类平抛运动与斜抛运动模型

专题9类平抛运动与斜抛运动模型

重力场中类平抛模型（58题）.....................................................4

电场中的类平抛模型（813题）....................................................7

重力场中斜抛模型（1418题）....................................................11

电场中斜抛模型（1922题）......................................................15

真题回顾

1.（2023•湖南）如图（a）,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒

中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O,且轨迹交于P

点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为VI和V2,其中VI方向水平，V2方向斜向上。忽略

空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（）

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度

B.谷粒2在最高点的速度小于vi

C.两谷粒从O到P的运动时间相等

D.两谷粒从O到P的平均速度相等

【解答】解：A、两谷粒均做抛体运动，故加速度均相同，故A错误，

BC、根据图b可知谷粒2从最高点到P点的运动时间大于谷粒1从O点到P点的运动时间，又

因为谷粒2从最高点到P点水平位移小于谷粒1从O到P点的水平位移，所以谷粒2在最高点

的速度小于vi,故B正确，C错误，

D、两谷粒从O到P的位移相同，飞行时间不同，所以平均速度不相等，故D错误。

故选：Bo

2.（2021•江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速

度方向相同，下列判断正确的是（）

A.A比B先落入篮筐

B.A、B运动的最大高度相同

C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小

D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同

【解答】解：AB、将A、B篮球的运动过程逆向看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动,

落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高

度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；

C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最

高点的速度大，故C错误；

D、由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。

故选：D。

（2021•全国）一迫击炮先后以大小相同的速度发射甲、乙两颗炮弹，炮筒与水平地面间的夹角

分别为01、02（91<92<90°）O两炮弹的射程分别为si、S2,所到达的最大高度分别为hi、h2,

假定空气阻力可以忽略，则（）

A.S1一定大于S2B.S1可能等于S2

C.hi一定大于h2D.hi可能等于h2

【解答】解：CD、设炮弹的发射速度大小为v,方向与水平地面夹角为0,则竖直向上的分速度

为vy=vsin0

根据速度与位移的关系式有哆=2gh

—T-ZH,v2sin20

可得：h=

/9

由于。1<。2<90。

则hi一定小于h2,故CD错误;

AB、根据题意可知，炮弹发射到最高点的时间为：土1=号=空磐

99

炮弹从最高点到落地的时间为：t2=母=誓

N99

则炮弹的飞行时间为：1=生磐

则炮弹的射程为：s=ucose•亨=号组

当%+4=3时，sin20i=sin（it-202）=sin2®2

则si=s2,故A错误，B正确。

故选：Bo

4.（2020•山东）单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：

U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角

为17.2。。某次练习过程中，运动员以VM=10m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切

面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角a=72.8。，腾空后沿轨道边缘的N点进

入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小

g=10m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30»求：

（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；

（2）M、N之间的距离L。

【解答】解：（1）在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为vi,由运动的合成

与分解规律得：vi=vMsin72.8。…①

设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为ai,由牛顿第二定律得:

mgcosl7.2°=mai…②

2

由运动学公式得：＜1=胃…③

联立①②③式，代入数据得：d=4.8m…④

（2）在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为V2,由运动的合成与分解规律

得：V2=VMCOS72.8°…⑤

设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2,由牛顿第二定律得：

mgsinl7.2°=ma2…⑥

设腾空时间为t,由运动学公式得：t=孕…⑦

沿斜面方向根据位移-时间关系可得：L=v2t+3a2/…⑧

联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得：L=12m。

重力场中类平抛模型（58题）

5.（2020•渝水区校级模拟）如图所示的光滑斜面长为1,宽为b,倾角为0,一物块（可看成质点）

沿斜面左上方顶点P以初速度vo水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则（）

A.物块由P点运动到Q点所用的时间t=2匚与

g3t-Txcz

B.物块由P点运动到Q点所用的时间t=2

C.初速度vo=b耳

D.初速度vo=b悟%

mqsinG.八

【解答】解：AB、根据牛顿第二定律得物体的加速度为：z1=------=gsin0o

m®

根据1=为2得：t=匚毛，故AB错误；

z、/qsiriu

CD、入射的初速度为：vo=1=b甥亚，故C错误，D正确。

故选：Do

6.（2022•湖北三模）如图所示的光滑斜面长为L,宽为s,倾角为0=30。，一小球（可视为质点）

沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g。则下列说法正

确的是（）

A.小球运动的加速度为g

2L

B.小球由A运动到B所用的时间为

~9

C.小球由A点水平射入时初速度vo的大小为s*

D.小球离开B点时速度的大小为烧6+4L2）

【解答】解：A、依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线

运动，再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：a=笔型=gsinO=号，故A错误;

2L'2L4L

BCD、根据有：t=

agsinO-~9

在B点的平行斜面方向的分速度为：VBy=at=gsin0x赢=J2gLs讥8=项

根据S=vot,有：vo="=

故物块离开B

故选：Do

7.（2023春•西湖区校级月考）如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a=5m,宽b=4m,倾角

0=30°,一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度

g取10m/s2。则下列说法正确的是（）

A.小球运动的加速度为10m/s2

B.小球从B运动到A所用时间为2s

C.小球从B点水平射入时的速度为2&a/s

D.若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面

【解答】解：A、依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线

运动，

再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：g，=笔变=gsin9=10x排/s2=5m/s2,故A错误;

BC>根据a-|gzt2,有：t=V2s

根据s=vot,有：vo=|=-^m/s=2V2m/s,故B错误，C正确；

D.若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能

从底端A点离开斜面，故D错误；

故选：Co

8.（2022春•新乡期末）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度vo抛出，A在竖直平面内运动

落地点为Pi；B在光滑的斜面上运动，落地点为P2,Pi、P2处于同一水平面上，不计空气阻力，

则下列说法中正确的是（）

A.A、B同时落地

B.A落地的速度与B落地时的速度相同

C.从抛出到落地，A沿x轴方向的位移小于B沿x轴方向的位移

D.A、B落地时的动能相同

【解答】解：A.对于A球做平抛运动，运动的时间为tA=隹

N9

对于B球做类平抛运动，沿斜面向下方向做匀加速运动，加速度为@=85抽0

h.1

根据痂=2Gt9«

解得tB=焉2h

~9

可知tB>tA

故A错误。

B.A落地的速度与B落地时的速度方向不相同，故B错误;

C.沿x轴方向上的位移为x=vot

XA=VOtA

XB=VOtB

可知XA<XB

故C正确。

D.两球的质量关系不确定，不能比较动能的关系，故D错误。

故选：Co

电场中的类平抛模型（813题）

9.（2023秋•密云区校级期中）一带电油滴在匀强电场E中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方

向竖直向下。若不计空气阻力，则此带电油滴从a运动到b的过程中，下列说法不正确的是

（）

"b

I

tI

/t

*E

A.油滴带负电

B.电势能减少

C.动能增加

D.重力势能和电势能之和增加

【解答】解：A、由轨迹图可知，带电油滴所受的电场力竖直向上，与电场强度方向相反，所以油

滴带负电，故A正确。

B、从a到b的运动过程电场力做正功，电势能减少，故B正确；

CD、根据功能关系可知，油滴在从a到b的运动过程中，只有重力、电场力做功，因此重力势能、

电势能、动能三者之和保持不变，从a到b的运动过程中，重力势能增加，因此动能和电势能之

和减少。因该过程中合外力向上，合外力做正功，动能增加，因此重力势能和电势能之和减小，

故C正确，D错误；

本题选错误的，

故选：D。

10.（2023秋•越秀区校级期中）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀

强电场，板长为L（不考虑边界效应），t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为vo

的相同粒子，垂直M板向右的粒子a,到达N板时速度大小为/vo；平行M板向下的粒子b,

刚好从N板下端射出，不计重力和粒子间的相互作用，则（）

A.M板电势高于N板电势

B.粒子在两板间的加速度为@=苧

C.两个粒子的电势能都增加

D.a、b粒子到达N板的速度相同

【解答】解：A、因为不知道两粒子的电性，故无法确定M板和N板的电势高低，故A错误；

C、根据题意可知垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电

势能减小；同理平行M板向下的粒子达到N板时电场力也做正功，电势能也减小，故C错误；

BD、设两板间距离为d,对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运

动，有二=VOt

2

1

d=2at7

对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中的加速度也相

2

同，W（V2v0）-诏=2ad

联立解得：t=与；

Zi/nL

两粒子到达N板的速度大小相等，方向不同，故B正确，D错误;

故选：Bo

11.（2023秋•渝中区校级期中）如图所示，有一倾角为30。的绝缘斜面，一质量为m、所带电荷量

为q的小球从斜面的中点，以初速度为vo水平抛出，经时间ti恰好落在斜面的最下端；当在该

区域加上一竖直向下的匀强电场E,将小球从斜面的顶端以同样的初速度vo水平抛出，经时间

t2也恰好落在斜面的最下端，则有（）

A.小球带负电，电场强度E=^

B.小球带负电，电场强度E=等

C.小球两次在空中飞行的时间之比为h：12=1：V2

D.小球两次落到斜面底端时，其速度与斜面所成夹角均相等，且为60。

【解答】解：ABC.因水平方向两次均做匀速运动，设两次水平位移分别为xi、X2,时间分别为ti、

t2,则Xl=V0tl

X2=V0t2

又X2=2xi

则t2=2tl

竖直方向初速度为0的匀加速直线运动

第一次〃皿=曷=标

144

第二次."器=患

联立可得a*

可知电场力向上，小球带负电，根据牛顿第二定律mg-qE=ma

代入解得E=翳

选项A正确，BC错误；

D.第一次落到斜面底端时速度方向与水平方向的夹角tma="1=2tan9=攀

v03

第二次落到斜面底端时速度方向与水平方向的夹角=3=2tane=挛

v03

贝11a=p

即速度与斜面所成夹角均相等，但不是60°,选项D错误。

故选：Ao

12.（2023秋•南关区校级期中）如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带

正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为（PM、<PN,粒子在M和

N时加速度大小分别为aM、aN,速度大小分别为VM、VN,电势能分别为EpM、EpNo下列判断

正确的是（）

------------------------1:--N------

✓/

M

A.VM<VN,aM<aNB.VM>VN,aM>aN

C.（pM<cpN>EPM<EPND.q）M><pN,EPM>EPN

【解答】解：根据粒子运动轨迹可得，粒子受到的电场力方向向左，粒子带正电，则电场线方向

向左。

AB、若粒子从M到N电场力做负功，动能减小、速度减小；若粒子从N到M电场力做正功，

动能增大、速度增大，则VM>VN；根据电场线的情况可知，该电场为匀强电场，粒子运动过程中

加速度不变，则aM=aN,故AB错误；

CD、若粒子从M到N电场力做负功，动能减小、电势能增大；若粒子从N到M电场力做正功，

动能增大、电势能减小，则有：EPM<EPN；沿电场线方向电势降低，则（pM<（pN,故C正确、D

错误。

故选：Co

13.（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，A、B、C三个带电离子（不计重力），以相同的初速

度沿水平金属板M、N间的中心线射入匀强电场中，两极板间的距离为d。A离子落在N板的

中点；B离子落在N板的边缘；C离子飞出极板时，沿电场方向的位移为2。已知它们质量之比

4

为mA：mB：mc=l;1：2,则离子A、B、C所带电荷量之比为（）

A.2：1：1B.2：2：1C.4：2：1D.4：1：1

【解答】解：带电离子在电场中做类平抛运动，则y=£x胎x（/）2

LTTICIL/n

L

d1qU

对离子A可得:-Xx(—):

22m月d%

d1qUL2

对离子B可得:-Xx(—)2

22%

d1qUL2

对离子C可得:-Xx(—)2

42medVo

又因为mA：mB：mc=l;1：2,则

qA：qB：qc=4；1：1,故D正确，ABC错误;

故选：Do

重力场中斜抛模型（1418题）

14.（多选）（2023秋•重庆期中）某篮球运动员正在进行投篮训练，篮球的运动轨迹可简化为如图

所示的曲线，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球

在A点的速度方向与水平方向的夹角为45。，在B点的速度大小为vo,在C点的速度方向与水

平方向的夹角为30。，篮球可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为g,下列说法正确的

是（）

A.从A点到B点，篮球运动的时间为‘

9

B.从B点到C点，篮球运动的时间为叵2

2g

C.A、B两点的高度差为瞥

8g

D.A、C两点的水平距离为G+遮）诏

3g

【解答】解：A.篮球的运动轨迹为抛体运动，在A点的水平分速度VAx=V0,竖直分速度VAy=

V0,从A点到B点，篮球运动的时间以B=等=弓，故A正确；

B.从B点到C点，篮球运动的时间叱=萼="。）3°°=绥S,故B错误；

993g

C.A、B两点的高度差h=⑴心黑5。/=算,故c错误；

乙g乙g

D.A、C两点的水平距离*=丫0(tAB+tBC)=vo(―+^V°)=(3+4)%,故D正确。

g3g3g

故选：ADo

15.(2023秋•湖北期中)2023年9月29日，在杭州亚运会田径项目女子铅球决赛中，中国选手巩

立姣夺得金牌，获得亚运会三连冠。图甲是巩立姣正在比赛中。现把铅球的运动简化为如图乙

模型：铅球抛出时离地的高度h=1.928m,铅球落地点到抛出点的水平距离x=20m,铅球抛出

时的速度vo和水平方向的夹角0=37。，已知铅球的质量为m=4kg,不计空气阻力，$吊37。=

0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2,V2.6144=1.62,V3.3856=1.84,贝l|()

A.小球运动到最高点时速度为零

B.小球在空中运动的时间为1.62s

C.从抛出到落地过程中小球速度的变化量是18.4m/s

D.小球落地前任意相等时间内速度的变化量不相等

【解答】解：A.小球运动到最高点时竖直方向速度为零，水平方向速度不为零，故A错误;

B.根据斜抛运动的规律，抛出时水平方向的分速度

Vx=vocos37°

小球在水平方向做匀速直线运动，小球在空中运动的时间为t=3=,,

抛出时竖直方向的分速度vy=vosin37°

根据竖直方向的匀变速直线运动规律，有一h=%t-*gt2

代入数据联立得t=1.84s

故B错误；

C.从抛出到落地过程中小球速度的变化量是

Av=gt=10xl.84m/s=18.4m/s

故C正确；

D.小球落地前加速度为重力加速度不变，任意相等时间内速度的变化量相等，故D错误。

故选C。

16.（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，某次比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度

vo斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点。不计空气阻力，若篮球从B点正上方C点斜向上

抛出，仍然垂直击中篮板上A点，则两次抛球相比（）

A.从B抛出至A,用时较短

B.从B点抛出时，球撞到篮板时的速度较小

C.从C点抛出时，球撞到篮板时的速度较小

D.从C点抛出时，抛射角0较大

【解答】解：A、因为篮球垂直击中篮板，此时的速度处于水平方向，故根据逆向思维，把篮球的

运动看成反向做平抛运动，A到B的下落高度大于A到C的下落高度，竖直方向根据％=^gt2

可知，A到B的时间大于A到C的时间，即球从B抛出至A,用时较长，故A错误；

BC、篮球抛出后水平方向做匀速运动，则有

X=Vxt,即水平速度以=*

由于水平位移相等，球从B至A用时较长，可知从B点抛出时，球撞到篮板时的速度较小，从

C点抛出时，球撞到篮板时的速度较大，故B正确，C错误；

D、篮球刚抛出时的抛射角满足

tan3=-=—

vxVx

由于从c点抛出时所用时间较短，且水平速度较大，可知从c点抛出时，抛射角e较小，故D错

误。

故选：Bo

17.（2023秋•顺德区校级月考）体育课上，某同学跳起投篮，篮球脱手后斜向上飞出，如图所示。

篮球在上升过程中速度方向与水平方向的夹角0的正切值为tanO,不计空气阻力，关于tan0与

篮球运动时间t的关系，如图图像中可能正确的是（）

【解答】解：篮球抛出后做匀变速曲线运动，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的竖直

上抛运动合成。根据题意，有：tan9=整=驾更=tanOo-g♦t

vxvx0vx0

则tan。与时间t呈线性关系，斜率为负。故ABD错误，C正确。

故选：Co

18.（2023•浙江模拟）如图所示，甲、乙两名滑板运动员在水平U形赛道上比赛，甲、乙先后从赛

道边缘上的A点滑出，一段时间后再次滑入赛道，观察发现甲的滞空时间比乙长，运动过程中

乙的最小速度比甲的最小速度大。不计空气阻力，可将运动员视为质点，则下列说法正确的是

（）

A.甲、乙的最大腾空高度相同

B.甲从A点滑出时的初速度一定大于乙的初速度

C.甲、乙从A点滑出时的初速度方向可能相同

D.甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同

【解答】解:

2

A.甲的滞空时间比乙长，故甲的竖直速度Vy更大，最大腾空高度h=集，故甲的腾空高度更大，

故A错误；

B.乙的最小速度比甲的最小速度大，即甲的Vx更小，从A点滑出时的初速度v=，以2+%2,故

无法比较，故B错误；

C.设初速度与水平方向夹角为仇tanO=*,故甲与水平方向夹角更大，故C错误；

D.根据水平位移公式x=vx-2也，可能相同，故甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同，故D正确;

9

故选：Do

电场中斜抛模型（1922题）

19.（2023•郴州三模）如图所示，真空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为m、带电量

分别为+q和-3q的两小球同时从O点以速度vo斜向右上方射入匀强电场中，vo方向与水平方

向成60。角，A,B（图中未画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A

点的速度大小仍然为vo,若仅把带正电的小球射入速度变为2vo,其运动轨迹的最高点记为C,

重力加速度为g,不考虑两球间的库仑力。则下列说法错误的是（）

7^

小。:

0

A.两小球同时到A、B两点

B.OA与OB之比为百：1

C.两小球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为1：3

D.带正电的小球经过C点的速度大小2vo

【解答】解：A、由%=%s讥60。=与必可知两小球竖直方向的初速度大小相等，竖直方向只受

重力，上升到最高点时竖直方向速度为零，由t=?可知两球到A、B两点的时间相等，故A正

确；

B、正电荷水平方向的加速度大小&=0}s60°=哭,正电荷水平方向的位移办=

v0cOs60°+v0t=孚，竖直方向的位移@=vosm6O°+O=卑£,则％=,孙2+煤,代入数

据，可得04=在产

负电荷所带电荷量为正电荷的三倍，由牛顿第二定律有：Eq=max,3Eq=max，，所以负电荷水平

方向的加速度a/为正电荷水平方向加速度的3倍，即：ax'=3ax=攀，负电荷到达最高点时水

f

平方向的速度vx=vocos60°-ax化代入数据可得vt=-vo,则负电荷水平方向的位移小=

VQCOS60°—VQ_

2（=一丁

两电荷竖直方向只受重力，加速度相等，竖直方向初末速度大小相等，运动时间相等，所以竖直

方向的位移相等，即，则。B=VXB2+7B2»代入数据可得OB=字，可知笑=

=VA=咤一"40B

\[3VQt

Vgt=*\/3，故B正确；

2

C、正电荷电场力做正功，电势能减少，由功能关系可知，正电荷电势能的变化量AEp=-EqxA,

负电荷电场力做负功，电势能增加，电势能的变化量AEp』3Eqx（-XB）,代入数据可得怒=

—1,故C错误；

D、若仅把带正电的小球射入速度变为2vo,则竖直方向的初速度变为原来的2倍，由1=常可知

9

上升到最高点运动的时间t，变为原来的2倍，即t，=2t,则小球经过C点的速度大小vc=

2vocos60°+axt',代入数据可得vc=2vo,故D正确；

本题选错误的，故选：C。

20.（2023•丰台区二模）如图所示，地面附近空间有水平向右的匀强电场，一带电微粒以初速度vo

从M点进入电场，沿直线运动到N点，不考虑地磁场的影响。下列说法正确的是（）

,N

M

A.该微粒带正电

B.该微粒做匀速直线运动

C.只增大初速度vo,微粒仍沿直线MN运动

D.从M至N过程中，该微粒电势能减小，动能增加

【解答】解：A、带电微粒做直线运动，其合力与速度在同一直线上，重力竖直向下，则微粒受到

的电场