空间中平行、垂直问题10种常见考法归类（学生版）-新高二暑假专项提升（人教版）

第03讲空间中平行、垂直问题10种常见考法归类

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学习目标

1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定

理，并加以证明；

2.能利用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.

3.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定

理，并加以证明；

4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.

窿|基础知识'

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I.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

a_____

如果平面外一条直线与此平面内的一条直

判定定理a^a,bUa,a//b^a//a

线平行，那么该直线与此平面平行

一条直线和一个平面平行，如果过该直线的a//a,QU夕，aC0=b

性质定理

平面与此平面相交，那么该直线与交线平行^a//b

2.平面与三F面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

QU夕，b”aDb

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平

判定定理=P,a//a,b//

行，那么这两个平面平行

X7a//P

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于

性质a//P，aUa今a"B

另一个平面//

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相a//P，aC\y=a,pC\y

性质定理

交，那么两条交线平行=b^a//b

3.常用结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若aJ_a,a邛,贝!Ja〃£.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃£,p//y,贝Ua〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即aJ_a,b±a,则。〃8.

(4)若a〃/,aUa,贝Ua〃乃.

4.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线I与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

Z-Ltz

lib

=7_La

如果一条直线与一个平面内的两条相交直aC\b=O

判定定理

线垂直，那么该直线与此平面垂直

bUa

b

-a_L«]

性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行广■^a//b

5.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是90。；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0。.

(2)范围：

6.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①。昼/；②OA"③。1_L/,OBLI,则二面角a—/一4的平面角是//O①

(3)二面角的平面角a的范围：0°^a^l80°.

7.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么/-L«]

判定定理，今八B

这两个平面垂直£bQj

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线

an/=a=口。

性质定理垂直于这两个平面的交线，那么这条直线

/_LQ

与另一个平面垂直

i/U£

8.常用结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

⑵若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方

法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

畲解题策略

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1、线面平行的判定及其性质解题策略

(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线.

(2)利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往

借助于比例线段或平行四边形.

(3)在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立

的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,

这时才有直线与交线平行.

2、面面平行的判定及其性质解题策略

(1)判定面面平行的主要方法

①利用面面平行的判定定理.

②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).

(2)面面平行条件的应用

①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.

②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

3、证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面

面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

4、证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面

面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

5、证明线线垂直的常用方法

(1)利用特殊图形中的垂直关系.

(2)利用等腰三角形底边中线的性质.

(3)利用勾股定理的逆定理.

(4)利用直线与平面垂直的性质.

6、面面垂直的判定及其性质的解题策略

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.

②面面垂直的判定定理(a_L[3,aCa=>a±p).

(2)已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线

面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

7、平行、垂直关系的综合应用

(1)在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平

行”，

再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具

体条件而定的，不可过于“模式化”.

(2)在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直

的转化关系.特别在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不

存在，则可通过作辅助线来解决.

Q考点剖析

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考点一：直线与平面平行、垂直位置关系的判断

(2023春・山东滨州•高一统考期中)设a,6是两条不同的直线，a是平面，6ua,那么

是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式1.(2023春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期中)若a为平面，有下列命题，其中真命

题的是()

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，贝以〃a

B.若直线。在平面。外，贝!I。〃平面a

C.若直线q〃6,直线bu平面a,则a〃平面a

D.若直线。〃6,6〃平面c,则。平行于平面。内的无数条直线

变式2.【多选】（2023春•广东广州•高一广州市第六十五中学校考期中）设/，加是空间中不同的直线，a,

P，/是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/〃加，mua,I（^a,则〃/a

B.若/ua,mu',aI//3,则〃/加

C.若/ua,mua,1///3,mll/J,则a//£

D.若7//£,«□/=/,p[\y=m,贝（|/〃加

变式3.【多选】（2023春•吉林•高一校联考期中）设m、〃是两条不同的直线，a、£是两个不同的平面，

下列命题中错误的是（）

A.若mua,nu/,m//n,则a〃夕B.若〃7ua,nlm,贝

C.若m_La,n//a,则加_L〃D.若a〃Q,mua,nu）3,则加〃〃

变式4.【多选】（2023春・浙江•高一路桥中学校联考期中）a,b,/是不同的直线，a,尸是不同的平

面，下面条件中能证明a-Lc的是（）

11

A.bua,Iua,Q_L6，aLI,bcl=0

B.ap\/3=l,a1J3,all

C.a工B，a"B

D.ILa,alll

在1例2.（2023春・湖南长沙•高一长郡中学校考期中）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸

盒中有如下结论，其中正确的是（）

A.AB1EFB.与CM所成的角为60。

C.E尸与MV是异面直线D.MN〃平面/CO

变式1.【多选】（2023春・浙江•高一湖州中学校联考期中）已知在正四面体/BCD中，E、F、G、H分

别是棱AB,BC,CD,4D的中点，贝|()

A.EF〃平面/CDB.AC1BD

C.AB1FGHD.E、F、G、8四点共面

变式2.【多选】（2023春・广西柳州•高一柳州地区高中校考期中）如图，正方体/BCD-4月G。的棱长

为1,且M,N分别为NC,4台的中点，则下列说法正确的是（）

A.MN//平面ADDXAX

B.MN1AB

C.直线MN与平面48c。所成角为60。

D.点A到平面4台。的距离为走

3

考点二：证明线面平行

小师列3.（2023春・陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考期中）如图：在正方体9CD-481GA中,

〃为Z）2的中点.

⑴求证：30〃平面/MC；

（2）在线段CG上是否存在一点N,使得平面〃平面加份,说明理由.

变式1.（2023春•河北石家庄•高一校考期中）在直三棱柱44。中，已知。为N8的中点.求证：BCJ1

平面4。.

变式2.（2023春•浙江宁波•高一效实中学校考期中）如图，四棱锥尸-N3C。中，底面/BCD为矩形，PA±

平面/BCD,E为PD的中点.

（2）设直线P3与底面/BCD所成角的正切值为:，AP=1,AD=5求直线PC与平面尸4D所成角的正弦

值.

4.（2023春•陕西延安•高一陕西延安中学校考期中）在四面体中。-/BC,四边形斯G"是矩

形，且/C/3C.

（1）证明：NC〃平面EFG/Z；

(2)证明：ACmBCD.

变式1.（2023春・北京朝阳•高一清华附中朝阳学校校考期中）如图所示，在四棱锥尸中，平

面尸BC=-AD,E是尸/的中点.

2

⑴求证：BCHAD；

⑵求证：BE〃平面「QC；

变式2.（2023春・天津和平•高一天津市第二H■•一中学校考期中）如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面48CD

为平行四边形，N是PB中点,过/、N、。三点的平面交尸C于求证:

(1)PD〃平面/NC；

（2）M是尸C中点.

5.（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期中）如图，在四棱锥尸-48CD中，尸/，平面

ABCD,DE±平面/BCD,底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧.

⑴证明:CE〃平面P4B;

（2）若尸/=4。=5,48=2,DE=3,试问在线段尸。上是否存在点F，使得AACF与AACE的面积相等？若存

在,求/到的距离;若不存在，说明理由.

变式1.（2023春•浙江•高一期中）三棱柱/8C-的棱长都为2,。和£分别是和4。的中点.

(1)求证：直线DE〃平面/8G；

⑵若N//C=60。，点2到平面/CG4的距离为百，求三棱锥的体积.

考点三：证明面面平行

(2023春•广东湛江•高一湛江二十一中校考期中)如图，在三棱柱ABC一小凤。中，E,F,

G,X分别是48,AC,AiBi,GC/的中点.求证:

(1)8,C,H,G四点共面;

(2)平面EFAiH平面BCHG.

变式1.(2023春・山东临沂•高一校考期中)如图，已知点尸是正方形N3CD所在平面外一点，M,N分

别是尸。的中点.

⑴求证：〃平面P4D；

(2)若尸3中点为。，求证：平面KV。〃平面P4D.

(3)若尸/_L平面/BCD,AB=PA=2,求直线PB与面P/O所成的角.

变式2.（2023春・河南洛阳•高一统考期中）如图所示，在三棱柱48。-4月。中，E,F,G,H分别是

4G，4月的中点，求证:

（i）4G〃平面4环;

(2)平面AXEF〃平面BCGH.

变式3.（2023春•陕西西安•高一西安市铁一中学校考期中）如图：己知三棱柱中，D为

边上一点，2为耳。中点，且42〃平面NDC-证明：平面/①。〃平面/。。一

变式4.（2022春・安徽芜湖•高一校考期中）如图，在正四面体S-4BC中，AB=4,E,F,R分别是S3,

SC,S4的中点，取5E,SF的中点M,N,点。为平面SBC内一点

B

(1)求证：平面MW?〃平面4EF

⑵若尺。〃平面/跖，求线段尺。的最小值,

考点四：线面平行和面面平行性质的应用

7.(2023春•福建•高一校联考期中)如图，在三棱台。所-48c中，AB=BC=CA=2DF=2,

FC=\,ZACF=ZBCF=90°,G为线段/C中点，”为线段3c上的点，AD//平面尸GH.

(1)求证：点H为线段8C的中点；

(2)求三棱台。好-/8C的表面积.

变式1.(2023春•浙江台州•高一台州一中校考期中)如图，在四棱锥中，底面48CD为直角梯

形，且AD=2BC=2,DC=3>,PA=PD,平面平面48c。，点M在线段

PB上,尸。〃平面M4c.

(1)判断M点在P3的位置并说明理由;

(2)记直线。河与平面朋。的交点为K,求-7的值；

KM

(3)若异面直线CM与R4所成角的余弦值为苧，求二面角W-CD-4的平面角的正切值.

变式2.(2023春•福建三明•高一三明一中校考期中)如图，已知四棱锥尸-48CD的底面为菱形,

ZABC=60°,AB=PC=2,PA=PB=4i，〃为PD的中点，R为PB的中点，平面a过M、C、R三点、

且与面P4C交于直线/,/交尸/于点Q.

p

(1)求证：面尸48_L面48cD；

八、+,市PQ

⑵求证：方二钎1

(3)求平面BCQ与平面ABCD所成夹角的正切值.

例8.(2022春•黑龙江・高一哈九中校考期中)如图，平面a〃平面£//平面7,异面直线a、b分

别与平面a、0、y相交于点4、B、C和点。、E、F.已知/C=15,DE=2,AB-.BC=1-A,求48、BC、

。下的长.

变式1.(2022秋•内蒙古呼和浩特・高一呼和浩特市第十四中学校考期末)如图，四边形环和四边形

48c〃均是直角梯形，ZFAB=ZDAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FAVCD.

(1)求点F到平面ABCD的距离；

(2)证明：平面BCE〃平面ND凡并说明在平面上，一定存在过。的直线/与直线FD平行.

变式2.(2021春・广东中山•高一统考期末)如图所示，在正方体/BCD-4片中，点G在棱上,

且QG=：AG，点£、F、M分别是棱44、AB.3c的中点，尸为线段上一点，AB=4.

(1)若平面EFP交平面DCCR于直线I,求证：H&B；

(2)若直线8QJ_平面EEP,试作出平面EGM与正方体/3CD-44G2各个面的交线，并写出作图步骤,

保留作图痕迹；设平面EGN与棱42交于点。，求三棱锥。-瓦伊的体积.

考点五：证明线线垂直

9.(2023春・吉林•高一长春吉大附中实验学校校考期中)如图，边长为4的正方形/BCD中，点

E,F分别为的中点.将△/即,43£尸二。。尸分别沿。旦£尸,。尸折起，使43,C三点重合于点P.

⑴求证：PD1EF；

(2)求三棱锥尸-EED的体积;

(3)求二面角尸-£尸的余弦值.

变式1.(2022春•黑龙江牡丹江•高一牡丹江市第二高级中学校考期末)如图，在直三棱柱NBC-4gG中,

ABLBC,AAX=AB,G是棱4。的中点.

B

(1)证明：BCLAB'

（2）证明：平面平面48c.

变式2.（2023春・广东广州•高一广州市第七中学校考期中）如图，四棱锥尸-N3CD的底面是矩形，PAL

平面/BCD,E,尸分别/民即的中点，且尸/=

⑴求证：4尸〃平面PEC；

⑵求证：AFYPC.

变式3.（2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考期中）《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑

堵，其一为阳马，一为鳖席.阳马居二，鳖席居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底

面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥尸-4BCD为一个阳马，PC,面4BCD,/是CD上的一点.

⑴求证：BCLPM；

⑵若N分别是CD,PB的中点，求证：CN〃平面

考点六：证明线面垂直

10.（2023春•宁夏吴忠・高一吴忠中学校考期末）如图，在四棱锥尸-/BCD中，P4,平面4SCD,

AD!IBC,ABIBC,PA=AD=4,BC=1,48=5CD=243.

(1)证明：DC,平面〃C；

(2)求AD与平面尸CD所成角的余弦值.

变式1.(2023春・河北石家庄•高一校考期中)如图，在直三棱柱/3C-DEF中，AC=BC=2,AB=24i，

AD=4,M、N分别为C尸的中点.求证：平面BCM.

变式2.(2023春•四川成都•高一成都实外校考期末)如图四边形48co是矩形，48工平面BCE,BELEC,

点尸为线段8E的中点.

(1)求证：CE_L平面4BE；

⑵求证：。£7/平面NCF.

变式3.(2023春•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中校考期中)已知棱长均相等的正三棱柱M,

N分别为棱C£,44中点.

A

(1)证明：GN〃平面48M；

(2)证明：48J平面48M.

变式4.(2023春•黑龙江双鸭山•高一双鸭山一中校考期中)如图，在三棱柱48C-44。中，侧面48片4,

/CC/均为正方形，“G交4c于点。，ZBAC=90°,。为3C中点.

(1)求证：CM，平面44C；

(2)求直线5,C,与平面43c所成的角.

变式5.(2023春・广东广州•高一广州四十七中校考期中)如图，在三棱锥P-48c中，尸/,底面

ABC,PA=AB,ZABC=60°ZBCA=90°,点。、E分别在棱尸3、尸C上，且DE〃BC.

(1)求证工平面R4C；

(2)当。为尸8的中点时，求/D与平面PAC所成角的正弦值.

变式6.(2023春•天津和平•高一天津一中校考期中)如图，已知平面/8C，BBJ/AA、,AB=AC=3,

BC=2小,必=>/7,34=2将，点E和尸分别为3C和4c的中点.

Bi

⑴求证：/E_L平面

(2)求直线44与平面BC4所成角的大小.

考点七：证明面面垂直

11.(2023春•吉林•高一长春吉大附中实验学校校考期中)如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面48CD

是边长为。的正方形，侧面9口底面,。，且PID=ga，设E,尸分别为PC,皿的中点.

(1)求证：EFII平面PAD；

(2)求证：平面尸48_1平面产。C；

(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小.

变式1.(2023春・安徽六安・高一六安一中校考期中)在斜三棱柱中，“8C是边长为2的正

三角形，侧棱44'=2g,顶点H在平面/BC的射影为8C边的中点O.

(1)求证：平面8CC®_L平面NO4；

⑵求点C到平面A'AB的距离.

变式2.(2023春・浙江杭州•高一杭师大附中校考期中)如图，在四棱锥S-/3CD中，底面N8CZ)是平行四

边形，AC1BC,^ABC=60°,SA=SB=SC=4,ZASB=90°.

(1)求证：平面&48_L平面NBC；

(2)求SC与平面SAB所成的角的正弦值.

变式3.(2023春・福建南平•高一福建省政和第一中学校考期中)如图，48是。。的直径，点C是。。上

的动点，P/垂直于。。所在的平面Z8C

P

(1)证明：平面〃C_L平面PBC；

(2)设尸/=百,/C=l,求点N到平面P8C的距离.

考点八：面面垂直性质的应用

(2023春•河北石家庄•高一校考期中)如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/BCD为正方形,

平面P4D_L平面48CZ),。为棱的中点，PA,PA=AB=2.

p

（1）求证：尸/_L平面48cD；

（2）求二面角尸-平面角的大小.

变式1.（2023春•广东深圳•高一翠园中学校考期中）如图，在平面五边形N2CDE中，ABHDC,/BCD

90°,AB=AD^\0,AE=6,BC=8,CD=4,ZAED=90°,EH1,AD,垂足为〃，将△/£)£沿/。折起

（如图），使得平面平面/BCD.

⑴求证：EH_L平面45CD；

（2）求三棱锥C-ADE的体积;

⑶在线段上是否存在点使得"〃平面COE?若存在‘求鲁的值；若不存在’请说明理由.

变式2.（2023春•安徽六安・高一六安一中校考期中）如图，在三棱柱NBC-44G中，ICC,,平面

平面

⑴求证:31cl_L4。；

⑵点E是线段中点，在线段44上是否存在点R使得斯〃平面4GC/,并说明理由.

变式3.（2022春・甘肃兰州•高一兰州市第二中学校考期末）如图，03c中，AC=BC=—AB,4BED是

2

正方形，平面平面若G、尸分别是EC、AD的中点.

⑴求证：GF//平面NBC；

⑵求证：3C人平面/CD.

考点九：线面平行与垂直关系的探索性问题

例13.(2023春•黑龙江牡丹江•高一牡丹江市第三高级中学校考期中)如图所示,三棱柱/3C-44G，

底面是边长为2的正三角形，侧棱山，底面N3C,点瓦尸分别是棱CG，24上的点，点M是线段/C上的

动点，EC=2FB=2.

(1)当点M在何位置时，3///平面/跖？

⑵若5MV/平面4EF,求9与E尸所成的角的余弦值.

变式1.(2021春•内蒙古包头•高一统考期末)如图，在四棱锥中，已知底面4BCD是菱形，且

对角线ZC与相交于点。.

(1)若尸3=尸。，求证：平面尸3。_1_平面上4C；

(2)设点E为3C的中点，在棱尸C上是否存在点尸，使得尸3〃平面NE厂？请说明理由.

变式2.(2022春・山东聊城•高一山东聊城一中校考期中)如图，四棱锥尸-48CD的底面/BCD为平行四

边形，凡G分别为尸5,/。的中点.

(1)证明：NF〃平面尸CG；

(2)在线段8。上是否存在一点N,使得月V〃平面尸CG,并给出必要的证明.

14.(2022春•山西大同・高一大同市第二中学校校考期中)如图，在正方体45co-4月GA中,

E为的中点.

⑴求证：AD"/平面4EC；

(2)CG上是否存在一点尸，使得平面NEC//平面若存在，请说明理由.

变式1.(2023春・天津西青•高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中)如图，四棱锥尸-N3CD中,

ABIICD,AB=2CD,£为尸8的中点.

⑴求证：CE//平面P/D.

(2)在线段N3上是否存在一点尸，使得平面P4。//平面CE尸？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明

理由.

变式2.(2023春•河南洛阳•高一校考期中)如图，在三棱柱中，E,尸分别为线段4cl

的中点.

⑴求证：跖〃平面8CC£.

(2)在线段上是否存在一点G,使平面EFG〃平面/8月4?请说明理由.

(2020秋•安徽亳州•高一统考期末)如图，在四棱锥/—中，四边形8CDE为菱形,

AB=AD=3,BD=2^,点G是棱N3上靠近点8的三等分点，点尸是/C的中点.

⑴证明：。尸〃平面CEG.

(2)点〃为线段上一点，设丽=/丽，若平面CEG,试确定f的值.

变式1.(2022春・河南开封•高一统考期末)如图，在四棱锥尸-/BCD中，侧棱尸。，底面ABCD,底面ABCD

是直角梯形，AB//DC,ADLDC,且48=/。=1,PD=DC=2,£是PC的中点.

p

(1)求证：BE〃平面P/D；

PB

(2)在线段尸&上是否存在一点。，使得尸C_L平面。EQ?若存在，求出：总的值；若不存在，请说明理由.

变式2.(2022春•北京•高一北京市陈经纶中学校考期中)如图，四边形N8CZ)为矩形，为J_平面/BCD,

M,N分别是48,PC的中点.

⑴求证：〃平面B4D；

(2)试确定当△F4D中以与/。满足什么关系时，平面PCD?并说明理由.

I]16.(2021春・北京・高一北京市八一中学校考期末)如图所示，在正四棱柱Z5CD-4片GA中,

产是线段4a上的动点.

(1)证明：8尸〃平面AC，；

(2)在线段4。上是否存在一点尸，使得平面8。尸，平面/C2?若存在，请求出4。：4P的值；若不存

在，请说明理由.

变式1.(2022春•辽宁葫芦岛•高一统考期末)如图，在四棱锥尸中，底面/BCD是矩形，AB=3,

__1._.__

BC=4,已知=且PE平面/8cD,BF=FC>CG=2GD.

(1)在线段FG上确定一点M使得平面PEMJ_平面PFG,并说明理由；

(2)若二面角P-FG-E的余弦值为m,求PG与平面PEM所成角的正切值.

变式2.(2021•浙江•高一期末)如图所示，在四棱锥P-48CD中，底面/BCD是ND48=60。且边长为a

的菱形，侧面P/D为正三角形，其所在平面垂直于底面/BCD,若G为/。的中点，E为3C的中点.

AB

（1）求证：2G〃平面PDE；

（2）在棱尸C上是否存在一点凡使平面。斯，平面488,若存在，确定点尸的位置；若不存在，说明

理由.

考点十：平行与垂直的综合应用

17.（2023春・浙江•高一路桥中学校联考期中）如图，在四棱锥尸-N8CD中，底面4BCD是菱

形，48=4,4048=60。，PA=PD=娓,=M,N分别为PB,DC的中点.

⑵求证：面PAD上面/BCD.

变式1.（2021秋•陕西渭南•高一统考期末）如图，在长方体/3CD-48CQ中，AB=BC,AC^BD=O,

点尸为的中点.求证:

⑴直线8。"/平面P4C；

(2)平面PAC1平面BDDi.

变式2.（2023春•天津西青•高一天津市第九十五中学益中学校校考期中）如图，在直四棱柱为BCD-/4GA

中，平面/BCD,底面/BCD是菱形，^.BC=DC=DB=AAl=2,E是2。的中点.

⑴求证：8。"/平面DE。；

（2）求证：直线平面43CG；

（3）求直线BQ与平面DQCG所成角的正弦值.

变式3.（2022春・福建•高一福建省泉州第一中学校考期中）三棱锥。-N8C（如图1）。、E、厂分别是

图1图2

(1)5gAB=AC,DB=DC,求证：AD1BC

(2)求证：网37/平面80£.

［辱真题演练:

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

1.（2023•天津•统考高考真题）在三棱锥尸-/3C中，线段尸C上的点M满足9=g

,线段尸8上的点

2

N满足PN.PB，则三棱锥尸-ZMV和三棱锥P-48c的体积之比为（）

2.（2023・天津•统考高考真题）三棱台48G中，若面

4BC,4BLAC,4B=4C=A&=2,4Ci=l,M,N分别是8c中点.

(1)求证：4N〃平面GM4；

(2)求平面QMA与平面ACC^所成夹角的余弦值;

(3)求点C到平面CXMA的距离.

3.(2023•全国•统考高考真题)如图，在三棱锥尸-/8C中，AB1BC,AB=2,BC=20，PB=PC=a，

5c的中点分别为A,E,。，点尸在NC上，BFLAO.

⑴求证：防//平面/。。；

(2)若NPOF=120。，求三棱锥P-NBC的体积.

4.(2023•全国•统考高考真题)如图，在三棱锥尸-43C中，AB1BC,48=2,8c=2及，PB=PC=46,

BP,AP,8c的中点分别为。，E,O,=点尸在/C上，BFYAO.

(1)证明：跖//平面4DO；

（2）证明：平面4D0J_平面AEF；

（3）求二面角。-/O-C的正弦值.

圉过关检测］

----------------------llillllllllillllllllllllllllllllfllllllll------------------------

一、单选题

1.（2023・全国•高一专题练习）如图所示，P为矩形48CD所在平面外一点，矩形对角线交点为。，M为

%的中点，下列结论正确的个数为（）

①（W//平面尸3c②（W//平面尸CD③OM//平面尸④OM//平面尸R4

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2023・四川宜宾•统考三模）已知两个平面a,尸，两条直线1,m,则下列命题正确的是（）

A.若a_L/?,lea,贝!!/J■尸

B.若/ua,mu分，m±1,则aJ■/

C.若/ua,mua,m///3,l\\13,则a〃?

D.若/,根是异面直线，Iua,I"B,mu/3,m〃a,则a〃夕

3.（2023•全国•高一专题练习）如图，在正四棱锥S-/BCQ中，E是8c的中点，尸点在侧面ASCD内及其

边界上运动，并且总是保持PE〃平面S3。.则动点尸的轨迹与ASCD组成的相关图形最有可能是图中的

（）

S

ssss

A.

4.（2023春・河北石家庄•高一校考期中）如图一，矩形48CD中,BC=2AB,交对角线8。于

点。，交BC于点M.现将沿5。翻折至AWAD的位置，如图二，点N为棱4。的中点，则下列判

断一定成立的是（）

图二

B./O_L平面

C.CN〃平面HOMD.平面N'QM_1_平面3cZ)

5.（2022・广西玉林・统考模拟预测）在棱长为2的正方体N3CD-4月GA中，E为底面正方形对角线的交

点，P为棱CG上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（）

A.8D4平面尸CEB.区£|=#

（冗JT\

C.当/。//平面8OP时，P为CG的中点D.ZAP。的取值范围为

二、多选题

6.（2023•吉林长春・东北师大附中校考模拟预测）已知/，加为直线，火Q为平面，下列结论正确的是（）

A.若11a,m〃a,贝!]/_1_加B.若/则比//a

C.若//，则〃/£D.若/_La,/〃/,则

7.（2023•云南•校联考三模）下列说法错误的是（）

A.若直线。不平行于平面a,a^a,则a内不存在与。平行的直线

B.若平面aJ■平面0,平面aPl平面/=/,/1-L/,贝以，火

C.设/，加，〃为直线，