空间几何体（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习（新高考专用）

考点16空间几何体(核心考点讲与练)

空间几何体的表面积、体积

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

KS

图形A

ABABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点,但不一定相

侧棱平行且相等延长线交于一点

等

侧面形状平行四边形三角形糜

(2)旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

△

图形

1a

互相平行且相等，

母线相交于一点延长线交于•点

垂直于底面X

轴截面全等的起密全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开

矩形扇形扇环

图X

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

八'

岸明:

侧面展开图E，包一备，

侧面积公式=2nrlSnrlS区台偈=Ji（八+制？

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体

S表面枳=Sf«+2S，=£物力

（棱柱和圆柱）

锥体

1

S衣面枳=st<+s底P=.S能力

（棱锥和圆锥）O

台体

产=1（5'上十5■十、/⑸$）力

5■表面枳=S蝴+S上+SFt

（棱台和圆台）

球S=4五#

3-----

求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多

的表面积面体的表面积

求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要

的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则

通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱

几何体的

体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

表面积

2.求体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式宜接计算

首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规

割补法

则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算

选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱镂的体积，即利用三棱锥的任

等体枳法

一个面可作为三棱椎的底面进行等体积变换

3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球

的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧

面为底面的棱锥，利用多面体的体枳等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.

4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多，如:判断截面的形状、计算出空

间儿何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解

决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出横面，并判断其形状.

一、单选题

1.（2022•海南海口•模拟预测）己如圆柱的侧面枳等于上、卜.底面积之和，圆柱的体枳与表面积的数值相同,

则该圆柱的高为（）

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.

【详解】设底面圆的半径为，腐为〃，则

所以该圆柱的高为4.

故选：B.

【答案】C

【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.

故选：C.

3.12021湖北省黄石市高三上学期9月调研）已知圆锥的母线长为3亚，其侧面展开图是一个圆心角为

5

故选：ACD

【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及

确定。2为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.

三、填空题

6.（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，

圆柱体的全面积为8万，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是.

【分析】设圆柱底面圆半径为〃结合已知表示出圆柱的高人再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面

枳与r的函数关系结合基本不等式即可得解.

由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的中点，设球半径为兄

【答案】且5乃

12

记。为外接球球心，半径为我

故答案为：立，5兀

12

一、单选题

1.（2022•辽宁沈阳•二模）现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时,

该圆锥与小球的体积之比是（）

A.9:4B.9:5C.3:2D.3:1

【答案】A

【分析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球

体积最大，求得小球的半径，可得答案.

【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为/,底面半径为R,

又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：

A

同理可知：尸为4片的中点，

故选：D.

3.（2021广东省广州市荔湾区高三上学期调研）若圆台的下底面半径为4,上底面半径为1,母线长为5,

则其体积为（）

A.15万B.214C.28乃D.637r

【答案】C

【分析】画出圆台的轴截面，即可求出圆台的高，从而根据公式求出圆台的体枳;

【详解】解：圆台的轴截面如图所示：

1

故选：c

二、多选题

A.AB。r是等边三角形B.直线AE与8尸是异面直线

【答案】AC

对于B,连接E/、如图所示:

故选：AC.

【答案】AB

故选：AB.

三、解答题

【答案】(1)证明见解析(2)存在，|

【详解】

故答案为：--

3

2.（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）如图，在底面边长为4,高为6的正四棱

柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切,

则小球的半径为.

3.（2022・天津•南开中学模拟预测）棱长为2方的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处

各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）

A.72B.也C.旦D.也

246

【答案】C

【详解】

望曳柱锥台的轴截面问题

一、单选题

【答案】B

【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为「等于高〃，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可求

出其体积.

【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为八高为爪母线长为/，

故选:B.

二、多选题

A.截面可以是三角形

D.当平面。经过侧棱PC中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：I

【答案】ACD

对于D：分别求出上下两部分几何体的体积，即可判断.

【详解】对于A:取PC的中点E,连结8E、DE、BD.

对于D:由A的推导过程可知：平面&经过侧棱PC中点时，平面々即为平面BDE.

故选：ACD

三、填空题

3.（2022.辽宁沈阳.模拟预测）已知圆锥底面圆半径为2,母线与底面成角为60。,则圆锥侧面积为,

若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为.

【分析】求出圆锥的母线长可得恻面积，求出圆锥轴截面三角形外接圆半径即圆锥外接球半径，从而可得

球体积.

【答案】；

74640.

设MN的中点为C,连接PC,DM,首先求出点。到直线PC的距离OE,然后结合球。的半径R,即可求

出平面PMN截球。所得截面圆的半径为r.

设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r,

p

5.（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5,侧面积为20万，过此圆锥的顶点作一截面，则

截面面积最大为

【答案】」25

2

分析】圆锥轴截面顶角（两片线夹角）小于等于二时，轴截面面积最大，轴械面夹角大于£时，母线夹

22

7T

角为一时截面面积最大.

2

7T

所以当两母线夹角为一时，过此圆锥顶点的截面面积最大，

2

25

故答案为：—

2

四、解答题

（2）祖眼原理“哥势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平

面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记鸟满足的不等式组

I'所表示的几何体为区.请运用祖咂原理求证明与“的体积相等，并求出体积的大小.

0?z?4

（2）由题意可得几何体恤为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的夹角为45、.然后

由祖晅原理可求得结果

【详解】（1）{/+必2/2?16,则几何体”表示上半球，球半径为4.

且该圆锥的对称轴与母线的夹角为45.

【点睛】关键点点睛：此题考查祖晅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题的关

健是正确理解新定义和祖曜原理，考宜转化思想，属于中档题

1.（2（）21年全国新高考1卷数学试题）已知圆锥的底面半径为及，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥

的母线长为（）

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

故选：B.

A.立B.立C.克

12124

【答案】A

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面

距离的勾股关系求解.

3.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标I））埃及胡夫金字嗒是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视

为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三

角彩底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

【答案】C

故选：C.

【点晴】本题主要考杳正四棱锥的概念及其有关计算，考杳学生的数学计算能力，是一道容易题.

A.6471B.48兀C.36兀D.32兀

【答案】A

【详解】设圆Q半径为,，球的半径为R，依题意，

故选：A

【点睛】本题考杳球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属「基础题.

一、单选题

B.过户，8,G三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形

【答案】D

【分析】根据锥体体积公式、正方体的截面、三棱锥的外接球、线面角等知识对选项进行分析，从而确定

正确答案.

当P与仅、用不重合时，截面图形为三角形，所以B选项正确.

2.（2022•江苏・南京市第一中学三模）底面半径为3,表面积为24%的圆锥的体积为（）

【答案】A

【详解】解：设圆锥的母线长为/,因为圆锥的底面半径为3,表面积为24万

故选：A

【答案】C

【详解】设圆柱的底面圆半径为，，高为2r,球。的半径为R,

故选：C.

【答案】C

【分析】圆锥的轴截面为一个等腰直角三角形，内接正方体的对角面，根据三角形相似可得正方体的边长.

故选：C.

【答案】A

故选：A.

6.（2022•内蒙古呼和浩特•一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代

称攒尖.通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，

园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）

是底边长为6m,顶角为羊的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为（）

【答案】B

【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径「和母线/,根据侧面积公式”/即可

求解.

【详解】如图所示为该圆锥轴截面，

故选：B.

二、填空题

7.（2022・天津红桥•一模）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、

五、3,则此球的体积为.

【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.

所以外接球半径为G，

【答案】3冗

设外接球的球心为0,而BCDE的外接圆的圆心为0”则球心在过01且垂直于面BCDE的直线机上.

在底面四边形BCQE中，如图示:

由球的性质可知：当0M垂直于截面时，截面圆的面积的最小，设其半径为，•.

故答案为：34

【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：

（1）公式法；（2）多面体几何性质法；（3）补形法；（4）寻求轴截面圆半径法；（5）确定球心位置法.

9.（2022•陕西•安康市高新中学三模（理））已知四面体/WCO中，人03,其余棱长均为2,则该四面体外

接球的表面积是_____.

【分析】根据图形的对称性，找到球心，再通过余弦定理、勾股定理可求得外接球的半径，从而可求得外

接球的表面积.

四面体外接球的球心必在过△A8。，ACB。的外接圆圆心且与其所在面垂直的直线上.

【答案】57r

【分析】先判断出球心的位置.，然后计算出球的半径，从而求得球的表面积.

【详解】取4。中点E,AC中点F,

故答案为：5兀

11.（2022・四川遂宁•三模（文））称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的体积为9〃,

则它的侧面积.

【详解】设圆锥的底面半径为，

因为三棱锥的轴截面为等腰直角三角形，所以三棱锥的高为，母线为&r，

【答案】y

如图,将其放到正方体中，该四面体的外接球和该正方体的外接球相同,

又所，所以正方体的棱长为¥，

故答案为：-y-.

13.（2021•上海・模拟预测）已知圆锥的母线长为5,侧面积为20刀,过此圆锥的顶点作一截面,则截