江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二年级下册期中联考数学试题（解析版）

江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二下学期

期中联考数学试题

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）

1.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c>且OA/=2MA，BN=NC，

则MN等于（）

B.L+2c

222

c.-2J+LD.L-Z+L

322232

【答案】c

［解析］MN=ON-OM=^1OB+OC^-^OA=-^a+^b+^c.

2

故选：C

2.设(1—2x)5=4+%尤+〃2%2+/％3+%%4+%工5,则4+%+〃3+%+%=()

A.2B.-1C.-2D.0

【答案】C

【解析】因为（1一2无）5=%++%为3,令%=0,得出1=%,

=

令X1>得出(1—2)=GQ+a1+a。+/+4+c15=-1,

贝U+“5=-2-

故选：C.

3.已知随机变量X,若E(X)=2,则P(X=1)=()

35

AB.-CID.-

-g88

【答案】A

【解析】已知随机变量X~8（〃,；）

根据二项分布的期望公式，风X)=2,可得〃义工=2.解得“=4.

2

由〃=4,p=L根据二项分布的概率公式，可得

2

P(X=l)=C*x(1)1x(l-l)4-1=4xlx1=l

ZZZo4

故选：A.

4.4知空间向量右=(2,1,3),」=(一1,2,-2),c=(7,6,2),若向量a/,c共面，则实

数几的值为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】因为向量3,b,c共面，所以存在实数机，"使得c=nia+”b.

则可得(7,6,2)=限2,1,3)+71(-1,2,-2)

由(7,6,2)=m(2,l,3)+H(-1,2,-2)=(2m-n,m+2n,3m-2n),可列出方程组

2m-n=l

<m+2n=6

3m-2n=A

由2〃z-〃=7可得〃=27"-7,将其代入777+2〃=6中，得到〃?+2(27〃-7)=6.

去括号得加+4帆—14=6,移项合并同类项得5帆=20,解得机=4.

将机=4代入〃=27〃一7,可得〃=2义4一7=1.

将机=4,〃=1代入3：找一2〃=2,可得4=3x4—2x1=10.

故选：B.

5.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以

发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人

机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光

时，一共可以有()种灯光组合.

①

万、

陇……过

⑦⑧

A.18B.15C.12D.9

【答案】C

【解析】若发出2种光，则有A；=6种；若发出3种光，则有A；=6种，

则共有12种.

故选：C

6.关于空间向量，以下说法正确的是()

A.若空间向量。=(1,0,1),6=(0,1,—1),则力在B的投影向量为(lg,g)

B.若空间向量〃，》满足Q.。〉。，则Q与6夹角为锐角

C.若直线/的方向向量为加=(2,4,—2),平面。的一个法向量为"=(—L—2,1),贝|

Illa

D.若对空间中任意一点。，有OP=2oA—工03+工0。，则尸，A,B,C四点共面

362

【答案】D

【解析】对于A,。在b的投影向量与匕共线，则投影向量的横坐标为0,A错误；

对于B,当a力夹角为。时，也满足a.0>0,B错误；

对于C,m=(2,4,—2)=—2(—1,—2,1)=〃，贝U_La,C错误;

对于D,在OP=2QA—工。3+工。。中，-+(-1)+1=1,则尸，A,B,C四点共

362362

面，D正确.

故选：D

7.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求

星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种

数为()

A.72B.96C.108D.156

【答案】A

【解析】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，

则可以安排在(周二、周三、周四)，(周三、周四、周五)，(周四、周五、周六)，共3种

情况，

剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有A：=24种情况，

则有24x3=72种不同的安排方法.故选：A.

8.已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任

取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是()

【答案】C

【解析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件2表示：另一个也是红球,

则个)=气曰磊，。(幽=||1

10

1

170

7,

10

故选：C.

二、多项选择题(本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.已知A,B,C,。是空间直角坐标系。一孙Z中的四点，P是空间中任意一点，贝U()

A.若A(-4,-3,2)与B(a,b,c)关于平面yOz对称，贝i］。+匕+。=—3

B.若AB=AC+AD，则A，B,C,。共面

141

C.若PD=—PA+—PB——PC,则A,B,C,。共面

636

D.若A(0,0,2),8(1,2,0),C(2,顼九)三点共线,则V=2

【答案】BD

【解析】对于A,A与B关于平面yOz对称，则B(4,—3,2),a+b+c=3,故A错误；

对于B,由共面向量定理易知得B正确；

141

对于C,因为:+——-^1,故C错误；

636

对于D,AB=(1,2,-2),AC=(2,m,n-2),因为A,B,C共线，所以AB,AC共线，

2mn—2

所以一=一=----,所以机=4,〃=-2,加+〃=2,故D正确.

12-2

故选：BD.

10.下列等式正确的是()

A"n\/

A.N"=工B.-7~~^=(”—2)!

mn\T)

C.("+l)A：=A；：；D.」-A：+i=A：

n—m

【答案】BCD

A机1

【解析】对于A：=M!，U=7，显然故错误；

A,——wmA

n\n\

n\(n-l)(n-2)xx3x2xl

对于B,——-=1——八——y---------=5—2)!,故B正确；

nyn—\jn—1

"I(72+1)!(〃+1)!,

对于c,(«+l)A：=(n+l)--——-=j~，=「/故C正

[n-my.[n-my.Hn+lJ-(m+l)J!

确；

[i〃

对于D,——A：+1=——-_F=LT=A；，故D正确.

n-mn-myn-m-\y.\n-my.

故选：BCD.

ii.若小明坐公交上班的用时x(单位：分钟)和骑自行车上班的用时y(单位：分钟)

分别满足xA^（30,62）,rN（34,22）,且同一坐标系中X的密度曲线与V的密度曲线

在/=38分钟时相交，则下列说法正确的是（）

A.P（X>38）<P（y>38）

B,P（24<X<36）=P（32<7<36）

c.若x的密度曲线与y的密度曲线相交所对应的另一个时间为4,则％<30

D.若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交

【答案】BD

【解析】由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，

即x的密度曲线较矮胖，y的密度曲线更瘦高，

则X的密度曲线在38分钟后在y的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线,

易知P（X>38）>P（y>38）,故A错误;

由3b原则可知P（30-6<X<30+6）=P（34-2<y<34+2）,故B正确;

1（x-30）2

根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：/（%）=—

6,2兀

[(x-34)2[(x-34)21(x-30)2(x-34)2(x-30)2

g(%)二一7=0.8，建立方程一8=-7=^72=>e872=3,

'72岳2岳6伍

整理可得8/—552x+9x342—3CP=721n3,

则G+38=g=69n%=31>30,故C错误;

易知P（XW34）＞0.5=P（FW34）,故D正确.

故选：BD

三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）

12.在正四面体ABCD中，点〃在5c上，且2BM=CM,则异面直线A"与所成

角的余弦值为

【答案】五

14

【解析】设棱长均为1,

因为25M=。以，

所以，

所以DM=-DC+-DB,

33

所以AM=AD+DM=AD+工DC+工.

33

又,M=AD+jDC+^DB=J[AD+；DC+：DB]

设异面直线A"与CD所成角为

i21121

.、\（AD+-DC+-DB）CD\-----------x-匚

则cose=|AMCD|=-_33_=2332=叵

\AM\-\CD\史]也14,

T'T

故答案为：旦.

14

13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相

邻，则不同的排列方式种数为

【答案】144

【解析】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有A；=2种.

甲不坐在6个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的3个位置，

所以甲的排法有3种.

此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下4个位置，

乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有A：=4x3x2x1=24种.

所以不同的排列方式种数为2x3x24=144种.

故答案为:144.

112

14.已知两个随机事件A,3,若尸（A）=g,则=

尸砰）.

7

【答案】—;

15

/、2z、P（AB）2

【解析】由尸（3|A）=§可得尸（3|A）=1k=§

199

故尸（A3）=尸（A）P（/A）=n=石,

V।/P（B）P（B）P（B）115

4

27

故答案为：—

四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18

题、第19题每题17分，共77分）

15.2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、

《射雕英雄传》4部优秀的影片.现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看.

（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？

（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神

2》，那么共有多少种不同的选择方法？

（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方

法？

解：（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，

所以不同的选择方法共有A：=4x3x2x1=24种；

（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，

所以其余2人观看影片的不同方法有4x4=16种；

（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，

所以不同的选择方法有C；C；A；=6x4x6=144种.

16.如图，圆柱OiQ中，A3是底面圆。2上的一条直径，P,。分别是底面。2，。］圆周

上的一点，PQHOp2,AB=2PQ,且点p不与A,B两点重合.

P

(1)证明：平面APQ，平面3PQ；

(2)若二面角A-0]Q-尸为60。，求直线BQ与平面P。。所成角的正弦值.

解：(1)因为A5是底面圆。2上的一条直径，

所以

因为002，底面圆。2，PQHO02，

所以尸2,底面圆。2，

因为BPu底面圆。2,所以PQ^BP，

因为APPQ=P,AP,PQu平面APQ,

所以平面APQ,

因为BPu平面5PQ,所以平面APQ，平面3PQ；

(2)因为002,底面圆。2，ARPQu圆。2，

所以O02，P02，002工A02,

所以ZAO2P为二面角A-002-P的平面角，

故NAO2P=60°,又AO,=PO2,

所以AP<?2为等边三角形，

以P为坐标原点，/^，"，「。所在直线分别为羽丁/轴，建立空间直角坐标系,

AB=2PQ,设AB=2,

故AP=AO2=尸°2=尸0=1，PB=yjAB2-AP2=73,

B(6,0,0),Q(0,0,l),P(0,0,0),o]¥，g,l]

QB=(A0,-1),PQ=(O,O,l),Pa=[¥*,l]

设平面PQO1的法向量为m=(羽y,z),

m•PQ=（%,y,z）•（0,0,1）=z=0

则PH（1731，

m-POl=（x,y,z）--,-,l=—x+~y+z=0

解得2=0,令x=l,得y=—有，故相=（1,—G,0）,

设直线BQ与平面PQO｝所成角的大小为e,

（百,0,-1）.（1,-8,。）6

则sin0=|cosQB,〃2卜

画J同一73+0+1x71+3+0—4

直线BQ与平面PQO,所成角的正弦值为B.

17.二项式2x+2］展开式前三项的二项式系数和为22.

(1)求”的值；

(2)求展开式中各项的二项式系数和；

(3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.

解：(1)展开式前三项的二项式系数和为22,

.y+c—,

.1.n~+n—42=0,

二.〃=6或〃=一7（舍）,

故〃的值为6.

(2)展开式中各项的二项式系数和为2$=64.

(3)设展开式中常数项为第r+1项，

即&=G（2x）,0<r<6,reN,

令6-包=0,得r=4,

2

二小=26*960,

由题可得，展开式中最大的二项式系数为c：=20,

展开式中二项式系数最大的项为第4项，

即7；=C(2x)31jj=1280x2,

3

综上所述：常数项为960,二项式系数最大的项为1280?.

18.为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶

量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了根株和“株(wcN*)古茶树进行对比试

验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量(单位：

kg)如下表所示：

©②③④

位置

山上5443

山下4221

(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量;

(2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为根据样本数据，估计s：与

s；的大小关系(只需写出结论)；

(3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为求随

机变量J的分布列和数学期望.

解：(1)由山上试验田4株古茶树产茶量数据，

5+4+4+3

得样本平均数x=--------=4,

4

则山上试验田m株古茶树产茶量S估算为S=mx=4m；

——4+2+2+19

(2)山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和----------=—,

44

故方差§2=(5-4:+(4—41+(4—41+(3-4J=工，

142

----------------------------=——>—

442

故s；<s；；

(3)依题意，随机变量4可以取9,8,7,6,5,4,

1135

P(^=9)=-,P(^=8)=-,P(^=7)=-,P(^=6)=-

PC=5)=；,PC=4)=’

随机变量4的分布列为

498