2的图象和性质题型二十四抛物线与X轴的交点问题

题型五y=ax2+k的图象和性质题型二十五根据二次函数图象确定相应方程根的情况

题型六y=a（x-h）z的图象和性质题型二十六图象法确定一元二次方程的近似根

题型七y二a（x-h）?+k的图象和性质题型二十七图象法解一元二次不等式

题型八把y=ax2+bx+c化成顶点式题型二十八利用不等式求自变量或函数值的范围

题型九画y=ax2+bx+c的图象题型二十九根据交点确定不等式的解集

题型十y=ax2+bx+c的图象与性质题型三十图形问题（实际问题与二次函数）

题型十一二次函数图象与各项系数符号题型三十一图形运动问题（实际问题与二次函数）

题型十二一次函数、二次函数图象综合判断题型三十二拱桥问题（实际问题与二次函数）

题型十三反比例函数、二次函数图象综合判断题型三十三销售问题（实际问题与二次函数）

题型十四根据二次函数的图象判断式子符号题型三十四投球问题（实际问题与二次函数）

题型十五待定系数法求二次函数解析式题型三十五喷水问题（实际问题与二次函数）

题型十六二次函数图象的平移题型三十六增长率问题（实际问题与二次函数）

题型十七已知抛物线上对称的两点求对称轴题型三十七其他问题（实际问题与二次函数）

题型十八根据二次函数的对称性求函数值题型三十八面积问题（二次函数综合）

题型十九y=ax2+bx+c的最值题型三十九角度问题（二次函数综合）

题型二十利用二次函数对称性求最短路径题型四十其他问题（二次函数综合）

Q知识清单

知识点L二次函数的定义

1.二次函数的定义：一般地，形如＞=。/+及+。（a、b、c是常数，aWO）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量,

a、b、c是常量，a是二次项系数，6是一次项系数，c是常数项.y—a^+bx+c（a、b、c是常数，aWO）也叫做二次

函数的一般形式.

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次

函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.

2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需

使实际问题有意义.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a?0）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c

可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

知识点2.根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函

数图象要根据自变量的取值范围来确定.

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待

定系数法求解相关的问题.

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是

以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.

知识点3：二次函数y=ax2（aW0）的图象

用描点法画出二次函数丫=a处（aWO）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x?关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图

上看，抛物线y=x?的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x?有最低点，所以函数y=x?有最小值，它的最小值就是最低

点的纵坐标.

知识点4：二次函数丫=2*2620)的图象的画法

在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数＞=/的图像.

(1)列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值力如下表所示:

图1图2

(2)描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所

示.

(3)连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数＞=/的图像，如图2所示.

要点诠释：

二次函数y=ax2(aW0)的图象.用描点法画二次函数y=ax2(aWO)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y

轴.y=ax2(a#0)是最简单的二次函数，把y=ax2(aW0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax?+bx+c(a#0)的图象.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与〉轴的交点.

知识点5：二次函数y=ax2(aW0)的图象的性质

二次函数y二ax?(aWO)的图象的性质，见下表:

函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值

y=ax2a>0向上(0,0)y轴x>0时,y随x当x=0时，

增大而增大；y最小=。

x<0时,y随x

增大而减小.

y=ax2a<0k向下(0,0)y轴x>0时,y随x当x=0时,

增大而减小；y最大二。

x<0时,y随x

■增大而增大.

要点诠释

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相

同，只是顶点的位置不同.Ia|相同，抛物线的开口大小、形状相同.

|a|越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，|a|越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

知识点6.二次函数的性质

2

二次函数y=ox2+6x+c(aWO)的顶点坐标是(-4acb),对称轴直线x=-3—,二次函数y=ox2+6x+c(a

2a4a2a

WO)的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线y=6U：2+6x+c(aWO)的开口向上，x<-白-时，N随》的增大而减小；x>-L时，y随x的增

2a2a

2

大而增大；x=-互时，y取得最小值皿也_,即顶点是抛物线的最低点.

2a4a

②当。<0时，抛物线y=a/+6x+c(a#0)的开口向下，x<-时，V随工的增大而增大；x>-时，了随工的增

2a2a

2

大而减小；时，》取得最大值%0一,即顶点是抛物线的最高点.

2a-4a

③抛物线y=a/+6x+c(aWO)的图象可由抛物线>=办2的图象向右或向左平移|-,上)।个单位，再向上或向下平移|

2a

个单位得到的.

知识点7.二次函数图象上点的坐标特征

2

二次函数〉=如2+云+。QWO）的图象是抛物线，顶点坐标是（-袅，4ac心）.

2a4a

①抛物线是关于对称轴X=-券成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式.顶点是抛

物线的最高点或最低点.

②抛物线与了轴交点的纵坐标是函数解析式中的C值.

③抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（XI，0）,（X2,0）,则其对称轴为

知识点8.二次函数的最值

（1）当a>0时，抛物线在对称轴左侧,夕随X的增大而减少；在对称轴右侧，夕随X的增大而增大，因为图象有最低

2

点，所以函数有最小值，当X=-±_时,y=4ac-b

2a4a

（2）当aVO时，抛物线在对称轴左侧,歹随x的增大而增大；在对称轴右侧，歹随x的增大而减少，因为图象有最高

2

点，所以函数有最大值，当》=上时，y=4ac-b

2a-4a

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐

标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.

知识点9.待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y—ax2+bx+c（a,b,c是常数，aWO）；②顶点式：y—a（x-h）2+k（a,h,左是常数，aNO）,

其中（肌k）为顶点坐标；③交点式：y—a（x-%i）（x-》2）Qa,b,c是常数，aWO）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式.

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一

般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称

轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

知识点10.二次函数的应用

(1)利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析

式，然后确定其最大值，实际问题中自变量X的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意

自变量X的取值范围.

(2)几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论.

(3)构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐

标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

知识点11.二次函数综合题

(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据

系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项.

(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为

方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数

图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.

Q题型练习

题型一列二次函数关系式

1.（23-24八年级下•福建福州•期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月

相比增长率都是x,则该厂今年一季度新产品的研发资金歹（元）关于x的函数关系式为（）

A.歹=9(l+x)B.y=9+9x+x2

C.y=9+9(l+x)+9(l+x)2D.y=9(l+x)~

题型二二次函数的识别

2.（24-25九年级上•浙江湖州・期末）下列函数中，V是％的二次函数的是（）

1

A.y=4xB.y=2x-lC.y=x2-3D.y=—

x

题型三根据二次函数的定义求参数

3.（23-24九年级上•浙江绍兴•阶段练习）如果函数丁二如^^+苫是关于x的二次函数，那么加的值一定是

题型四y=ax2的图象和性质

4.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）若二次函数了=办2（。N0）的图象过点（-L-3）,则必在该图象上的点还有

()

A.(-3,-1)B.(1,-3)C.(1,3)D.(-1,3)

题型五y=ax2+k的图象和性质

5.（24-25九年级上•浙江杭州•阶段练习）抛物线歹=炉+3上有两点/（X],必），B（x2,y2）,若必＜%,则下列结论正

确的是（）

A.0<^<x2B.x2<%!<0

闻＜国

C.x2<Xj<00<%!<x2D.

题型六y=a（x-h）2的图象和性质

2

6.（24-25九年级上•浙江温州•阶段练习）抛物线7=-3（X-4）的对称轴为直线x=

题型七y=a(x-h)2+k的图象和性质

7.(22-23九年级上•浙江绍兴•期中)已知函数J=-；(X+2)2-2.

(1)填空：函数图像的开口方向是，对称轴是直线.

(2)当％时，V随x的增大而减小.

(3)以了轴为对称轴，将抛物线＞=-g(x+2)2-2进行轴对称变换，求变换后所得到的抛物线解析式.

题型八把y=ax2+bx+c化成顶点式

8.(24-25九年级上•浙江宁波•期末)已知二次函数了=x?+bx+c,在下面的三组条件中选一组6,c的值，使这个二

次函数图象与x轴有两个不同的交点.

①b=4,c=4；(2)6=4,c=-5；③6=4,c=5.

(1)请选出符合条件的一组6,。的值，求出函数图象与x轴交点的坐标.

(2)求所选二次函数图象的顶点坐标.

题型九画y=ax?+bx+c的图象

9.（24-25九年级上•浙江温州•期中）如图，已知函数y=-%2+6x+c图象经过点N（-1,O）,5（0,3）

（1）求6,c的值；

（2）在图中画出这个函数的图象；（不必列表）

（3）观察图像，当04x43时，函数值y的取值范围是一

题型十y=ax2+bx+c的图象与性质

10.（2025•浙江杭州•二模）反比例函数y=：（左H0）的图象在第二、四象限，则二次函数y+以的大致图象是

()

题型十一二次函数图象与各项系数符号

11.（24-25九年级上•浙江金华•期末）如图，抛物线>=4+bx+c（"O）与x轴交于点（-1,0）和点（2,0）,以下结论:

①％<0；②4a-26+c<0；③。+6=0；④当无<g时，V随x的增大而减小.其中正确的结论个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型十二一次函数、二次函数图象综合判断

12.（24-25九年级上•浙江绍兴・期末）若对任意实数x,抛物线>在直线>=-x的上方，则实数用的取值范

围是（）

A.m>1B.m<1C.m>-\D.m<-\

题型十三反比例函数、二次函数图象综合判断

13.（24-25九年级上•浙江杭州•期末）函数了=6+乐（仍70）和了=?（尤力0）在同一直角坐标系中的图象可能是

（）

题型十四根据二次函数的图象判断式子符号

14.(24-25九年级上•浙江杭州•阶段练习)已知/(x)=ax2+6x+c("0),当〃x)<0时，解集是{*l<x<3},则下

列说法正确的是()

A.abc<02a+b=0

C.8Q+C>0c/+bx+avO的解集为或x>l}

题型十五待定系数法求二次函数解析式

15.(23-24九年级上•浙江杭州•阶段练习)如图，抛物线必=加-2x+c与x轴交于/(TO)和8(3,0)两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点A的直线%=mx+”与抛物线在第一象限交于点。，若点。的横坐标为4,请直接写出当为时，x的取值范

围是.

题型十六二次函数图象的平移

16.(24-25九年级上•浙江绍兴・期末)已知抛物线>左与直线〉=1有两个交点4(-1,1),5(3,1),抛物线

%Q(X-/Z+加『+左与直线V=1的一个交点是,则次的值是.

题型十七已知抛物线上对称的两点求对称轴

17.（24-25九年级上•浙江金华・期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数了=。/+人+。（«,b,c是常数，且

«>0）的图象上有点/（2,加），点3（6,“），设图象的对称轴为直线》=八

（1）若m=n,则/的值为；

（2）若加<〃<c,贝气的取值范围为.

题型十八根据二次函数的对称性求函数值

18.（24-25九年级上•浙江杭州•期末）在直角坐标系中，二次函数y=2--4x+c的图象过点4（2,乃），点8（-2,%）,

点C（私"）.若必<〃<%,则根的取值范围是.

题型十九y=ax?+bx+c的最值

19.（2025•浙江舟山,一模）已知二次函数7=x?-2如c+wi+1

（1）当加=2时

①求二次函数图象与%轴的交点坐标；

②若点（。,必）,优,名）是二次函数图象上的点，且a+b=4,求为+力的最小值.

⑵若点C（a+1"）和0（2冽-凡q）在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：P<q7.

题型二十利用二次函数对称性求最短路径

20.（22-23九年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，已知抛物线y="x2+6x+c（g0）经过8（3,0）,C（0,-3）

三点，直线/是抛物线的对称轴，点M是直线/上的一个动点，当M4+MC最短时，点M的坐标为.

题型二十一求抛物线与x轴的交点坐标

21.（24-25九年级上•浙江嘉兴•期末）已知二次函数y=f-4x+3.

（1）求函数图象与坐标轴的交点坐标.

⑵当了＞0时，直接写出x的取值范围.

题型二十二求抛物线与y轴的交点坐标

22.（24-25九年级上•浙江宁波•期末）抛物线＞=2x2-4与〉轴的交点坐标是（）

A.(0,-4)B.(-4,0)C.(0,4)D.(4,0)

题型二十三已知二次函数的函数值求自变量的值

23.（24-25九年级上•浙江台州•期中）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m,滑行距离s（单位：m）与滑行时间

t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种.测得一些数据如下：

滑行时间〃S01234

滑行距离s/m0261220

（l）s是/的函数（填“一次”、“二次”）；

⑵求s关于/的函数表达式；

（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时

间t（单位：s）近似满足函数关系s=g/2+2,.记第一位滑雪者滑完全程所用时间为"，第二位滑雪者滑完全程所用

时间为L，贝篙G（填“<”，"=”或.

题型二十四抛物线与x轴的交点问题

24.（24-25九年级上•浙江绍兴•期末）已知二次函数y=ax?+bx+c（a,b,。是常数，且。片0）.

⑴若a=-l,函数图象过点（2,3）.

①用含6的代数式表达c；

②求证：不论人为何值，该函数图象与x轴一定有两个交点.

（2）若a<0,点（T"）和（3,〃）在抛物线上，对称轴为直线x=〃，m<n<c,求才的取值范围.

题型二十五根据二次函数图象确定相应方程根的情况

25.（24-25九年级上•浙江嘉兴・期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个

点叫做“V点”.如尸（2,-2）就是“村点”.

（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在““点”.

（2）已知二次函数y=-x-3.

①求证：该函数图象上一定存在两个点”.

②若这两个点”的横坐标分别是再,声,且无］<1<工2，求加的取值范围.

题型二十六图象法确定一元二次方程的近似根

26.（24-25九年级上•浙江台州•期末）下表是函数y=2/_3x-6的部分自变量与对应的函数值:

X2.52.62.72.82.9

y-1-0.280.481.282.12

根据此表，可以判断方程2x2-3x-6=0的一个解x可能的取值范围是（）

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7

C.2.7<x<2.8D.2.8<x<2.9

题型二十七图象法解一元二次不等式

27.(24-25九年级上•浙江•阶段练习)已知二次函数y=-g(x-3)2+8.

(1)求此函数图象的顶点坐标，与了轴交点，并指出它的开口方向；

(2)直接写出当>20时x的取值范围.

题型二十八利用不等式求自变量或函数值的范围

28.(24-25九年级上•浙江宁波•开学考试)若满足gwxWl的任意实数x,都能使不等式2丁_工?-机、>2成立，则实

数加的取值范围是().

A.m<-2B.m<-4C.m<-\D.m>-5

题型二十九根据交点确定不等式的解集

29.(24-25九年级上•浙江杭州•期中)如图，抛物线必=--+云+,与x轴交于点/(-1,0),8(3,0),与y轴交于点C,

直线BC的解析式为%=履+〃?.

(1)请直接写出：b=,c=,顶点

(2)当-2<x<2时，”的取值范围是；

⑶当-尤2+6x+cWAx+加时，x的取值范围是.

题型三十图形问题（实际问题与二次函数）

30.（24-25九年级上•浙江杭州•期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形.已

知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗口的透光面积为V平方

米（计算透光面积时材料忽略不计）.

（1）求了关于x的函数表达式.

（2）当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？

题型三十一图形运动问题（实际问题与二次函数）

31.（2024九年级上•浙江•专题练习）如图，在Rt^4BC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=8cm,。是43的中点，点

户从点C出发沿C2边向点8以lcm/s的速度移动，点。从点A出发沿/C边向点C以2cm/s的速度移动.点尸，。同时

出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动.

（1）出发2秒后，点尸，0之间的距离是cm.

（2）当△。尸。的面积最小时，点尸，。之间的距离是cm.

8

题型三十二拱桥问题(实际问题与二次函数)

32.(24-25九年级上•浙江嘉兴・期末)如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽12m,桥洞顶部

曷水面4m.

(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式.

(2)若有一艘船的宽度为4m,高度为3m,则这艘船能否从该桥下通过？

题型三十三销售问题(实际问题与二次函数)

33.(24-25九年级上•浙江杭州•期末)某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台.为

了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元.经调查发现：每台降价100元，每月可

多售出10台.已知笔记本电脑的成本为每台3800元.

(1)当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价；

(2)当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元?

题型三十四投球问题（实际问题与二次函数）

34.（24-25九年级上•浙江嘉兴•期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度*m）与水

平距离x（m）之间函数的表达式是=+y

（1）已知发球点到排球网的水平距离为9m,网高2.43m,排球是否能打过网？

（2）当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？

（3）已知排球场地的长为18m,排球将落在界内还是界外？

题型三十