江苏省某中学2024-2025学年高一年级下册期末复习数学试题

江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期期末复习数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若样本数据上/的方差为3,则2%-1，2々-1，…,2再。-1的方差为（）

A.3B.5C.6D.12

2.已知i为虚数单位，复数z满足忖=「则,_i|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，/表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是

3”，2表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰

子正面向上的点数之和是7"，则（）

A./与2互斥B.2与C互为对立C./与3相互独立D./与C相互独立

4.已知向量AR"在正方形网格中的位置如图所示,用基底｛"，可表示"则（）

B

A，c=3a-2b-c=-3a+2b

C-c=-2a+3bD-c^2a-^b

5.如图，正方体/BCD-//CD］的棱长为3,线段BQj上有两个动点E,F,且EF=O，

则三棱锥/RFF的体积是（）

A-onr

试卷第11页，共33页

A.13V2c.也1

B.D-5

22

工.Q<a<71a=^~,则sin/a4=（）

6.已知，cos—

25I4j

叵谨还

A.eB.C.D,

1051010

7.设尸,43,C是球。表面上的四个点，R4_L平面/8C，AABC=90°PA=5,4B=3,

BC=4,则球。的表面积为（）

c50兀C.75兀200兀

A.当B.D.

3

8.在平面直角坐标系皿中,例|=|函=&,।泡=2•设C（3,4）,则|2出+法|的取值

范围是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

二、多选题

9.已知复数4，zj下列说法正确的是（）

A-若4=r则[=4B.若㈤=团，则z；=z；

试卷第21页，共33页

、一㈤=㈤Z14=z-z

Z2w022

Z1=皂

C.若’，则D.若，则

Z2jz?

10.已知vz5c内角4,B,。所对的边分别为。，b,C,则下列说法正确的是（）

A・右A<B'则sin/<sin5

B.若a=2,B=J且该三角形有两解，则&<方<2

3

C.若粤1=镖，则V/8C为等腰三角形

a2b1

D•若tanN+tanB+tanC〉。’则VN3c为锐角三角形

11.如图，四边形/BCD是边长为2a的正方形，点用F分别为边BC,CD的中点，将

△ABE,AECF，△皿分别沿/£，EF,曲折起，使瓦C,。三点重合于点尸，则

A.APLEF

B.点P在平面/斯内的射影为△.好的外心

C.二面角A_"次FF—"P的正弦值为"1

D.四面体尸一/斯的外接球的体积为几兀/

试卷第31页，共33页

三、填空题

12.已知向量£=（一1，1），加=（-2,4）,若房后，且力（»）,则F卜.

13.若正三棱台的上、下底面边长分别为6和26，高为1，则该正三棱台

的外接球的表面积为-.

VARCA8rakc[T7

14.已知锐角。的内角，，的对边分别为，，，若行4A=配上，则

2\4b

r的取值范围是_____.

b

四、解答题

15.已知向量/=[cos里,sin—],^=（«in«，cosa）

I1212；

⑴若g/区，求tana；

（2）若国一加=萼，

①求sin[a;

②已知ae&t），求8s2a.

16.某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名

候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55），第二组[55,65），第三组[65,75），第四组

试卷第41页，共33页

［75,85)，第五组［85,95］，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率

(1)求。、6的值，并估计这10。名候选者面试成绩的中位数；

(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求

选出的两个来自同一组概率.(要求列出样本空间进行计算)

17.如图，在梯形/BCD中，AB//CD,AB=1CD，E,尸分别为48,CE的中点，G是线段

8c上的动点.

(1)若力=1通，求证：三点共线；

3

(2)若AD=CD=1,ZDAB=1,求"G•EG的最小值.

18.如图，在四棱锥尸中，底面/gey)是菱形，平面尸/£)平面PC。，△P/D是

边长为2的正三角形，尸c=26，E是尸C中点，过点A,B,£的平面与尸。交于点尸.

试卷第51页，共33页

(1)求证：ABHEF；

(2)求证：AFJ_AB-

(3)求二面角/一/的正切值.

M,

19.如图，已知v48c中，/C=4，ZBCA=90°'ZBAC=600'N为线段4g上两点，

且NMCN=30”

(1)若O7_L%，求..近的值；

(2)设44cM=6,试将△心;，'的面积S表示为8的函数，并求其最大值•

(3)若5N=逅收求cos/*”的值.

8

试卷第61页，共33页

《江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期期末复习数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBDAADBDACDABD

题号11

答案AD

1.D

【分析】根据题意结合方差的性质运算求解.

【详解】因为样本数据石…,飞的方差为3,

所以2网一1，2%-1，…,2/-1的方差为22x3=12-

故选：D.

2.B

【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解.

【详解】因为复数z满足目=],

所以复数z对应的点z的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径『=1，

圆心0到复数i对应的点(0,1)的距离为1,

所以的最大值为1+厂=1+1=2.

故选：B

3.D

【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB,根据相互独立事件的判断公式判断CD.

【详解】对于A,/与3有可能同时发生，不是互斥事件，A错误；

对于B,除了3,C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误；

第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3,包含的样本点为(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，

故尸

366

答案第11页，共22页

两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4,包含的样本点为(1,3),(2,2),(3,1),

31

故玖3)=公

3012

A，B同时发生的事件包含样本点为G/)，故尸,

36

所以尸(/5)=工工尸⑷尸(B)=LXL即4.不相互独立,故C错误;

36126

两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7,包含的样本点为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，

故p(c)=£=L

366

A，C同时发生的事件包含的样本点为⑶的，故尸(ZC)$,

所以P(/C)=P(/)P(C),即Z与C相互独立，故D正确•

故选：D

4.A

【分析】建立直角坐标系，设向量"=加£+元，利用平面向量基本定理和向量的坐标运算求解•

【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1,

则q=(1,1)花=(-2,3),c=(7,-3)，

答案第21页，共22页

设向量c=ma+痛，则2〃=7,解得卜=3,

[m+3n=-3,\n=-2,

所以三312左

故选：A.

5.A

【分析】由正方体性质可证NC_L平面所以可知Z。为三棱锥/-AEF的高，由棱

锥体积公式可解.

由4CJ_AD，/C_LZ>R，BDCDR=D,BDu平面DQBB],u平面，

所以平面他阳，得点人到平面的出的距离是/0=迪，也即点人到平面两

2

的距离是逑,

2

即三棱锥"一"或7的高为/。=逑，又SBEF=LBB「EF=L3X6=^，

2222

故三棱锥/一'跖的体积为』x述X£1=3.

3222

故选：A.

6.D

答案第31页，共22页

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-3,贝Usina目士，最后再根据两角差的正弦公式

55

即可得到答案.

7a

【详解】cosa=2cos--l=2xbJ

0<a<7i

因为

71,7t.n4V2f3^V2772

则sina=smctcos----cosctsm—=—x-------------x——=--------

~~4452I5)210

故选：D.

7.B

【分析】根据题意，画出几何体的图形，利用直棱柱和球的截面的性质，求得外接球的半

径，结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】解：由题意，画出几何体的图形，如图所示，

把P,A,B,C扩展为三棱柱,

上下底面三角形外接圆圆心连线的中点0与A的距离为球的半径及，

由尸/=5'AB=3'BC=4'ZABC=90°,

则YIAB2+BC2=V32+42=5，

设三角形/8C外接圆半径为『，球°的半径为火,

所以外接球的表面积为S=4兀繇56兀x—=

2

故选：B.

答案第41页，共22页

【分析】先根据刀=无一次，求出〈方,赤〉，进而可以用向量次，砺表示出20+您，

即可解出.

【详解】因为QHO3t正，|瓯=2,

由“8=08-。4平方可得，OA-OB=Qt所以〈方，历〉=5.

22

2CM+AB=2(OA-OC^+OB-OA=OA+OB-2OCt|oc|=A/3+4=5,

I(,—--»|2«2»2-1(——\

所以，|2C/+/@=OA+OB+4OC-A[OA+OByOC

=2+2+4x25-4@+西贡=104-4@+砺).欧

x|(O4+OB).Oc|<|a4+Os||oc|=5xV2+2=10,gp-10<(ft4+OS)OC<10；

所以120+同2e[64,144],即12c4+画e[8,12],

故选：D.

9.ACD

【分析】根据共轨复数的概念判断A,根据特例可判断B,根据复数的除法及共辗复数概

念判断C,根据复数模的性质判断D.

J

【详解】对A,设％=a+6i(a,Z?eR)，由句=或知，~zx=a-bi,z,=a-bi故A正确；

答案第51页，共22页

对B,设ZI=l,Z2=i，则满足㈤=㈤，此时z；=l,z；=-1，故B错误;

对C,Zj=a+bi(a,bGR)，z2=c+diwO(c,dwR)，

4a+bi(a+bi)(。-di)ac+bd+[be-ad^i

z】c+dic^+d?c^+d2

所以]Z[]ac+bd-(be-ad)i(“c+6。)+(ad-bc)i

2222

[z9Ic+dc+d

zxa-bi(a-6i)(c+di)ac+bd+^ad-bc)\.

z】c—di(c—di)(c+"i)

7\一

所以|五=1，故C正确；

<Z2JZ2

对D,因为|气卜㈤,所以㈤2="「所以㈤2=Z|W=Z2.心㈤2,故D正确.

故选：ACD

10.ABD

【分析】根据大边对大角及正弦定理判断A,根据图形数形结合可判断B,由正弦定理及

三角恒等变换判断C,由两角和的正切公式变形可判断D.

【详解】因为所以由正弦定理4=上，可知sin/<sinB,故A正确;

sinAsinB

如图，

c

,,且该三角形有两解，所以，

a=2_7i.7i

B=—asm—<b7<a=2

33

即由<6<2，

答案第61页，共22页

故B正确;

二十二壬…e—r〃日tanAtan5目门11匚匚”sin24=sin25r

由正弦定理可得，——=——,即---------=---------，所以，m因A为

sinAsinBsinAcosAsin5cos5

242Be(0,27i),所以2N=22或24+24=,

即/='或/+8=工，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；

2

因为tanA+tanB+tanC=tan(/+5)(1-tanAtanB)+tanC

=-tanC+tanAtan8tanC+tanC=tan/tan8tanC>0，.S.A,B,Ce(0,兀)，

所以tan4>0,tan2>0,tanC>0，即4,3,C为锐角，所以V4BC为锐角三角形，故D正确.

故选：ABD

11.AD

【分析】根据线面垂直的判定和性质判断A,根据垂心的定义判断B,根据二面角的定义

判断C,由棱锥外接球体积的求解判断D.

【详解】根据题意，AP工PF,AP工PE,PECPF=P,PE,PFu平面PEF，故/尸工平面

PEF;

因为尸u平面尸£尸，所以尸J.P/，

因为「E_LP尸；

故可得PA,PE,PF两两垂直.

对A：由/尸工平面尸£尸,E尸u平面庄尸，故4P_LEF,故A正确；

对B：过尸作平面/跖的垂线尸川，连接/N，延长交所于如下所示：

答案第71页，共22页

由A可知，EFLAP，又PNW平面4EF,£Fu平面4EF，故EF1PN，

又尸ND4P=尸，尸N,4Pu平面尸4W,故可得：EF_L平面

又/A/u平面尸故可得EF_!_/"，即点N在二角形/£尸底边防的局上;

同理可证，点N在三角形ZE/底边/尸,4E■的高线上.

故点P在平面4尸尸的投影即为三角形/尸尸的垂心，故B错误；

对c：根据B中所求，.为三角形/£尸的垂线，

又AF=AE=晶，根据三线合一故可得点别■为斯中点•

又PF=PE=a「故二角形PE尸为等腰二角形，连接尸/Vf，则PAf_LE尸，

根据二面角的定义，显然44Mp即为所求二面角.

Ac

在,.二__角形PMA中,，PM、1EF=

22

答案第81页，共22页

,----------]、万"„AP=2a,,,,,小AM-+MP--AP-1

AM=^AF2-FM2又，故cosN^4Mp=—―=3-

2Z,^T1V1,1V11J

故二面A角-F"F的—P余弦值为1:，则C错误；

对D：因为P4尸瓦尸尸两两垂直，故三棱锥尸-/E尸的外接球半径和长宽高分别为2a

的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径D_旧+片+(26_46a,

K---------------------=-----

22

4L

故外接球体积忆=2兀服=«/,故D正确.

3

故选：AD.

12.372

【分析】设Z=(x,y)，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出"=(3,-3)，再计算模长可

得.

【详解】设c=(x,y)，则B+e=(-2+x,4+y)，

由方/%,+可得卜y-x=。,解得F=3,

[2-x+4+y=03=-3

则)=(3,-3),所以同=西+(一3)2=30.

故答案为：3a,

13-2071

【分析】根据给定条件，求出正三棱台上下底面半径，再确定其外接球球心位置并求出球

半径，进而求出球的表面积.

【详解】

答案第91页，共22页

A'C'

如图，令q,O,分别为正三棱台ABC-A'B'C'上下底面的中心，

则其外接球球心。在直线00,上，连接eg并延长交48'于。J，连接CO•，并延长交于

D,

正^A'B'C的边长为百，得oc=2c0=2X3=1,

13132

由V/8C的边长为26，得co,=2co=2x3=2,

33

正三棱台ABC-A'B'C外接球半径R=OC>CO,=2>\=Ofl2，

因此球心在线段002的延长线上，曲下-京3=1'解得4=5，

所以该正三棱台的外接球的表面积为雨窗后.

故答案为：20兀

14.(2在2月

【分析】由cos/=l-2sin2且结合题干中sinW=回?，得到cos/再由正弦定

2Sm2V4b2b

e市M,sinCf3SinB的用4日sin(Z-5)=sinBA—B=B日5舄一

理得到cos/目a----；-----,整理得),从而，由是锐角二

2sin5

答案第101页，共22页

7171，由正弦定理网=4cos2,从而由8的范围得到生的取值范围.

角形得Be

654bb

【详解】因为sin^=但三，所以初24=口

2V4624b

A3b-cc-bsinC-sin5

所以cos/=1-2sin2—=1-

22b2b2sin5

所以2sin5cos/=sinC-sinB=sin(^4+5)-sinJ?=sinAcosB+cosAsinB-sinB，

整理可得：sinAcosB-cosAsmB=sinB,即sin(4-3)=sin5,

在锐角三角形V的中，/即/口力即5三

又因为。=兀梏/一8=-B<~,得8>工，所以Bep1■兀一］，

26（6口

2a2siiL42sin284sin5cos5/八

——-------=-------------------------=4cos夕，

bsinBsinBsinB

因为用，所以洋田2为

故答案为：Q亚，2班）.

【点睛】思路点睛：正弦定理边化角

正弦定理，一=上=二=2R（及为V"BC的外接圆半径）,

sin4sin5sinC

则a=2/sin/'b=2RsinB，c=27?sinC,

c—b_2RsinC—2RsinB_sinC-sin5

2b2x27?sinB2sin5

答案第111页，共22页

2a_2x2RsinA_2sin4

bsinBsinB

6(1)2+6

⑵①sin[a+尊-；②—24+7〉.

I12；550

【分析】(1)由可得cos四cosa-sin—sine=0,化简变形可求出⑦“"；

1212

(2)①给国一刈=半两边平方化简变形可求得sin[c+5]，②由sin[a+T=y可求出

(兀、人兀兀-p.,i,sin2z,cos2^Q匚一•”日cos2a

cosa+—，令a+—=%,贝！J2a=2,——，求出，然后可求得.

(12)126

兀兀.)

【详解】(1)因为，a=cos——,sin——，b=(sina,cosa)

1212J

所以cos^DOSa-sin—sina=0，

1212

1+tan巧an—

1

所以tana=34

Him

tan--tantan——tan—

1234

⑵①因为武"热mJ】⑶吟x),所以囱臣口,

因为跖_用=平,

lil52-2a-b+b2=—,BP1-2fcosa+sin——cosa]+l=—，

5I1212J5

答案第121页，共22页

兀4

即sina+—

12,5

兀4s

②因为sin|a+—

125

7171]兀9

所以由sin2ad----+cos'2CtH---=-1得cos2CCH----

12J1212,25

兀7兀13兀

因为，所以aH----e

（21212512

兀3

所以cosaH-----

12,5

兀.43

令a+2二%,贝！|a二/一—，sint=一cost=——，

121255

24

所以sin2/=2sintcost=-----

25

,7

cos2t=1-2sin9t=-----

25

71：

所以cos2a=cos2t——cos2tcos—+sin2tsin一

666

7V324124+7月

--------X---------Fx—=

25225250

16.(1)4=0.005,6=0.025,中位数69.4.

⑵I

【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1,可得q,b，由频率分布

直方图求中位数;

答案第131页，共22页

（2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古

典概型的概率即可.

【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为。7,

所以（0.045+0.020+6/）x10=0.7）解得a=0.005,

所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即（a+b）xl0=0.3，

所以b=0.025；

前两个分组频率之和为0.3,前三个分组频率之和为0.75,

所以中位数在第三组，且为65+”二空x10々69.4；

0.45

（2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，

故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4,分别设为0,b，c,d，第五组志愿者人

数为1,设为e，

这5人中选出2人，所有情况有（°，6），（。七），（a，d），（a,e），（b,c），（b，e），

（c,d）,（c,e）,（d,e）,共有10种情况，

其中选出的两人来自同一组的有（°,b），（a，c），（a，d），（Ac），（b，"），（c,〃）共6种情况，

故选出的两人来自同一组的概率为尸=9=3.

105

17.（1）证明见解析；

⑵2巴3

16

【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；

（2）根据平面向量线性运算，分别利用基底法和坐标法表示函.就，得到关于2的一元

答案第141页，共22页

二次函数，再利用一元二次函数的最值求解即可.

【详解】(1)由题意知，AG^JG-BA=-BC-BA,

3

AF=BF-BA^-(BC+BE)-BA^-BC+-BE-RA^-BC+-BA-BA=-BC--BA

2222424

〜.—>4—►

所以4G=—4F,

3

所以4FG三点共线；

ABCD71

(2)在梯形中，AB//CD,AB=2CD,AD=CD=1,ADAB=-,

易得/，

3

^SG=ASC(O<A<1)，

解法一：所以的=旃_砺=2反一;切,善=数一成=4数一切，

所以帚前二(2就可.(义就—两二万团2_g症沃+g第2

2

32323

=A9—4+2=A--I+—>—>

241616

当且仅当2=9时'等号成立'

所以就,函的最小值为空;

16

解法二：&^JJc=BA+AD+DC=-2AE+AD+AE=AD-AE

答案第151页，共22页

^^AG=AB+BG=2AE+A.BC=2AE+A.(AD-AE)=(2-A)AE+A.AD'

EG=EB+BG=EB+ABC=AE+A(AD-AE)=(1-X)AE+AAD'

所以就•西=(2—2)(1—2)+分+[(2_4).4+4(1_⑷](诟.通)

23

=A—^A+2=^Aj+空空，

।1616

当且仅当4=2时，等号成立，所以割.的最小值为”;

416

则

4To),3(1,0),C2'V

\7

设G("。)，则就=伉-1,%)衣=—岑'，

由于金加，因此(…小

解得，GL-A+I,—AV

[22J

^^AG=[--A+2,—A],EG=(--A.+1,^A\'

2222

故/廊=[一/2„1)+|，-2一5+2=[一|)+含||，

答案第161页，共22页

当且仅当4=』时，等号成立，

4

所以就•西的最小值为空.

16

18.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)2A/3

【分析】(1)由题意得/B//CD，则由线面平行的判定定理可得/3〃平面尸CD，再利用线

面平行的性质定理可证得结论；

(2)由题意可得尸是尸刀中点，则/p’po，再利用面面垂直的性质可得/产,平面尸co，

则N尸_L£F,而4B//EF'则可得结论；

(3)过尸作"^j_pc于H，连接///，贝U可证得//m/就是二面角/_尸。—4的平面角，

然后在中求解即可.

【详解】(1)因为底面/BQ)是菱形，所以/8//°，

因为平面PCD，CDu平面PC。，

所以48〃平面PC。'

因为平面pC£)n平面48£尸=取，48u平面4BE尸，

所以AB//EF；

(2)由(1)知ABHEF'ABHCD'所以EFHCD'

因为E是pc中点，所以歹是pD中点，

答案第171页，共22页

因为/\P4D是正二角形,所以4尸j_PD，

因为平面力。j_平面尸CD'

平面P4Dc平面尸CZ）=PZ），4Fu平面P4D，

所以/尸_L平面PC。，

因为防u平面PC。，所以4F_L£F，

因为AB//EF'所以/F_L；

（3）过尸作尸〃，尸。于连接力〃，

由（2）知4月,平面尸ci），

又因为PCu平面pczr“U平面PC。，

所以NF_LPC'AFVFH'

因为//cFH=F，/Fu平面4WFHu平面么尸"'

所以PC_L平面/尸“,

因为Z”u平面”尸〃，所以尸C_L/”，

所以//HF就是二面角尸_PC./的平面角，

在正三角形尸中，AF=6PF=I，

在△尸CD中