弧度制、任意角的三角函数（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

高考数学

弧度制、任意角的三角函数

链教材夯基固本

激活思维

1.（人A必一Pl76T7（2））若。为第一象限角，贝咚是（D）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

【解析】因为。为第一象限角，所以2kn<a<2kTi+-,左WZ,所以历iV%<E+匹，左£Z.

224

当k=2n,时，2〃兀<女<2〃兀+匹，属于第一象限角；当左=2〃+1,时，2〃兀+兀<

24

：<2师+红，属于第三象限角，所以乌是第一或第三象限角.

242

2.下列各式不正确的是（C）

7兀兀

A.-210°=-^B.405。=9"

64

兀兀

C.335。=马23D.705。=々47

1212

717兀

【解析】对于A,-210°=-210X,故A正确；对于B,405°=405X—

1806180

—,故B正确；对于C,335°=335X—,故C错误；对于D,705。=705乂」匚=垃

41803618012

故D正确.

3.当a为第二象限角时，晅包一包3的值是（C）

sina|cosa\

A.1B.0

C.2D.-2

【解析】因为a为第二象限角，所以sina>0,cosa<0,所以画回一型/二晅幺+呷

sina|cosa\sinacosa

=2.

4.（多选）已知角。的终边上有一点尸（Q,2a）,若qVO,则（BD）

B.sinO=—"

A.sin9=——

55

C.tan0=--D.tan0=2

2

高考数学

,八2。。

【解析】由题知sin6=tan0=——=2.

a

5.（人A必一P175练习T6改）已知圆心角为生的扇形所对的弧长为2兀，则该扇形的面积

6

为一12兀

-TT2兀11

【解析】因为。=一，l=ar,所以尸=二；=12,所以扇形面积S=—>=—义2兀义12=12兀.

6匹22

6

聚焦知识

1.角的概念的推广

平面内一条射线绕着一端点一从一个位置旋转到另一个位置所

定义

形成的图形

按旋转方向・正角_、_负角_、_零角—

分类

按终边位置一象限角一、轴线角

终边相所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S

同的角=/|W=a+2fai,左金Z}

2.弧度制的定义和公式

定义长度等于半径长一的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

|a|=4/表示弧长）

角a的弧度数公式

r

@1°=-rad；

180

角度与弧度的换算

公式②1rad=[S

弧长公式1=\a\r__

扇形面积公式S==Zr=产

一2一一

注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3.任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设P（x,歹）是角。终边上异于原点的任意一点，其到原点。的距离

定义

为r

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V

Xtana=

sin。=乙ycosa=~X

rr

(xWO)

I+++

各象

II+——

限符

III一一+

号

IV一+—

工

平旦

(1d加(1姆

三角函W斗、："\\7\o\:

数线

有向线段MP.有向线段/4为正

有向线段OM为余弦线

为正弦线切线

注意：若adl'2J,则tana_>_a_>_sina.

4.常见结论

(1)/3,a的终边关于x轴对称=£=-a+2桁，kb.

(2)/,a的终边关于y轴对称=8=无一a+2左m

(3)£,a的终边关于原点对称Q£=n+a+2航，左GZ.

研题型素养养成

举题说法

目怖11象限角及其表示

例1(1)若夕是第二象限角，则修+4是(A)

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】方法一：因为角P是第二象限角，所以;+2左兀<£<m+2E(左GZ),贝|2兀十

2E<T+£<：+2Mr(左GZ),故,+£是第一象限角.

方法二：因为角乃是第二象限角，取/=?,则/+£=7,所以;+£是第一象限角.

(2)已知角a的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角a用集

合可表示为｛ct|^360o+45o<a<b360°+150°,k^Z].

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「1

30°Fp＞45。

jOx

（^J1（2））

【解析】在0。〜360。内，终边落在阴影部分内的角表示为45。＜6（＜150。，所以所求角

的集合为｛a依360。+45。＜61〈质360。+150。，左GZ｝.

＜总结提炼A

（1）象限角

第一象限角）｛同2痴＜a＜2®+拳左EZ｝

第二象限角）｛同2也+今VGV2E+K,左£Z｝

第三象限角］｛a|2E+7i〈av2E+挈左EZ｝

第四象限角）｛«12hi+＜a＜2kit+2n,左£Z｝

（2）轴线角

{a|a=E,左6Z}

线

角——［终边落在轴上的角）｛［谭"+左兀,左

由yaa=£Z

集

V■｛终边落在坐标轴上的角）｛*=亨兀,）£z｝

变式1（多选）若。是第二象限角，则下列说法正确的是（AD）

A.一a是第三象限角

B.2是第三象限角

2

C.四+a是第二象限角

2

D.2a是第三或第四象限角或终边在〉轴负半轴上

【解析】由Q是第二象限角，可得匹+2加＜。＜兀+2后I,左£Z.对于A,可得一兀一2E〈

2

————2kTi,左£Z,此时一a位于第三象限，故A正确；对于B,可得匹+左兀＜旦〈匹+配,

2422

fcez,当左为偶数时，?立于第一象限；当左为奇数时，守立于第三象限，故B错误；对于C,

22

可得兀+2EV匹+仪＜至+24兀，kGZ,所以四十a位于第三象限，故C错误；对于D,可得兀

222

+4EV2a＜2兀+4而，kGZ,所以2a是第三或第四象限角或在歹轴负半轴上，故D正确.

目标闵弧度制与扇形的弧长、面积公式

例2（多选）已知扇形的半径为八弧长为/,若其周长为4,则下列说法正确的是

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(ABC)

A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1

B.该扇形面积的最大值为1

C.当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为2

D.的最小值为9

rI

【解析】由题意知2厂+/=4,扇形的面积S=，r,/=ar(a为扇形的圆心角的弧度数，a

>0).对于A,当厂=1时，1=2,可得S=；X2X1=1,故A正确；对于B,C,S=1(4-2r)r

=(2-r)r=~r2+2r=-(r-1)2+1,当r=l时，S取得最大值1,此时/=2,a=2,故B,

C正确；对于D,当r=l时，1=2,此时4+人=2+人=?<9,故D不正确.

rI22

<总结提炼A

应用弧度制解决问题的方法：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得

到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

变式2(1)(2024•青岛一模)如图(1)是珍宝“玉璜”，其璜身满刻勾云纹，体扁平，呈

扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得

a

各项数据如图(2)：cm,AD^2cm,AO^5cm,若sin37°七;，兀-3.14,则璜身(即

曲边四边形N3C£>)的面积近似为(C)

图(1)图(2)

(变式2(1))

A.6.8cm2B.9.8cm2

C.14.8cm2D.22.4cm2

~ABA

【解析】显然△/。2为等腰三角形，OA=OBfAB^8,则cos

OA5

sinZOAB^-,即/。42Q37。，于是106。=型，所以璜身的面积近似为

590

^Z^O5-(Oy42-OZ)2)«1x^X(52-32)=«14.8(cm2).

(2)如图，正六边形488环的边长为2,分别以点4,3为圆心，/厂长为半径画弧,

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两弧交于点G,则石，俞，48围成的阴影部分的面积为例一他.

-3

(变式2(2))

【解析】如图，连接G/,GR由题意知，线段G/,GB,的长度都等于2,所以

△G45为正三角形，则NGA4=NG45=匹，故△G45的面积SI=^X22=3,扇形GA4

34

的面积S2=1X三义22=”.由图形的对称性可知，扇形GAB的面积与扇形GBA的面积相等，

233

所以阴影部分的面积S=2SLN音Y.

(变式2(2)答)

目睢］任意角的三角函数

a+8

例3(1)(2024•深圳一调)若角a的终边过点(4,3),则sin、2j=(A)

44

A.B.

55

3

C.-D.

55

44a+

【解析】因为角a的终边过点(4,3),所以cosa=I”；=一,所以sin=cosa

寸42+325t

=4

-5,

(2)(多选)已知角。的终边经过点(2,一3)，且。与。的终边关于原点对称，则下列结论

正确的是(ACD)

A•A亚

A.sin0=--------

7

B.。为钝角

八2由

C.cosa=--------

7

D.点(tanasina)在第二象限

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【解析】因为角。的终边经过点（2,一3）,所以sinO=一早，A正确；因为。与。的

终边关于原点对称，所以角。的终边经过点（一2,3）,所以a为第二象限角，但不一定为钝

角，B错误；cosa=—C正确；因为tanO=一重<0,sina="~->0,所以点（tan。，

727

sina）在第二象限，D正确.

<总结提炼A

（1）当已知角1终边上一点P的坐标时，可利用三角函数的定义求出角a的三角函数值.

（2）当已知角a的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐标.

变式3（多选）如图，在平面直角坐标系中，以原点。为圆心的圆与、轴正半轴交于点

4（1,0）.已知点5（x1，6）在圆。上，点T的坐标是（xo,sinxo）,则下列说法正确的有

（AD）

A.若N4OB=a,则4的=口

B.右*yi=sin%o,贝U=%o

C.若yi=sinxo,则ZC5=xo

D.若4cB=xo,则yi=sinxo

【解析】圆的半径尸=1,若N4O5=a,则ZC5=l,a=a,所以A正确.由于点5是

/AOB的一边与单位圆的交点，故'是对应N/O5的正弦值是对应N4O5的余弦值.若

yi=sinxo,则xi=一|cosxo|,所以B错误.当芹=5m%（）时，xo=ZAOB+2kji9或xo=兀一

ZAOB+2kn,kS,所以C错误,若4成=%（），则//。5=枇，yi=sinxo一定成立，所以D

正确.

新视角I三角函数线

例4（多选）已知sina>sinA，那么下列结论正确的是（BCD）

A.若角a,夕是第一象限角，则COSQ>COS夕

B.若角a,£是第二象限角，贝!jtan£>tana

C.若角a,夕是第三象限角，则cos>>cosa

D.若角a,/是第四象限角，则tana〉tan£

【解析】设角。，夕的终边分别为射线。尸，OQ.对于A,如图（1）,sina=MP>NQ=sm

B,此时cosa=OM,cos0=ON,OM<ON,所以cosa<cos.,故A错误；对于B,如图

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(2),sina=MP>NQ=sm/3,此时tana=/C,tan0=AB,_H.AC<AB,所以tanaVtan/?,

故B正确；对于C,如图(3),sina=MP>NQ=sin/3,此时cosa=QM,cos/3=ON,且0M

<ON,所以cosQ>cosa,故C正确；对于D,如图(4),sina=MP>NQ=sin此时tana

=AC,tan0=AB,ABVAC,即tan夕Vtana,故D正确.

（例4答）

变式4（2018・北京卷）在平面直角坐标系中，蕊，①，济,就是圆N+fn上的四段弧

（如图），点尸在其中一段上，角a以。x为始边，。尸为终边，若tanaVcosaVsina,贝!）尸所

在的圆弧是（C）

H、、、

（变式4）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

【解析】方法一：设尸（x,y）,如图，有向线段为余弦线，有向线段"P为正弦线，

有向线段4T为正切线.对于A,当点尸在45上时，x>yN0,cosa=x,sina=y9所以cos

a>sina,故A错误；对于B,当点尸在CZ）（不含端点Z>）上时，0<x<yWl,cosa=x,sina

=y,tana=^>l,所以tana>sina>cos*故B错误；对于C,当点尸在E尸上时，x<0,

x

y>0,\y\>|x|,cosa=x,sina=y,tana=»V—1,所以sina>cosa>tan%故C正确；对

x

于D,当点尸在而上且的在第三象限时，x<y<0,则tana>0,sin«<0,cosct<0,故D

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错误.

（变式4答）

方法二：若点尸在45或CD上（不含端点4,D）,贝la在第一象限，此时tana—sina=tan

oc（l—cosa）>0,与tanaVsina矛盾，故排除A,B.若点尸在G/Z上（不含端点G）,贝在第

三象限，此时tana>0,cosa<0,与tanaVcosa矛盾，排除D,故选C.

随堂内化

1.与一2026。终边相同的最小正角是（B）

A.136°B,134°

C.57°D.43°

【解析】因为一2026。=—360。乂6+134。，所以与一2026。终边相同的最小正角是

134°.

2.（2020•全国H卷理）若Q为第四象限角，贝l」（D）

A.cos2«>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

【解析】方法一：由。为第四象限角，可得---\-2k7i<a<27i+2k7ikGZ,所以3兀+4左兀

2f

（2a<4兀+4析，kGZ,此时2a的终边落在第三或第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin2a

<0.

方法二：当1=—―,cos2a=cos[si>。，B错误；当a=一四时，cos2Q=COS[3）

63

<0,A错误；由a在第四象限可得sinaVO,cos«>0,贝!]sin2a=2sinacosa<0,C错误，

D正确.

3.（2024・济南、青岛、枣庄三模）已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重

「兀.4f71）

.1jIcossin-I…la—I

合，终边经过点尸I33j,贝UcosI6j=（D）

A.0R1

2

D.哈

2

71

sin-、A/3!，所以COSa—

【解析】因为33j,即所以sina=—,cosa、6,

22

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_71I.71_11_\3

=cosacos--Hsina-sin-=-X----1------X-=—.

6622222

4.（2022•全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆

弧长度的“会圆术如图，就是以。为圆心，04为半径的圆弧，。是48的中点，。在

功上，“会圆术”给出翁的弧长的近似值s的计算公式：+四.当。/=2,

0A

//。2=60°时，s=(B)

(第4题)

A11—33口11-4^3

A.一D.一

22

C9一3」D9-4m

22

【解析】如图，连接。C,因为。是A8的中点，所以OCL/8,又CDLAB,所以。,

C,。三点共线，即。。=。4=。2=2.又//。3=60。，所以48=04=03=2,贝I0C=3,

故CD=2—3，所以+9=2,（2—3）2=11—43

0A

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一、单项选择题

1.sin2-cos3，tan4的值(A)

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

【解析】因为四<2<3<兀<4〈玛所以2md和3rad的角是第二象限角，4rad的角

22

是第三象限角,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2,cos3・tan4Vo.

2.(2024•吕梁二模)已知角a的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点(一韵,

T=(A)

1),则tan

B-4

【解析】方法一：由角a终边经过点(一<3,1),可得tana=—所以tanD

tana-tan一

---------------

1+tanatan-

6

方法二：因为角a的终边经过点(一3,D，所以a为第二象限角，tana=-B,贝以=宜

36

+2左兀，k£Z,故tan[6^1=tan"=—A/3.

3

3.(2025•青岛期初)在平面直角坐标系xOy中，角。与角夕均以x轴的非负半轴为始边，

它们的终边关于X轴对称.若cosa=-；,则cos(a—0=(B)

1口7

AA.-B.—

99

9

C.1D.-

7

【解析】因为角。与角yg均以X轴的非负半轴为始边，它们的终边关于X轴对称，所以

cosa=cos/=一sina=-sin£,且sin*12(3*7x=1-cos2(x=^,sinorsin£=­sin2]=­故cos(a

[87

—f))—cosacosS+sinasin^=---=-

4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，

其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆的面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内

接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数〃，使得正多边形

的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率兀.据此，当"足够大时，可以得到

高考数学

兀与n的关系为（A）

（第4题）

A.ism”

2n

B.^nsin

D.兀仁1-C0S

n

【解析】设圆的半径为尸，将内接正〃边形分成〃个小三角形，由内接正〃边形的面

积无限接近圆的面积，即可得〜sm”,解得-料半

二、多项选择题

5.若j<a<］那么下列不等式成立的是（BC）

A.sina<cos（x<tanaB.cosa<sin（z<tana

C.sina<a<tanaD.a<sina<tana

【解析】对于A,B,如图，在单位圆中分别作出。的正弦线MP、余弦线。河、正切

线AT,很容易地观察出（WVMPV4T,即cosQVsinc^Vtana.对于C,D,如图，在单位圆

中分别作出。的正弦线〃尸、正切线/T,则MP=sin。，/T=tana.连接4P,因为500尸=

^OAMP=\sma,S扇形NO尸S&4OT=；Q4\4T=；tana.因为尸VS扇形4o尸〈品4厅,

所以-sina<-a<-tana,即sinot<a<tana.

222

（第5题答）

6.（2024•温州二模）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P（—3,4）

为其终边上一点，若角△的终边与角2a的终边关于直线y=—x对称，贝ij（ACD）

A.COS（7l+ot）=~

高考数学

B.£=2E+1+2a/GZ)

7

C.tan4=m

D.角£的终边在第一象限

【解析】因为角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(—3,

44a

4),所以。尸=5,所以sina=;，cosa=—-9所以cos(兀+a)=—cosa=《，故A正确.因

L4f-H24,f—斗件7

为sin2a=2sinacosa=2><—X15j=------,cos2ot=cos2oc—sin2a=L5j—UJ=------，所

52525

以2a的终边与单位圆的交点坐标为1—25,―J.因为角万的终边与角2a的终边关于直线y

p4n

=—X对称，所以角6的终边与单位圆的交点为【25’25」，所以ta3=7,且△的终边在第一

象限，故C正确，D正确.因为终边在直线>=—x的角为也一%后GZ,角2a的终边与角

夕的终边关于y=-x对称，所以也：=£=2加一：一2a/ez),故B错误.

7.如图，A,3是单位圆上的两个质点，点3的坐标为(1,0),ZBOA^,质点/以1

rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点8以2rad/s的角速度按顺时针方向在单

位圆上运动，则(ABD)

(第7题)

A.经过1s后，ZBOA的弧度数为三+3

3

B.经过三s后，扇形N08的弧长为办

1212

C.经过［s后，扇形405的面积为:

D.经过也s后，45在单位圆上第一次相遇

9

【解析】经过1s后，质点/运动1rad,质点5运动2rad,此时N5CU的弧度数为匹

3

+3,故A正确；经过匹s后，Z.AOB——~~I■四+2乂匹=勿，故扇形405的弧长为1=

12123121212

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—,故B正确；经过四s后，ZAOB=-+~+2X-=^,故扇形408的面积为S=1X2X12

126636626

=—,故C不正确；设经过/s后，A,3在单位圆上第一次相遇，则/(1+2)+n=2兀，解得

123

f=包s,故D正确.

三、填空题

8.如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角。的集合是

旦|一优+1)兀，kRZ

5兀

-4-2O\

(第8题)

9.已知角。的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，终边过点4(3,>),且sin(jr+

434

S)=~,贝!Jcos8==，tan9=—=.

5-5---3-

【解析】因为角。的终边过点4(3,y),所以sin8=/7,cos8=7^=”.因为sin(兀

A/32+/A/32+/

+0)=3所以一sin0=3即Sin8=—3<0,所以点/在第四象限，所以於二=—3解

555■\/32+y25

得y=-4,所以cos0=3,tanO="=一土

■5x3

10.如图，在RtZ\P20中，/PBO=90°,以。为圆心、03为半径作圆弧交。P于点4

若圆弧等分△P08的面积，且//O3=a,则一*=—=_.